diferentseeruv selles punktis, siis = 0. 20) Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni = -järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni -1-järku tuletise tuletist ja tähistatakse . Lõplikku -järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse -korda diferentseeruvaks. 21) Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? = + - + - + + - 1! 2! ! Polünoomi nimetatakse funktsiooni Taylori polünoomiks ehk -järku lähendiks punkti ümbruses. Kui = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni McLaurini polünoom järgmine:
x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Taylori polünoomi nimetatakse mcLaurini polünoomiks, kui a=0 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). Kui f´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kasvav vahemikus (a;b). Kui aga f´ (x) on väiksem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kahanev vahemikus (a;b). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon.
(tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei küsi). Teoreemile 4.2 vastupidine väide ei kehti, igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla.
Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f jne. Taylori polünomi valem. f(x) funktsiooni lineaarset lähendit punkti x = a ümbruses, mis avaldub valemiga Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori poüunoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni f(x) McLaurini polünoom järgmine: TEOREEM- Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a, b). Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks
seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. Kõrgemat järku diferentsiaalid. dy(x) = f'(x)dx d2y(x) = f'' (x)dx2 d3y(x)=f''' (x)dx3 Funktsiooni y = f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse dny . Kehtib valem dn y(x)=f(n)(x) dxn 24.Funktsiooni Taylori polunoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polunoomi McLaurini polunoomiks? Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni f(x) McLaurini polünoom järgmine: 25. FUNKTSIOONI KASVAMISE JA KAHANEMISE SEOS TULETISE MÄRGIGA (SÕNASTADA VASTAV TEOREEM, TÕESTUST EI KUSI) Teoreem : Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2
diferentsiaali b.3. Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse . Kehtib valem Jagades selle võrduse mõlemaid pooli suurusega d saame järgmise valemi n-järku tuletise jaoks: 28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? a. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem) Funktsiooni lineaarne lähend punkti x=a ümbruses, avaldub valemiga Funktsioon koos oma tuletisega langeb punktis x=a kokku funktsiooniga f(x), st Joone kumerust iseloomustab teist järku tuletis. Seega, kui õnnestuks konstrueerivasse lähendisse üle kanda esialgse funktsiooni teise tuletise väärtust,
Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f’’’ jne. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1- järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? ' f ( a) f ' '(a) 2 f ' ' ' ( a) Pn(x) = f(a) + 1 ! (x-a) + 2! (x-a ¿ + 3! (x-a)3 f (n ) (a) + n! (x-a)n Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga
Täisprogrammi küsimustik Selle küsimustiku järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B variantideks. Küsimustik on koostatud õppejõu konspekti põhjal. Kontrolltöödes ei küsita konspektis toodud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Mitmemõõtmeline ruum. Punktid ja nende koordinaadid. Kaugus ja selle omadused. Polaarkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. 2. Parameetrilised jooned mitmemõõtmelises ruumis. Vektori parameetrilised võrrandid. Vektori pikkus ja koordinaadid. Mitmemõõtmeline ruum kui afiinne ruum. Samasuunalised ja vastassuunalised vektorid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy- Schwartzi võrratus. 3. Lahtised ja kinnised kerad. Punkti ümbrus. Sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidus hulk. Tõkestatud hulk. 4. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Suuruse muutumispiir...
Avaldame f(x): f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + β Jättes funktsiooni f(x) avaldisest välja jääkliikme β, saame uue funktsiooni, mis on lineaarne: P1(x) = f(a) + f′(a)(x − a). f(x) ≈ P1(x) Funktsioon P1(x) on funktsiooni f(x) lineaarne lähend. Jääkliikme β eemaldamisega funktsiooni avaldisest me lineaariseerisime selle funktsiooni. 2. Tuletada funktsiooni y = f(x) Taylori polünoom punktis x = a. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Pn(a) = C0 , P′n (a) = 1! C1 , P′′n (a) = 2! C2 , P′′′n (a) = 3! C3 , . . . , P(n)n(a) = n! Cn . Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polünoomiks ehk n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui x ≈ a, siis kehtib ligikaudne valem f(x) ≈ Pn(x). Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. 3. Defineerida funktsiooni lokaalne maksimum, lokaalne miinimum ja lokaalne ekstreemum.
järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali . Kehtib valem Kõrgemat järku diferentsiaalid Teades, et funktsiooni tuletis on , kus suurus dy sõltub punktist a, kus ta arvutatakse argumendi muudust dx, olgu viimane konstantne. 5. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? · Funktsiooni Taylori polünoom Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polynoomiks e n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui siis kehtib ligikaudne valem Kui nimetame Taylori polünoomi McLaurinin polünoomiks. 6. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem) Kui funktsioon f on diferentseeruv vahemikus (a, b) kehtivad järgmised väited: Kui iga korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b)
Arvu R nim astmerea koonduvusraadiuseks.Koondusvusraadiuseks võib olla ükskõik missugune mitteneg arv, k.a. lõpmatus.Kui R=0, on koonduvuspiirkond tühi hulk, st astmerida hajub kõikjal.kui R=lõpmatus, on koonduvuspiirkond kogu reaalarvude hulk R. Nihutatud astmerida: S(x)= ai (x a)i a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+.... kus ai=reaalarv, kus a,a1,a2,a3,....on reaalarvud. i=0 35. Taylori ja McLaurini read. f(x)= f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)2/2! + f'''(a)(x-a)3/3! + ... = f(i)(a)(x-a) i/ i! i=0 Funktsiooni f(x) Taylori rida punktis a. Kui a=0 nim. Taylori rida McLaurini reaks. 36. Millist rida nimetatakse trigonomeetriliseks reaks? (lk 52) a0/2+ [ancos nx + bnsin nx] n=1 37
3. Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku n diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse d y . Kehtib valem d n y=f (n ) ( x ) d x n Jagades selle võrduse mõlemaid pooli suurusega d x n saame järgmise valemi n-järku tuletise jaoks: n d y (n ) n =f ( x) dx 28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem) Funktsiooni lineaarne lähend punkti x=a ümbruses, avaldub valemiga P1 ( x )=f ( a ) + f ' (a)( x-a) Funktsioon P1 ( x ) koos oma tuletisega langeb punktis x=a kokku funktsiooniga f(x), st P1 ( x )=f ( a ) , P 1 ' ( x )=f ' ( a ) Joone kumerust iseloomustab teist järku tuletis. Seega, kui õnnestuks konstrueerivasse lähendisse üle kanda esialgse funktsiooni teise tuletise väärtust,
dx?^3. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni y = f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse? d?^n y . Kehtib valem d^n y(x)=f^((n) ) (x) ?dx?^n. Lõpuks märgime, et jagades selle võrduse mõlemaid pooli suurusega dx^n saame järgmise valemi n-järku tuletise jaoks: (d^n y)/(dx^n )=f^((n) ) (x). 28.Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Taylori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised lähendid polünoomide hulgast. Polünoomiga on lihtne opereerida. Polünoomi väärtuse arvutamisel tuleb ju teostada ainult aritmeetilisi tehteid (liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist). Näiteks taskuarvuti leiab funktsioonide a^x, sin x jms tegelike väärtuste asemel nende funktsioonide
Kasutades tingimusi tuletame j¨argmised valemid kordajate C0,C1,...,Cn jaoks: C' = f(a), C1 =f'(a) 1! C2 =f''(a) 2! C3 =f'''(a) 3! Cn =f(n)(a) n! Seega saame valemi kirjutada j¨argmisel kujul: Pn(x) = f(a) +f'(a) 1!(x - a) +f''(a) 2!(x - a)2+f'''(a) 3!(x - a)3 + ... + f(n)(a) n!(x - a)n . Polu¨noomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polu¨noomiks ehk n-j¨arku l¨ahen- diks punkti a u¨mbruses. Kui x a, siis kehtib ligikaudne valem f(x) Pn(x). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polu¨noomi ka McLaurini polu¨noomiks. 29. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga . Tõestada vastav teoreem. Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis kehtivad j¨argmised v¨aited: 1. Kui f'(x) > 0 iga x (a,b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a,b). 2. Kui f'(x) < 0 iga x (a,b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a,b). Tõestus: T~oestame v¨aite 1. Olgu f'(x) > 0 iga x (a,b) korral
Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori poünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni f(x1) = 0. f(x) McLaurini polünoom järgmine: Tõestus : funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum.
