ristkoordinaatideks. Skalaarkorrutist ja areaalkorrutist seob järgmine võrdus ab = a2·b 2-(a·b) 2 Lagrance seos. Kahele vektorile x ja y seame vastavusse uue vektori millist nimetatakse lähtevektorite vektorkorrutiseks ja märgime üles sümboliga x×y. Om:1y×x=-x×y; 2y=x x×x=0; 3(x×y)×z=x×z+y×z; 4 (·x)×y=x×(·y)= ·(x×y). Ruumi kolmele vektorile seatakse vastavusse üks arv millist nim nende vektorite segakorrutiseks ja tähist sümbolitega (x×y)·z. Om: 1' (x×y×)·z=x·(y×z) 2' segakorrutis ei muutu tegurite tsüklilisel ümberpaigutamisel; 3' [xyz] 2... Ruumi E3 kolmele vektorile on võimalik vastavusse seada teatav uus vektor millist nimetatakse lähtevektorite topeltvektorkorrutiseks ja märgitakse sümbolitega (x×y)×z või x×(y×z), korrutamise assotsiatiivsus ei kehti
5. omadus. Kui determinandis mingi rea iga võrdusmärgist vasakul teineteise toimub vastupäeva kui vaadata element kujutab kahe liidetava summat, all, vabaliikmed on võrdusmärgi vektori y lõpust siis laguneb paremal pool) lineaarse Segakorrutis Kolme vektori determinant kahe sama järku võrrandisüsteemi saab kirjutada segakorrutiseks nimetatakse kahe determinandi summaks, kus esimeses maatrikskujul AX = B, Teoreem vektori skalaarset korrutist determinandis koosneb vaadeldav rida (Kronecker-Capelli). Lineaarne kolmanda vektoriga esimestest liidetavatest ja teises võrrandisüsteem on lahenduv II järku jooned. Ellips Ellipsiks determinandis teistest liidetavatest;
kui vektorid on omavahel risti siis kahe vektori vektorkorrutis on pikkuselt võrdne vektorite pikkuste korrutisega. 3. tegurite ümberpaigutamisel muutub vektorite märk vastupidiseks ab=ba 4. kahe vektori vektorkorrutis on assotsiativne skalaari suhtes k(ab)= ka x b 5.vektorkorrutis on distributiivne a(b+y)=ab+ay 6. vektorkorrutis ei ole assotsiatiivne vektori suhtes a(b x y) (a x b) y Vektorite kollineaarsuse tunnuse a1/b1=a2/b2=a3/b3 Kolme vektori segakorrutiseks nim kahe vektori vektorkorrutise skalaarset korrutist kolmanda vektoriga
Segakorrutise definitsioon. 1. Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on määratud võrdusega: a a aa aa × = 2 3 ;- 1 3 ; 1 2 . Vektorkorrutis × on risti mõlema teguriga ja . bb bb bb 2 3 1 3 1 2 Vektorkorrutise × pikkus × on arvuliselt võrdne vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite , ja segakorrutiseks nimetatakse vektorite ja vektorkorrutise × skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu ( × ) . Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on risti vektoritega ja , mille pikkus ühtib vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga. 7. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Kolmemõõtmelise ruumi tasandi võrrand, tasandi normaalvektor. x1 = c1 + s1t
Arvutamise valemid koordinaatides ristreeperis Kahele vektoritele ehitatud rööpkülik Rakendused: ● jõu moment punkti A suhtes on võrdne vektorkorrutisega ● Masspunkti liikumishulga momendiks mingi tsentri suhtes nimetatakse vektorkorrutist Segakorrutis Segakorrutamine antakse vektorkorrutamise ja skalaarkorrutamise kaudu. Kuna vektorkorrutamine on antav vektorruumis E3, siis on ka segakorrutamine antav ainult vektorruumis E3. Kolme vektori x, y, z ∈ E3 segakorrutiseks nimetatakse reaalarvu, mida tähistatakse abil ja mis antakse valemiga Segakorrutamise omadused 1. Segakorrutamine sõltub vektorite järjekorrast järgmiselt 2. Vektorite a, b, c segakorrutise absoluutväärtus võrdub nende vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga ehk 3. Vektorite x, y, z segakorrutis võrdub nulliga parajasti siis, kui vektorid on komplanaarsed ehk kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel
ab=0 2. kui vektorid on omavahel risti siis kahe vektori vektorkorrutis on pikkuselt võrdne vektorite pikkuste korrutisega. 3. tegurite ümberpaigutamisel muutub vektorite märk vastupidiseks ab=ba 4. kahe vektori vektorkorrutis on assotsiativne skalaari suhtes k(ab)= ka x b 5.vektorkorrutis on distributiivne a(b+y)=ab+ay 6. vektorkorrutis ei ole assotsiatiivne vektori suhtes a(b x y) (a x b) y Vektorite kollineaarsuse tunnuse a1/b1=a2/b2=a3/b3 Kolme vektori segakorrutiseks nim kahe vektori vektorkorrutise skalaarset korrutist kolmanda vektoriga
Nii saame, et
erinevaid juuri on täpselt n: nRjz = nRJr(cos(fi + 2kPi/n) + isin( fi + 2kPi/ n)); k = 0; 1;.. ; n - 1:
Vektorkorrutis Ruumis E3 x ja y korrutiseks nim XxY mille korral on täidetud järgm tingimusd
1)Xristi XxY ja YristiXxY 2)|XxY|=|X| |Y|sina 3)X,Y XxY mood paremakäe kogumiku. Omadused
1)XxY=-YxX 2)XxY=¤óx||y kollineaarsed 3
Vektorite segakorrutis E3 vaatleme ristbaasi mille vektoriteks on i,j,k. Eukleidilises ruumis E3
vektorite x,y,z segakorrutiseks nim reaalarvu mis leitakse vastavalt reeglile (x,y,z)=
Y1 Z1 X Z1 X Y1 25. Vektorkorrutise moodul axb = + 1 + 1 Y2 Z2 X2 Z2 X2 Y2 26. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise skalaarkorrutist kolmanda vektoriga c nimetatakse vektorite a,b,c segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand
pindalaga. Avaldis koordinaatides: i j k x1 y1 z1 axb = x1 y1 z1 a b c =x 2 y2 z2 x2 y2 z2 x3 y3 z3 19. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kolme vektrori a, b ja c segakorrutiseks nim kahe esimese vektori a ja b vektorkorrutise a*b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a*b)c. Kolme vektori segakorrutist kasutatakse nt ruumalade arvutamisel. Nimelt osutub, et kolmele, ühest punktist vljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kollineaarsuse tunnused:
Y1 Z1 X Z1 X Y1 25. Vektorkorrutise moodul axb = + 1 + 1 Y2 Z2 X2 Z2 X2 Y2 26. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise skalaarkorrutist kolmanda vektoriga c nimetatakse vektorite a,b,c segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand
massipunktile P rakendatud jõud F ja me tahame leida selle momendi punkti A suhtes. Jõu moment punkti A suhte on võrdne vektorkorrutisega M A ( F )= AP × F masspunkti liikumishulga moment- massipunkti liikumishulga momendiks mingi tsentri suhtes nimetatakse vektorkorrutist L=r × K =r ×(mv) 26.Segakorrutis-Segakorrutamine on antav ainult kolmemõõtmelises ruumis. Kolme vektori x , y , z ∈ E 3 segakorrutiseks nimetatakse reaalarvu, mida tähistatakse xyz abil ja mis antakse valemiga xyz=(x × y ) ∙ z 27.segakorrutamise omadused- xyz= yzx =zxy=− yxz=−zyx=−xzy Vektorite a,b,c segakottutise absoluutväärtus võrdub nende vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga |abc|=V rt (a , b , c) Vektorite x,y,z segakorruti võrdub nulliga parajasti siis, kui vektorid on komplanaarsed
i 3 j 3 k 15 3,3,15 a b 9 9 225 243 Näide 2: a 1,2,2 b 3,4, k Leida k, mille korral a b . 3 1 4 2 2 k 0 2k 5 k 2,5 VEKTORITE SEGAKORRUTIS Kui kombineerime skalaar- ja vektorkorrutise saame veel ühe korrutise: segakorrutise. Vektorite a , b , c segakorrutiseks nimetatakse arvu a b c a b c . a1 a2 a3 Koordinaatkujul avaldub see determinandi kaudu: a b c b1 b2 b3 .
