Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes;
rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Mõnikord võib kasutada vektorite liitmisel ka kolmnurga reeglit et veektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Kui liidetavaid vektoreid on enam kui kaks siis kasutades liitmisprotsessis kolmnurga reeglit, et summa leidmiseks tarvitseb iga järgmise liidetava alguspunkt viia eelmise liidetava lõpp-punkti ning summavektori määrab tekkinud murdjoone sulgeja so vektor mis suundub esimese liidetava alguspunktist viimase liidetava lõpp-punkti. Kahe vektori vahe leidmiseks viiakse nad ühisesse alhuspunkti ja nende vahe on vektor, mis kulgeb vähendaja lõpp-punktist vähendatava lõpp-punkti. Vektorite liitmine allub järgmistele arvutusseadustele: 1. vektorite liitmine on kommutatiivne ( a+b=b+a) 2. vektorite liitmine on assotsiatiivne a+(b+y)=(a+b)+y 3.
2. Hõõrdejõu max suurus on võrdeline normaalreaktsiooniga H<=Hmax=fN. f on hõõrdetegur. 23. Ûhte punkti rakendatud jõudude liitmise geomeetriline meetod Ühte punkti rakendatud 2-te jõudu liidetakse rööpkülikureegli järgi. Kui on teada komponentjõudude P1 ja P2 suurused ja nendevaheline nurk alfa, siis resultantjõu P suuruse võib leida moodustunud kolmnurga OAC koosiinusteoreemi abil. OC2=OA2+OB2- 2OA*OB*cos(180-) => P=rj(P12+P22+ 2P1*P2*cos) ja summavektori saab 1 ja 2 abil siinusteoreemist: P1/sin2=P2/sin1=P/sin. Kahte jõudu võib liita ka jõukolmnurga võttega (rohkem kui 2 jõudu): tulemuseks vektor, mille alguspunkt on esimese vektori algusp ja lõpp-punkt on viimase vektori lõpp-punkt. Summavektori mõjusirge läbib punkti O, ehk komponentvektorite mõjusirgete lõikepunkti. 24. Paralleeljõudude keskme leidmine Punkti O asukoht keha suhtes on muutumatu. Võtame teljestiku x,y,z meelevaldselt.
Üldjuhul koosneb koonduv jõusüsteem rohkematest jõududest. Need võib üle kanda mõjusirgete lõikepunkti ja järjekorras liita jõukolmnurkade abil. Resultant on suunatud esimese jõu algusest viimase lõppu.(joon3). Tasandilise jõusüsteemi korral on resultanti võimalik leida graafiliselt, kujutades jõude valitud mõõtkavas ja seejärel mõõtes resultandi joonisel. Üldjuhul toimub resultandi ja suuna määramine arvutuslikult, kasutades vektoralgebra teoreemi: summavektori projektsioon koordinaatteljel võrdub liidetavate vektorite projektsioonide algebralise summaga. Ruumilise jõusüsteemi korral: Fres x =F1x + F2x + ... Fix (sama ka Fres y ja z) ; resultandi moodul: Fres=F2resx+F2resy+F2resz ja resultandi suunakoosinused: cos =cos(x, Fres) = Fres x / Fres (cos on y ja cos on z) Süsteemi tasakaal Koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga Fres. Seega on keha tasakaaluks tarvilik ja piisav, et Fres=0
vahelise lõigu pikkusega, võetuna vastava märgiga. Fx = Fcos Px = -Pcos = Pcos 33.Mida nimetatakse jõu projektsiooniks tasapinnal? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Millal on see null? Jõu projektsioon tasapinnal on vektoriaalne suurus, mis jääb vektorite alguse ja lõpu projektsioonide vahele sellel tasapinnal . See on võrdne nulliga kui jõud on tasapinnaga risti. 34.Millega võrdub summavektori projektsioon mingil teljel? Summavektori projektsioon mingil teljel võrdub - liidetavate vektorite samal teljel võetud projektsioonide algebralise summaga. Kui F = F , siis Fx = Fx, Fy = Fy, Fz = Fz 35.Sõnastada teoreem kolme jõu kohta. Kui vaba jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, millest kahe mõjusirged lõikuvad, siis kõik need jõud asuvad ühel ja samal tasapinnal ja nende mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. 36
