Duaalse simpleksmeetodi kasutamisel säilib pärast iga sammu tabeli duaalne lubatavus, negatiivne element bk aga asendub elemendiga bk 0. Sihifunktsiooni väärtus küll kahaneb igal sammul monotoonselt, kuid see on loomulik, sest lähenemine optimaalsele lahendile toimub väljapoolt lubatavat hulka, ja nimelt sealt, kus sihifunktsiooni väärtus on suurem tema väärtusest lubatavate lahendite hulgas. Näide Leida muutujate x1 , x2 , x3 mittenegatiivsed väärtused, mis rahuldavad võrratuste süsteemi 2 x1 x2 2, 2 x1 x2 x3 1, x1 x2 2 x3 3, ja mis muudavad maksimaalseks funktsiooni z x2 3 x3 . Näide (2) Lahendus Korrutades teise võrratuse kitsenduste süsteemist arvuga 1, saame 2 x1 x2 2, 2 x1 x2 x3 1, x1 x2 2 x3 3,
KVANDI EKSAM Lineaarsed planeerimisülesanded: Mõisted: · Matemaatilised meetodid võimaldavad majandusprobleeme formaliseerida ja neid lahendada. Tegelevad optimaalsete lahendite väljatöötamisega · Lineaarne planeerimisülesanne ülesanne leida tundmatutele sellised mittenegatiivsed väärtused mis kajastaksid sihifunktsiooni optimaalset väärtust, rahuldades kõiki kitsendusi. · Lubatav lahend ehk plaan - sellised lahendid, mis rahuldavad kõiki kitsendusi ja tingimussüsteemi mittenegatiivsuse nõuet · Optimaalne lahend tundmatute väärtused, mis muudavad sihifunktsiooni kas maksimaalseks või minimaalseks · Optimaalsuskriteerium juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang( sihifunktsioon )
Ülesanne 1. Kasutades graafilist lahendusmeetodit, leida tundmatute x 1 ja x2 sellised mittenegatiivsed väärtused, mis rahuldaksid järgmisi tingimusi: 3x1 - 2x2 - 6 x1 + x2 3 x1 3 x2 5 ja annaksid seejuures funktsioonile F = 2x1 + 2x2 võimalikult suure väärtuse. esimene kitsendus 3x1-2x2 >= -6|-1 -3x1+2x2'<'=6 x1 0 -2 tipu A koordinaadid x2 3 0 -3x1+2x2'='6
Mudeli lahendamine ja lahendustulemuste analüüs ning info ettevalmistamist otsuste langetamiseks Otsuse tegemine LINEAARSED PLANEERIMISÜLESANDED Kasumi saamine on alati seotud teatud kitsendustega, mis tulenevad inimese käsutuses olevate ressursside piiratusest. Ekstreemumülesanded- leida selline lahend, mis annab teatud funktsioonile suurima või vähima võimaliku väärtuse. Lineaarne planeerimisülesanne- ülesannet leida muutujate (tundmatute) sellised mittenegatiivsed väärtused, mis annaksid etteantud lineaarsele funktsioonile (sihifunktsioonile) optimaalse (maksimaalse või minimaalse) väärtuse ning rahuldaksid seejuures kõiki etteantud lineaarseid võrratusi või võrdusi (kitsendusi). Kui lisaks sellele on esitatud nõue, et osa tundmatuid (või kõik tundmatud) omandaksid vaid täisarvulisi väärtusi, siis vastavat ülesannet nimetatakse osaliselt (või täielikult) täisarvuliseks planeerimisülesandeks.