× = - ( × ) iga kahe vektori ja korral r(a × b) = (ra) × b = a × (rb) iga kahe vektori a ja b ning mis tahes arvu r R korral c × (a +b) = (c × a) + (c × b) ja (a +b) × c = (a × c) + (b × c) iga kolme vektori a, b ja c korral. avaldis koordinaatides: vektorkorrutist saab esitada ka kolmandat järku determinandina: 19. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kolme vektori a, b ja c segakorrutiseks nimetatakse kahe esimese vektori a ja b vektorkorrutise a × b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a × b)c Avaldis koordinaatides: omadused: Determinantide omadustest tulenevalt: kolm nullvektorist erinevat vektorit a = ( x1 ; y1 ; z1 ), b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ja c = ( x3 ; y3 ; z3 ) on komplanaarsed parajasti siis, kui nende segakorrutis on null, st rakendus: kolme vektori segakorrutist kasutatakse ruumalade arvutamisel. kolmele ühest
ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga. Selles definitsioonis pole vaja teada vektorite ja koordinaate. Ühtlasi näitab see, et definitsiooniga 2 määratud vektor × ei sõltu teljestiku valikust vaadeldavas kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis. Def. 3. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite , ja segakorrutiseks nimetatakse vektorite ja vektorkorrutise × skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu ( × ) . Paragrahvis 2 toodud teoreemi ja võrduse (3) tõttu on vektorite , ja segakorrutise absoluutväärtus võrdne nendele vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Valem (3) annab eeskirja segakorrutise arvutamiseks.
Kahele vektorile ehitatud rööpkülik: Srk ( , )= | | x2 x3 x1 x3 x1 x2 = y2 ;- ; y3 y1 y 3 y1 y2 SEGAKORRUTIS: Segakorrutis: Kolme vektori x , y, z E 3 segakorrutiseks nim. reaalarvu x yz = x ×y , z . OMADUSED: 1) Vektorsüsteem { x , y, z } on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui segakorrutis x yz =0 .
Leiame nende vektorkorrutise Kasutades determinandi mõiste saame kirjutada (1) ehk Samuti saame ümber kirjutada (1) 3. Järku determinandi abil kujul 26. Vektorite segakorrutis Vaatleme kolmemõõtmelise (n=3) eukleidilise vektorruumi ning valime seal mingi ortonormaalse baasi B = ; } (mille suunad langevad kokku koordinattelgede suunadega) Definitsioon. Vektorite ja segakorrutiseks nimetatakse arvu . Leiame segakorrutise väärtuse: Seega Segakorrutise omadused: 1. Vektorite ja segakorrutise absoluutväärtus võrdub vektoritele ja ehitatud rööptahuka ruumalaga 2. Tetraeedri (kolmnurkse püramiidi) ABCD; mille servad on DA = ; DB = ja DC = ; ruumala VABCD = . 3. Vektorid ja on komplanaarsed parajasti siis kui nende segakorrutis 4. Vektorid ja moodustavad paremkäe kolmiku, kui
2 Omadus 13.13 Vektorkorrutis on võrdne nulliga (a × b = 0), kui üks vektoritest on nullvektor või vektorid on kollineaarsed. Omadus 13.14 Vektorkorrutisel on järgmised tehetega seotud omadused: 1. vektorkorrutis ei ole kommutatiivne: a × b = -b × a; 2. distributiivsus: a × (b+c) = a × b + a × c; 3. skalaariga korrutamine: (a) × b = a × (b) = (a × b). 13.8 Segakorrutamine Definitsioon 13.31 Vektorite a, b, c E3 segakorrutiseks nimetatakse arvu a b c = a × b, c . Omadus 13.15 Kolme vektori segakorrutist saab R3 loomuliku baasi korral arvutada valemiga a1 a2 a3 abc = b1 b2 b3 . c1 c2 c3 Omadus 13.16 Kolme vektori segakorrutise absoluutväärtus võrdub neile vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga, Vrt = |a b c|.
annaabi.ee 
