Huvitavad punktid kolmnurgas Huvitavad punktid kolmnurgas I seeria • Külgede keskristsirgete lõikepunkt • Nurgapoolitajate lõikepunkt • Mediaanide lõikepunkt • Kolmnurga kõrguste või nende pikenduste lõikepunkt Neid huvitavaid punkte käsitletakse koolis Kolmnurga külje keskristsirge Keskristsirge (ehk mediatriss) – antud küljega selle keskpunktis ristuv sirge. Keskristsirge iga punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel. Külgede keskristsirgete lõikepunkt - R Kolmnurga keskristsirgete lõikepunkt võib asetseda ka väljaspool kolmnurka või kolmnurga küljel. Külgede keskristsirgete lõikepunkt on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks. Kolmnurga nurgapoolitaja Nurgapoolitaja (ehk bisektor) – kiir, mis lähtub nurga tipust ja poolitab nurga, s.t. jaotab selle kaheks võrdseks nurgaks. Nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kagusel.
eeldusest järeldada ehk mida on tarvis tõestada. - Üks osalause algab sõnaga kui ja teine algab sõnaga siis . - Märk on järeldusmärk. 3. ÕPIME TÕESTAMA Teoreemi tõestamisel lähtume teoreemi eeldusest ning varem teada olevatest tõdedest. Järgnema loogilise arutluse käigus jõutakse lõpuks tõsikindla otsustuseni, et teoreemi väide on tõene. Teoreem : Kui punkt asetseb lõigu keskristsirgel, siis see punkt on lõigu otspunktidest võrdsetel kaugustel. Eeldus: Lõik AB, keskristsirge KO ja sellel punkt O Väide: AO = OB 4. PÖÖRDTEOREEM * Lauset, mis saadakse eelduse ja väite vahetamisel antud lauses nimetatakse selle lause pöördteoreemiks. Teoreem: Kui nelinuga küljed on võrdsed, siis selle nelinurga diagonaalid ristuvad. Eeldus: Nelinurga küljed on võrdsed. Väide: Nelinurga diagonaalid ristuvad.
o väiksemad kui 90o. 11. Võrdhaarne kolmnurk - on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Kahte võrdset külge nimetatakse haaradeks ja kolmandat aluseks. Võrdsete külgede vahelist nurka nimetatakse tipunurgaks ning haara ja aluste vahelisi nurkasid nimetatakse alusnurkadeks. Mõlemad alusnurgad on võrdsed. 12. Kolmnurga keskristsirge - (ehk mediatriss) antud küljega selle keskpunktis ristuv sirge. Keskristsirge iga punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel. Nende ristumiskoht on ümberringjoone keskpunkt. 13. Võrdkülgne kolmnurk – kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. 14. Erikülgne kolmnurk – kõik küljed erineva pikkusega. Nurgad on samuti erinevad. 15. Kolmnurk on tasapinnaline geomeetriline kujund. 16. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed 17. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 18. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks.
4-ga jaguvuse tunnus Arv jagub 4-ga kui kahest viimasest numbrist koosnev arv jagub 4- ga. 9-ga jaguvuse tunnus Arv jagub 8-ga, kui Tippnurkade omadus Tippnurgad on võrdsed. Rööpküliku külgede omadus Paralleelsed ja võrdsed vastasküljed. 8-ga jaguvuse tunnus Kui kahest viimasest arvust koosnev arv jagub 8-ga. 2-ga jaguvuse tunnus Arv jagub kahega kui see on paarisarv. Teoreem lõigu keskristsirgest Keskristsirgel asub iga punkt võrdsel kaugusel lõigu otspunktidest. Rööpküliku nurkade omadused Nelinurk on rööpkülik, kui selle vastasnurgad on võrdsed ja vastasnurkade summa on 180 kraadi. Rööpküliku diagonaalide omadused Nelinurk on rööpkülik, kui diagonaalid poolitavad teineteist ja diagonaalid jaotavad nelinurga kaheks võrdseks kolmnurgaks. Põiknurgad Nurgad, mis asetsevad teine teiselpool lõikajat ja haarad lõikajal on vastassuunalised. Lähisnurgad Nurgad, mis asetsevad ühel pool lõikajat ja haarad lõikajal on
o väiksemad kui 90o. 11. Võrdhaarne kolmnurk - on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Kahte võrdset külge nimetatakse haaradeks ja kolmandat aluseks. Võrdsete külgede vahelist nurka nimetatakse tipunurgaks ning haara ja aluste vahelisi nurkasid nimetatakse alusnurkadeks. Mõlemad alusnurgad on võrdsed. 12. Kolmnurga keskristsirge - (ehk mediatriss) antud küljega selle keskpunktis ristuv sirge. Keskristsirge iga punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel. Nende ristumiskoht on ümberringjoone keskpunkt. 13. Võrdkülgne kolmnurk – kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. 14. Erikülgne kolmnurk – kõik küljed erineva pikkusega. Nurgad on samuti erinevad. 15. Kolmnurk on tasapinnaline geomeetriline kujund. 16. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed 17. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 18. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks.