[1 - ( x ) * 2 ]=0 Võrrandil on kolm lahendit x1* = 0 x 2* = -1 x3* = 1 Funktsioonil on seega kolm statsionaarset punkti P1* ( 0;0 ) P2* ( -1;-1) P3* (1;1) Kui x ja y on müüdud kogused, siis nad peavad olema mittenegatiivsed P1* ( 0;0 ) P3* (1;1) 3. (10) Tarbija kasulikkuse funktsioon on U = x 2 y , kus x on tarbitud õunte ja y tarbitud banaanide kogus. Kuna ühik õunu maksab 12 krooni ja ühik banaane 20 krooni ning õunte ja banaanide ostmiseks saab kulutada 180 krooni, siis leidke tarbija maksimaalne kasulikkus tingimusel 12 x + 20 y =180 . Mitu ühikut õunu ja mitu ühikut banaane tuleks tarbida? Lagrange'i funktsioon on
a) Nõutakse Z maximumi (min) b) Kõikidel muutujatel mittenegatiivsusenõue (≥0) c) Kõik kitsendused on antud võrratustena ≤ 2 Kanooniline LPÜ: a) Nõutakse Z maximumi b) Mittenegatiivsuse nõue c) Kitsendused antud VÕRRANDITENA Kitsenduste süsteemi lahend- muutujate väärtuste kombinatsioon (x1, x2,...xn), mis rahuldab kitsenduste süsteemi. Kui kõik kitsenduste süsteemi lahendid on mittenegatiivsed, siis on tegemist lubatava lahendiga ehk plaaniga. Niisugust lubatavate lahendite hulka, mille korral Z on max või min nimetatakse optimaalseks lahendiks ehk optim plaaniks. DUAALÜLESANDED LPÜ teisendamine max-kanoonilisele kujule 1) Kui Z nõutakse miinimumi, siis seda saab esitada max nõudele Min z=max (z´= -z)=-c1x1-c2x2.. 2) Kui kitsendused on esitatud võrratustena, tuleb sisse tuua täiendavad muutujat
f (x ) = x 2 - 1 Y = [- 1; [ f (2) = 3 f (- 2) = 3 f ( x) = sin x Y = [-1;1] f (0) = 0 f (± ) = 0 ... Määramispiirkonna määrab: 1.funktsiooni olemus nt. Kui funktsioon on f= ln x, siis x ei saa omada mittepositiivseid väärtusi. Seega määramispiirkond on kõik positiivsed reaalarvud 2. ülesande püstitus Nt. Kui hulk X tähistab kaubakogust, siis on määramispiirkonnaks kõik mittenegatiivsed arvud, sest negatiivne kaubakogus ei oma majanduslikku mõtet Funktsioonide määramisviise 1. Valemi abil Olgu eeskiri (funktsioon) f(x)=x2+3 Järelikult x =3 vastab y= 32+3 =12 x =10 vastab y= 102+3 =103 jne Seega valem näitab, milliseid tehteid ja millises järjrkorras tuleb funktsiooni väärtuste saamiseks argumendi väärtustega sooritada. 2
C omavahel. B A D A A C D B D C D C B BDC BCA (NN tunnus) CDA BCA (NN tunnus) BDC CDA (NN tunnus) m.o.t.t. Geomeetriline keskmine Kui a, b ja x on mittenegatiivsed arvud, siis nimetatakse arvu x arvude a ja b geomeetriliseks keskmiseks, kui ta on ruutjuur nende arvude korrutisest x a b Kaatetite projektsioonid Hüpotenuusile joonestatud kõrgus jaotab hüpotenuusi kaheks osaks, mida nimetatakse kaatetite projektsioonideks hüpotenuusil C f kaateti a projektsioon g kaateti b projektsioon a h b
Juhtveerg - juhtrea elemendi ja sihifunksiooni elemendi maksimaalne jagatis, ainult kus juhtrea element on negatiivne 18. Mis on optimaalsuse tunnus duaalse simpleksmeetodi kasutamise korral? Sihifunktsiooni kordajad peavad olema positiivsed ja vabaliikmed peavad olema positiivsed, v.a. Sihifunktsiooni vabaliige 19. Kuidas saab duaalse simpleksmeetodi kasutamisel teha kindlaks, et ülesanne on vastuoluline? kõik elemendid juhtreas on mittenegatiivsed 20. Selgitada, kuidas saab leida duaalse lineaarplaneerimise ülesande optimaalset lahendit, kui esialgne ülesanne on lahendatud simpleksmeetodiga? Sihifunktsiooni lisamuutujate kordajad on duaalse ülesande lahendid. Duaalsete muutujate optimaalsed väärtused on võrdsed vastavate lisamuutujate kordajate väärtustega esialgse ülesande viimase (optimaalsel kujul oleva) simplekstabeli sihifunktsioonile vastavas reas. 21
1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y. sõltumatu muutuja ehk argument, sõltuv muutuja ehk funktsiooni väärtus 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Määramispiirkond - argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Muutumispiirkond - muutumispiirkonna Y all mõeldakse funktsiooni kõikvõimalike väärtuste hulka. loomulik määramispiirkond - Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Graafikuna, tabelina, analüütiline 4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element....