teljega. Jõu projektsioon on võrdne jõu mooduliga kui see on paralleelne teljega (sel juhul määratakse vaid õige märk) · Mida nimetatakse jõu projektsiooniks tasapinnal? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Millal on see null? Jõu projektsiooniks nimetatakse vektorit, mis jääb vektori alg-ja lõpp-punkti vahele sellel tasapinnal. See on vektoriaalne suurus ja võrdub nulliga juhul kui see on tasapinnaga risti. · Millega võrdub summavektori projektsioon mingil teljel (vastava teoreemi põhjal)? 2 Summavektori projektsioon mingile teljele on võrdne liidetavate jõudude samale teljele ehitatud projektsioonide algebralise summaga. · Defineerida jõu moment punkti suhtes. Kirjutada ka valem. Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse vektorit, mis on rakendatud sellesse punkti ja on võrdne
9. Lihtsaimad seoste tüübid (toetumine siledale pinnale, painduvad sidemed, liigend e. sarniir, silindriline liigend, tugilaager, varras sidemena). Seoste tüübid: a) Toetumine siledale pinnale. b) Painduvad sidemed c) Liigend ehk sarniir d) Silindriline (hõõrdevaba) liigend e) Tugilaager f) Varrasside 10. Seostest vabastatavuse printsiip. Iga keha võib alati vaadelda vaba kehana kui ärajäetud seosed asendada vastavate reaktsioonidega. 11. Teoreem summavektori projektsioonist teljele (Teoreem: Summavektori projektsioon mingil teljel võrdub liidetavate vektorite samal teljel võetud projektsioonide algebralise summaga.) Koonduv jõusüsteem. Koonduva jõusüsteemi tasakaalu vektoriaalne, geomeetriline ja analüütiline tingimus. a) vektoriaalne: F= ma, m0; a=0F=0. tasakaalu puhul peab koonduva jõusüsteemi resultant olema 0 ehk F=0 (NB! kui kiirendust pole järelikult ka liikumist pole; m0)
niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Mõnikord võib kasutada vektorite liitmisel ka kolmnurga reeglit et veektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Kui liidetavaid vektoreid on enam kui kaks siis kasutades liitmisprotsessis kolmnurga reeglit, et summa leidmiseks tarvitseb iga järgmise liidetava alguspunkt viia eelmise liidetava lõpp-punkti ning summavektori määrab tekkinud murdjoone sulgeja so vektor mis suundub esimese liidetava alguspunktist viimase liidetava lõpp-punkti. Kahe vektori vahe leidmiseks viiakse nad ühisesse alhuspunkti ja nende vahe on vektor, mis kulgeb vähendaja lõpp-punktist vähendatava lõpp-punkti. Vektorite liitmine allub järgmistele arvutusseadustele: 1. vektorite liitmine on kommutatiivne ( a+b=b+a) 2. vektorite liitmine on assotsiatiivne a+(b+y)=(a+b)+y 3. lahutamise olemasolu seadus, tähendab seda et ka
Kui jõud on risti teljega, siis projektsioon on null. 37. Mida nimetatakse jõu projektsiooniks tasapinnal? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Millal on see null? Jõu projektsiooniks tasapinnale nim vektorit, mis jääb vektori alg ja lõpppunktide projektsioonide vahele sellel tasapinnal. Erinevalt jõu projektsioonist teljele on jõu projektsioon tasapinnal vektoriaalne suurus. Null on siis, kui jõud on tasapinnaga risti. 38. Millega võrdub summavektori projektsioon mingil teljel? Summavektori projektsioon mingile teljele on võrdne liidetavate jõudude samale teljele võetud projektsioonide algebralise summaga. 39. Sõnastada teoreem kolme jõu kohta. Kui vaba jäik keha on tasakaalus kolme mitteparalleelse jõu mõjul, mis asetsevad ühes tasapinnas, siis nende jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. 40. Defineerida jõu moment punkti suhtes. Kirjutada ka valem.
Kui jõud on risti teljega, siis projektsioon on null. 37. Mida nimetatakse jõu projektsiooniks tasapinnal? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Millal on see null? Jõu projektsiooniks tasapinnale nim vektorit, mis jääb vektori alg ja lõpppunktide projektsioonide vahele sellel tasapinnal. Erinevalt jõu projektsioonist teljele on jõu projektsioon tasapinnal vektoriaalne suurus. Null on siis, kui jõud on tasapinnaga risti. 38. Millega võrdub summavektori projektsioon mingil teljel? Summavektori projektsioon mingile teljele on võrdne liidetavate jõudude samale teljele võetud projektsioonide algebralise summaga. 39. Sõnastada teoreem kolme jõu kohta. Kui vaba jäik keha on tasakaalus kolme mitteparalleelse jõu mõjul, mis asetsevad ühes tasapinnas, siis nende jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. 40. Defineerida jõu moment punkti suhtes. Kirjutada ka valem.