läbiv kõõl AB. Siis A,B ja K on samal sirgel. Et AB on kõõl, siis ükski lõigul AB punk A ja B vahel ei saa kuuluda. Tuleb näidata, et AK ja KB on võrdse pikkusega. Oletame vastuväiteliselt, et |KB|<|KA|. Olgu B' punkti B suhtes sümmeetriline punkt, siis |KB'|= |KB| <|KA| mistõttu peab punks B' asuma lõigul AK punktide A ja K vahel. Et on punkt K suhtes sümmeetriline, siis B'. Sell juhul on B' lõigu AB otspunktidest erinev punkt mis kuulub joonele . Seega ei ole AB kõõl vastuolu! Kõõl on joon, millele kuuluvad selle otspunktid, mittemingi teine punkt. Vaatleme situatsiooni |KB|>|KA|. Olgu A' punktiga A punkti K suhtes sümmeetriline punkt, siis |KA'|= |KA|<|KB| Seega peab punkt A' olema lõigul KB punktide K ja B vahel. Kuna on K suhtes sümmeetriline, siis A'. Jällegi ei saa AB olla kõõl, sest joon läbib punktide A ja B vahel olevat punkti A' vastuolu
5) Kahe ringjoone raadiused on vastavalt 3 cm ja 1 cm. Need ringjooned puutuvad väliselt punktis A. Ringjoontele on tõmmatud ühine puutuja BC ( esimese ringjoone puutepunkt on B ja teise puutepunkt C). Leia puutuja ja ringjoonte 24 3 11 vahele jääva kujundi pindala. V: 1,17 cm² 6 6) Riigieksam 2000 Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt on 36 cm ja alus 16 cm. Aluse otspunktidest tõmmatakse vastasküljeni lõik, mis jaotab kolmnurga kaheks võrdse pindalaga kolmnurgaks. Kui pikk on see lõik? Kui suure nurga moodustab see alusega? V: 3 17 12,4 cm; 14 7) Riigieksam 2003 Sirgjooneline maantee tõuseb iga 100 meetri kohta 2 m. Maantee ääres astsevate peatuste vaheline kaugus (AB) mööda maanteed on 5 km. Kui pikk oleks tee (AC) ühest peatusest teise, kui maantee ei tõuseks? Mitme meetri võrra oleks sel korral tee ühest peatusest teise lühem
Harjutusülesanded: [1], 8.1-8.14. 4. Määratud integraalid 4.1 Määratud integraali mõiste Olgu funktsioon y = f (x) pidev lõigul [a, b] ja olgu selle algfunktsioon F , st leidub määramata integraal f (x)dx = F (x) + C. Algfunktsiooni muut F (b) - F (a) on arv, mis sõltub antud funktsiooni y = f (x) korral vaid lõigu otspunktidest a ja b. Definitsioon 4.1 Arvu F (b) - F (a) nimetatakse funktsiooni y = f (x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse b f (x)dx = F (b) - F (a). a Definitsioonis esinevaid arve a ja b nimetatakse integreerimisrajadeks, kusjuures a on alumine
180o - 45o = 135o Vastus. Nurk on 135o. Lihtmurd on murd, mille lugeja on väiksem kui nimetaja. 3<4 Liigmurd on murd, mille lugeja on suurem kui nimetaja või nimetajaga võrdne . Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrdsust, milles lineaaravaldis on võrdsustatud nulliga ax + b = 0 Sirget, mis on risti lõiguga ja läbib lõigu keskpunkti , nimetatakse selle lõigu keskristsirgeks Lõigu keskristsirge omadus: lõigu keskristsirge iga punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel. Kui kaks punkti ühendada sirge joonega, saame sirglõigu. Sirglõiku nimetatakse sageli ka lihtsalt lõiguks. Sirglõiku tähistatakse kas otspunktide märkimisega AB või ühe tähega a. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. Mediaan on variatsioonirea keskmine liige. On ka kolmnurga. tippu vastasküljega keskpunktiga ühendav lõik. Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... ( ) või üks
suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. 17. Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul[a, b], siis on selle funktsiooni graafik antud lõigu kohal pidev joon. Taolisel pideval joonel on olemas nii kõrgeim kui ka madalaim punkt. Seega on funktsioonil olemas absoluutsed ekstreemumid vaadeldaval lõigul. Funktsiooni suurim ja vähim väärtus lõigul [a, b] võivad esineda kas vahemikus (a, b) või ühes lõigu otspunktidest a või b. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv f(a) = Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Tõestus
30. Kirjeldada Newtoni meetodit võrrandite ligikaudsel lahendamisel. Eeldused võrrandile: 1. f on pidev lõigus [a;b], kus f(a) ja f(b) on vastupidiste märkidega 2. f' ja f'' on pidevad ning nullist erinevad lõigus [a;b] Kui need eeldused on täidetud, siis saab näidata: 1. et võrrandil f(x)=o leidub lahend x, väärtuste a ja b vahel 2. seejuures x on ainus lahend a ja b vahel 3. alglähendiks tuleb valida lõigu otspunktidest see, kus f(x) märk ühtib f''(x) märgiga Lähendite jada koondumine Tehtud eeldustel saab veel näidata, et: 1. lähendite jada(x0) koondub esialgse võrrandi lahendiks x 2. koondumise kiirust saab hinnata f ( xn ) xn -x - x· kus m = amin x b f ' ( x)
23 3d modelleerimine a b c joonis 3-10 o Valida Cut ja osutada XY tasapinnale. o Joonestada sirgjoon, mis asetseb ristküliku pikemal küljel pikkusega 9 mm ning siduda joone keskpunkt risküliku külje keskpunkti. o Joone otspunktidest tõmmata sirgjooned vastaskülje nurkadesse. [joonis 3-10;c] o Valida Close Sketch o Määrata kõrguseks 13 mm ning näidata suund. o Salvestada fail nime alla ,,Nina" 3.3 Kapott Detail ,,Kapott" [joonis 3-12] Detaili loomisel õpitakse sujuva ühenduse konstrueerimist. joonis 3-11
Elektrivälja potentsiaaliks mingis ruumipunktis nimetatakse sellesse punkti asetatud proovilaengu potentsiaalse energia ja selle proovilaengu jagatist Töö laengu liikumisel elektriväljas. Elektriliste jõudude poolt tehtud töö laengu liigutamisel elektriväljas võrdub selle laengu ning tema lõpp- ja algasukoha potentsiaalide vahe ehk pinge korrutisega. Järeldused: 1) elektriliste jõudude poolt tehtud töö ei sõltu laengu liikumise trajektoorist, vaid ainult selle trajektoori otspunktidest, 2) töö laengu liigutamisel mööda kinnist trajektoori võrdub nulliga. Pingeks kahe punkti vahel nimetatakse nende punktide potentsiaalide vahet U1,2= 34. Elektrivälja tugevuse ja potentsiaali vaheline seos. Elektrivälja graafiline kujutamine. Elektrivälja tugevuseks mingis ruumipunktis nimetatakse sellesse punkti asetatud proovilaengule mõjuva elektrilise jõu ja selle proovilaengu jagatist. Elektriväljas paikneva proovilaengu potentsiaalne energia võrdub tööga, mille teevad