(max f(x) = - min f(x)). 3. Ülesanne peab olema esitatud kanooniliselkujul Kanoonilise kuju saamiseks viiakse sihifunktsioonis kõik tundmatud vasakule Kõik kitsendused ning samuti sihifunktsioon peavad olema võrrandite kujul, m kordajaga 1 ja esineb ainult ühes võrrandis. universaalne lahendusmeetod. ast 1947. Nimetus tuleneb geomeetrilisest tõlgendusest. Simpleksiks t, millel on n+1 tippu. ülesanne vastama järgmistele tingimustele: ma mittenegatiivsed aid pooli -1-ga). ktsioonina undmatud vasakule ja kitsendustele ,," lisatakse abimuutujad. a võrrandite kujul, milles igaühes esineb baasimuutuja so. muutuja s Optimiseerimisülesanne koosneb: - Meie poolt mõjutatavatest otsustusmuutujatest: x1 ja x2 Antud näites nemad tähistavad kahe kauba toodetavat kogust - 1 on kitsendus mingi materjali kohta: x1 kauba tootmisel kulub seda 3 ühikut ( ja x2 kauba tootmisel kulub seda 1 ühik, ning kokku on seda kasutada 9 ühiku
vaid siis, kui need kuuluvad MP-nda). x + 2 (5x - 3) Näide 2. Jätkame näites 1 vaadeldud võrratuse 0 1 - x ( x + 1) lahendamist. Meil sai leitud selle MP x [ -2,-1 [ ] -1,1 [. Edasises võime ära jätta võrratuses sisalduvad juuravaldised, sest need on alati mittenegatiivsed . Võrratus lihtsustub 6 5x - 3 kujule 0. Selle nullkohad on 0,6 ja -1. Võrratuse ees pole "-" märki, kõvera x +1 joonistamist alustame ülalt paremalt. -1 0,6 x Järelikult x -1, x 0,6. Kuna lahendid peavad kuuluma MP- nda, siis otsime järgneval joonisel vastavat ühisosa oletatavate lahendite ja MP vahel.
lahedada duaalse simpleksmeetodiga. Tavalise simpleksmeetodi kirjelduses tuleb asendada sõnad "rida" ja "veerg", "positiivne" ja "negatiivne", "minimaalne" ja "maksimaalne". I krit: Baasist viiakse välja see negatiivne muutuja, millel on suurim absoluutväärtus. Vastavat rida nimetatakse juhtreaks. Sihifunktsioonile vastavat muutujat x0 ei viida kunagi baasist välja. Optimaalsuse krit on täidetud kui kõik baasimuutujad peale x0 on mittenegatiivsed ja kehtib tavalise simpleksmeetodi optimaalsuse krit (0nda rea kordajad on mitteneg). II krit: Tähistame need veerud, kus juhtrea elemendid on rangelt negatiivsed. Leiame maksimaalse !!"# !"# !"!#!$% !!"# !" !"!#!!" nullinda rea ja juhtrea elementide suhte tähistatud veergudes. =max !!!"#$%&% ; !!!"#$%&% ; ... .