Ruumivektoril a on baasis {e1,e2,e3} kolm koordinaati, st a = (1,2, 3). Ortonormeeritud baasi ruumis tähistatakse 5 {i, j, k}, kus i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA KOORDINAATIDES 1) Vektorite liitmine koordinaatides toimub koordinaathaaval. Seega, kui a = (a1 , a2 , . . . , an) ja b = (b1 , b2 , . . . , bn), siis summavektori koordinaadid on liidetavate vektorite samanimeliste koordinaatide summad, st a + b = ( ai + bi ), i = 1, 2, . . . , n. 2) Vektori korrutamine arvuga toimub koordinaathaaval. Seega vektori korrutamisel arvuga tuleb iga tema koordinaat korrutada selle arvuga: a = ( ai ), i = 1, 2, . . . , n. JÄRELDUS (vektorite kollineaarsuse analüütiline tunnus). Kaks vektorit on kollineaarsed parajasti siis, kui nende koordinaadid on võrdelised, st
Ruumivektoril a on baasis {e1,e2,e3} kolm koordinaati, st a = (1,2, 3). Ortonormeeritud baasi ruumis tähistatakse 5 {i, j, k}, kus i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA KOORDINAATIDES 1) Vektorite liitmine koordinaatides toimub koordinaathaaval. Seega, kui a = (a1 , a2 , . . . , an) ja b = (b1 , b2 , . . . , bn), siis summavektori koordinaadid on liidetavate vektorite samanimeliste koordinaatide summad, st a + b = ( ai + bi ), i = 1, 2, . . . , n. 2) Vektori korrutamine arvuga toimub koordinaathaaval. Seega vektori korrutamisel arvuga tuleb iga tema koordinaat korrutada selle arvuga: a = ( ai ), i = 1, 2, . . . , n. JÄRELDUS (vektorite kollineaarsuse analüütiline tunnus). Kaks vektorit on kollineaarsed parajasti siis, kui nende koordinaadid on võrdelised, st
37. Mida nimetatakse jõu projektsiooniks tasapinnal? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Millal on see null? 4 Jõu projektsioon tasandil on vektor, mis jääb selle jõu algus ja lõpppunktide projektsioonide vahele antud tasapinnal. See on vektoriaalne suurus. See on null, kui jõud on tasandiga risti. 38.Millega võrdub summavektori projektsioon mingil teljel? Summavektori projektsioon mingile teljele on võrdne liidetavate jõudude samale teljele võetud projektsioonide algebralise summaga. 39.Sõnastada teoreem kolme jõu kohta. Kui vaba jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, milest kahe mõjusirged lõikuvad, siis need jõud on ühes tasapinnas ja nende mõjusirged lõikuvad ühes punktis. 40.Defineerida jõu moment punkti suhtes. Kirjutada ka valem. Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub
Summavektor F on suunatud täpselt mööda selle rööpküliku diagonaali, ning tema rakenduspunktiks on seesama punkt A. Valemina märgime geomeetrilise summa nii F F1 F2 (3.1) Selle summavektori mooduli saame koosinusteoreemi abil F F12 F2 2 2 F1 F2 cos (3.2) Märkusena olgu siin öeldud, et selle geomeetrilise liitmise võib joonisel realiseerida ka veidi teisiti. Selleks, et leida jõudude 1 ja 2 summavektori, ei pea me ju välja joonistama kogu
Liidame näiteks vektorid a ja b . a a b a+ b Kui vektorid a ja b on antud koordinaatkujul, siis summavektori koordinaatide leidmiseks liidame omavahel esimesed koordinaadid ja teised koordinaadid, s.t., kui a = (x1; y1) ja b = (x2; y2), siis a + b = (x1 + x2; y1 + y2) Näide. Leiame vektorite a = (3; –2) ja b = (4; 5) summa. a + b = (3 + 4; –2 + 5) = (7; 3) Näide
vektor Vektorite liitmine Vektorite liitmisest saame mõelda mitmel viisil. Vektoreid on vaja liita näiteks siis, kui tahame kokku liita mitu erinevat ühele objektile mõjuvat jõudu. Esmalt võime liitmisest mõelda arvulise esituse abil. Sel juhul teeme seda koordi- naatide kaupa: näiteks Samas võime vektorite liitmisest mõelda ka geomeetriliselt. Summavektori leid- miseks peame lihtsalt liidetavad vektorid teineteise järele seadma. Summavektor viib niisiis esimese vektori alguspunktist teise lõpp-punkti. Too- dud jooniselt on hästi näha, miks geomeetrilist liitmist kutsutakse ka „rööpküliku reegliks”. Toodud geomeetriline mõtteviis annab hea tõlgenduse juhule, kui näiteks kolme või nelja või kuue vektori summa on null. 141
annaabi.ee 