Kui nurgamõõtmetega mõõtjoone keskkoht satub oma kalde poolest viirutusega näidatud “eba- mugavasse” sektorisse või ruumipuudusel võib mõõtarvu kirjutada viitejoone rõhtsale laudile. Kõõlu mõõtmestamine siia Sele 53. Kõõlu mõõtmestamine Sele53 Kõõlu pikkus antakse kõõluga paralleelse mõõtjoone abil. Distantsjooned on kõõluga risti ja lähtuvad tema otspunktidest. 36 Kaare pikkuse mõõtmestamine Sele 54. Kaare pikkuse mõõtmestamine Terminid kera – шар kõõl – хорда Ringi kaare pikkus (millimeetrites) määratakse kaarega kontsentriliselt tõmmatud mõõtjoone abil. Distantsjooned on kaarele vastava nurga poolitajaga paralleelsed. Mõõtarvu ette märgitakse väike kaareke
2 ja x = 2 ning v¨ ahim v¨a¨ artus saavutatakse punktides x = - 2 ja x = 2 (joonis 1.8). Kons- 1 3 tantne funktsioon (joonis 1.2) saavutab koguni k~oigis punktides oma suurima ja v¨ahima v¨a¨ artuse. ¨ Uhtlasi olgu mainitud, et funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus l~oigul [a, b] v~ oivad esineda kas vahemikus (a, b) v~oi u ¨hes l~oigu otspunktidest a v~oi b. N¨aiteks joonisel 2.13 kujutatud funktsioon saavutab oma v¨ahima v¨a¨artuse m l~oigu vasak- poolses otspunktis x = a ja suurima v¨a¨artuse M vahemikus (a, b) asuvas punktis x = x1 . 52 yy M · h m ·
2 ja x = 2 ning 1 3 v¨ahim v¨a¨artus saavutatakse punktides x = - 2 ja x = 2 (joonis 1.8). Kons- tantne funktsioon (joonis 1.2) saavutab koguni k~oigis punktides oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse. ¨ Uhtlasi olgu mainitud, et funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus l~oigul [a, b] v~oivad esineda kas vahemikus (a, b) v~oi u ¨hes l~oigu otspunktidest a v~oi b. N¨aiteks joonisel 2.13 kujutatud funktsioon saavutab oma v¨ahima v¨a¨artuse m l~oigu vasak- poolses otspunktis x = a ja suurima v¨a¨artuse M vahemikus (a, b) asuvas punktis x = x1 . 52 yy M · h m ·
muut nihutamisel. Selliselt oleme saanud väga lihtsa valemi töö leidmiseks, mis ei nõua keerukate integraalide arvutamist, nagu seda on tehtud valemis (10.7a). Elektriliste jõudude poolt tehtud töö laengu liigutamisel elektriväljas võrdub selle laengu ning tema lõpp- ja algasukoha potentsiaalide vahe ehk pinge korrutisega. Järeldused: 1) elektriliste jõudude poolt tehtud töö ei sõltu laengu liikumise trajektoorist, vaid ainult selle trajektoori otspunktidest, 2) töö laengu liigutamisel mööda kinnist trajektoori võrdub nulliga. Elektrostaatikas nimetatakse pingeks kahe punkti vahel nende punktide potentsiaalide vahet. U 2,1 2 1 . (10.9) Pinge kahe ruumipunkti vahel on üks volt, kui ühekulonilise laengu viimisel ühest punktist teise tehakse üks džaul tööd. 10.6 Elektrivälja tugevuse ja potentsiaali vaheline seos.
mis teoreemi 5.6 kohaselt tähendabki funktsiooni f integreeruvust lõigus [a, b] . Kahaneva funktsiooni puhul on tõestus analoogiline. 5.4.2 Katkevate funktsioonide integreeruvus Katkevate funktsioonide integreeruvust kirjeldab järgmine lause. Lause 5.21 Kui tõkestatud funktsioonil f : [a, b] → R on lõigus [a, b] vaid lõplik arv katke- vuspunkte, siis f on integreeruv. Tõestus. 1. Vaatleme juhtu, kus funktsiooni f ainsaks katkevuspunktiks on üks lõigu otspunktidest. Olgu selleks punkt a, punkti b korral on tõestus analoogiline. Olgu ε > 0 suvaline. Valime sellise punkti x1 ∈ (a, b), mis rahuldab tingimust ε x1 − a < , 2ω kus ω := sup f (x) − inf f (x) on funktsiooni f võnkumine lõigus [a, b] (miks ω > 0?)z. x∈[a,b] x∈[a,b]
annaabi.ee 