standardhälve. Pilt !! 22. Pideva juhusliku suuruse jaotusseadusi: ühtlane ja kolmnurkjaotus, normaaljaotus, nende arvkarakteristikud PILDID!! 23. Diskreetse juhusliku suuruse jaotusi: tõenäosuse ühtlane jaotus; Poissioni jaotus. Juhsuliku suuruse nimetame diskreetseks juhuslikuks suuruseks, kui tema väärtuste hulk on lõplik või loenduv.Praktiliselt vaatleme ainult niisugusi diskreetseid juhuslikke suurusi, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, 3 ...(mittenegatiivsed täisarvud) Poisson'i jaotus: Diskreetse Juhusliku Suuruse jaotus, mille korral jaotustabel defineeritakse k - P( X = k ) = e valemiga k! , k=0,1,... . . Tõenäosuse ühtlane jaotus:Kui katse tulemuseks on diskreetne juhuslik suurus ja erinevate variantide tõenäosus on ühesugune, on tegemist diskreetse ühtlase jaotusega. Diskreetse jaotuse korral p 1=p2='...'=pi 24
Tähistame E1 sündmus,et tingimuste kohaselt P(A) = 0,6 ja P(B)= ruum = {S, SC}.Näide 3. Kui katseks saadav punktisummaon 6 ja sündmus 0,8.Kuna sündmused A ja B on on auto eluea pikkuse mõõtmine, siis F,et esimene täringuga saime 4 silma. mittevälistavad ja sõltumatud, siis elementaarsündmuste hulgaks on kõik P(E1F)=P({4,2})=1/36 kuna tõenäosus,et märklauas oleks vähemalt mittenegatiivsed arvud:S = [0, P(E1)P(F)=5/36×1/6=5/216.Näide12. üks tabamus on:P(AB) = P(A) + P(B) µ ).Juhusliku katse tulemus, mille korral Urnis on 4 nummerdatud P(AB) = 0,6 + 0,8 0,6 * 0,8 = 0,92. toimub meid huvitav sündmus, palli(1,2,3,4).olgu sündmus E={1,2} Näide16. Seadmes on kaks releed, mis nimetatakse selle katse jaoks soodsaks. F={1,3} G={1,4}
elementaarsündmuste hulk on: S = {1, 3 5}. , Siin sündmuseks A on paarituarvulise tahu peale tulek. Näiteks, A = 1. Juhul kui tuleb paarisarvuline tahk, siis see on antud sündmuse vastandsündmus, tähistatakse A , C näiteks A = 2.C Elementaarsündmuste ruum = {S, S }. C Näide 3. Kui katseks on auto eluea pikkuse mõõtmine, siis elementaarsündmuste hulgaks on kõik mittenegatiivsed arvud: S = [0, µ ). Juhusliku katse tulemus, mille korral toimub meid huvitav sündmus, nimetatakse selle katse jaoks soodsaks. Sündmus A toimub, kui juhusliku katse tulemus on tema jaoks soodne. Näide 4. Tulistatakse märklauda. Olgu juhuslik sündmus A, et toimub üks tabamine ja üks möödalaskmine. Sellele katsele vastav elementaarsündmuste hulk S = {s , s , s , s } 1 2 3 4 on:
· Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega · Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Ühiseks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgeimad astmed. 2.2 Irratsionaalavaldised e juuravaldised Muutujatel on avaldistes vaid sellised väärtused, mille korral kõik juuritavad ja vastavad juured on mittenegatiivsed 2.3 Irratsionaalavaldiste tegurdamine 2.4 Murru nimetaja vabastamine irratsionaalsusest e juurte kaotamine murru nimetajas 2.5 Irratsionaalavaldiste lihtsustamine Toimime samamoodi nagu ratsionaalavaldiste puhul sooritame kõik avaldises nõutud tehted, arvestades tehete järjekorda, ning anname tulemusele algebralise murru, võimalusel täisavaldise kuju. Murru nimetaja vabastatakse irratsionaalsusest. Võrrandid ja võrrandisüsteemid 3.1 Võrdus, samasus, võrrand
kolmikuks ( ) või nelikuks ( ) ning need teisendada soovitavasse arvusüsteemi. | | | | | | | 8ndarvu 16ndsüsteemi või 16ndarvu 8ndsüsteemi teisendamiseks tuleb arv teisendada kõigepealt 2ndsüsteemi ja seejärel soovitavasse arvusüsteemi. 24. Millised arvud on naturaalarvud? Naturaalarvud on mittenegatiivsed täisarvud ( ). 25. Millised arvud on algarvud? Algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult 1 või iseendaga. 26. Millised murdarvud on ratsionaalarvud? Ratsionaalarvud on sellised murdarvud, mis esituvad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvud on lõpliku või lõpmatu perioodilise murdosaga murdarvud. Kahendkoodid 1. Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus? Kahendvektor on kahendnumbritena 0 ja 1 esitatud loogikaväärtuste ühemõõtmeline jada
inf (X + Y ) = inf X + inf Y. (c) Kui X on ülalt ja Y alt tõkestatud, siis hulk X − Y := {x − y | x ∈ X, y ∈ Y } on ülalt tõkestatud ja sup (X − Y ) = sup X − inf Y. (d) Kui X on alt ja Y ülalt tõkestatud, siis hulk X − Y on alt tõkestatud ja inf (X − Y ) = inf X − sup Y. (e) Olgu X ja Y sellised hulgad, mille kõik elemendid on mittenegatiivsed. Kui X ja Y on ülalt tõkestatud, siis on ka hulk X · Y := {xy | x ∈ X, y ∈ Y } ülalt tõkestatud ja sup (X · Y ) = sup X · sup Y. Tõestus. (a) Kuna hulgad X ja Y on ülalt tõkestatud, siis pidevuse aksioomi kohaselt leiduvad ülemised rajad a := sup X ja b := sup Y. Suvaliste x ∈ X ning y ∈ Y puhul kehtib võrratus x + y 6 a + b (vrd. (1.5)), tähendab, hulk X + Y on ülalt tõkestatud ja a + b on tema ülemine tõke
© Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 12 FUNKTSIOONI y = x2 – 4 TÄIELIK UURIMINE 1. Funktsiooni määramispiirkond. Et juuritav peab olema mittenegatiivne, siis lahendame ruutvõrratuse x2 – 4 0. Seega X = ]–; –2] [2; [. –2 2 2. Funktsiooni muutumispiirkond. Juure väärtused saavad olla vaid mittenegatiivsed. Kui x, siis y, seega Y = [0; [. Sama tulemuseni jõuaksime pöördfunktsiooni uurides. 3. Funktsiooni nullkohad. x2 – 4 = 0, x2 – 4 = 0, x1 = –2 ja x2 = 2. Seega X0 = {–2; 2}. 4. Funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad. – X = ]–; –2[ ]2; [ ja X = . + 5. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. x Leiame f (x) = 2 , f (x) > 0, kui x > 2 ning f (x) < 0, kui x < –2.
poneerimine on heas koosk~olas t¨ ahistusega I = 1. 4.3 M¨ arkus: imaginaaru ¨ hiku m~ oistest Seost i2 = -1 loetakse sageli imaginaar¨ uhiku definitsiooniks ja kirjutatakse i := -1. Imaginaar¨ uhik -1 ei ole t~ olgendatav 6 V. Kompleksarvud reaalarvuna (sest reaalarvude ruudud on mittenegatiivsed), k¨ ull aga spetsiifilise teist j¨ arku ruutmaatriksina, nagu eespool veen- dusime. Korrektne on n¨ aiteks kirjutada -1 := 10 -1 0 . Leidub ka teisi t~olgendusi (esitusi). 4.4 N¨ aide: imaginaaru ¨ hiku p¨ o¨ ordaarv
Hulka nimetatakse ka määramispiirkonnaks, ehk siis funktsioon on määratud kõikide hulga elementide jaoks. Ta koondab endasse kõikvõimalikud masina funktsioon sisendobjektid. Meie definitsioonis ei pea iga hulga element olema tegelikult masina väljund- objektiks – hulk moodustab potentsiaalsete väljundobjektide hulga. Näiteks arvuruudud on ju alati mittenegatiivsed, kuid meie definitsioonis täitis ka hulga rolli reaalarvude hulk. Tihti on lihtsalt raske otsustada, mida täpselt masin ikka väljastada otsustab, isegi kui teame, mis tüüpi need objektid umbkaudu on. Näi- teks kui meie funktsioon seab iga maailma majaga vastavusse tema aastase sooja- kulu, siis on kõik vastused kindlasti mittenegatiivsed reaalarvud, aga raske on ette öelda, milliseid arvväärtusi me tulemustena näha saame.
annaabi.ee 