..,Cn jaoks: C’ = f(a), C1 =f’(a) 1! C2 =f’’(a) 2! C3 =f’’’(a) 3! Cn =f(n)(a) n! Seega saame valemi kirjutada järgmisel kujul: Pn(x) = f(a) +f’(a) 1!(x − a) +f’’(a) 2!(x − a)2+f’’’(a) 3!(x − a)3 + ... + f (n)(a) n!(x − a)n . Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polünoomiks ehk n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui x ≈ a, siis kehtib ligikaudne valem f(x) ≈ Pn(x). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. 29. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga . Tõestada vastav teoreem. Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f’(x) > 0 iga x ∈ (a,b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a,b). 2. Kui f’(x) < 0 iga x ∈ (a,b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a,b). Tõestus: Tõestame väite 1. Olgu f’(x) > 0 iga x ∈ (a,b) korral
j.argmise valemi n-j.arku tuletise jaoks: d^n y/dx^n = f^(n)(x) . 28. Funktsiooni Taylori polunoom (tuletada() vastav valem). Polönoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polünoomiks ehk n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui x a, siis kehtib ligikaudne valem f(x) Pn(x). Pn(x) = f(a) +[f(a)/ 1!]* (x - a) +[f(a)/2!]* (x - a)^2 +[f(a)/ 3!]* (x - a)^3 + . . . + [f(n)(a)/ n!]* (x - a)^n . Millal nimetatakse Taylori polunoomi McLaurini polunoomiks? Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni f(x) McLaurini polünoom järgmine: Pn(x) = f(0) + [f(0)/ 1!]* x +[f(0)/ 2!]* x2 + [f(0)/ 3!]*x3 + . . . + [f(n)(0)/ n!]*xn. 29. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise margiga . Toestada vastav teoreem. Teoreem 4.1. Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2
lõigus on pukt, kus f(punkt)=0 1.Edasi kasutakse lõigu poolitamist. Lahend on [a,b] f´peab olema sama märgiga Leidub täpstelt üks lahend. Võetakse keskkpunk a+b/2 ja arvutame f(a+b/2) jälgime märki saab teada kas lahend kuulub [a+b/2;b] ja siis korratakse seda. Taylori(MacLaurini)valem f ( 0 ) f ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0) + x+ x + + x 1! 2! n! . Seda valemit nimetatakse Mclaurini valemiks. Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas, siis öedakse, et z=f(x;y)on määratud punktis (x0;y0). Argumentide väärtuspaaride hulka, mille korral funktsioon on määratud nimetakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Nivoojoon(Nivoopind) Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetakse punktihulka, mis rahuldab võrranditx=C.
tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Fermat' lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨a¨ artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 l'Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K~orgemat j¨arku tuletised ja diferentsiaalid. . . . . . . . . . . . . 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨ unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87 4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. . . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus, n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . .
tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Fermat' lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨a¨artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 l'Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K~orgemat j¨arku tuletised ja diferentsiaalid. . . . . . . . . . . . . 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨ unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87 4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. . . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus, n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . .
d 3 y ( x ) = d d 2 y ( x) = d f ' ' ( x)dx 2 = d [ f ' ' ( x)] dx 2 = d [ f ' ' ( x)] dxdx2 = f ' ' ' ( x )dx 3 Järelikult : d 3 y ( x ) = f ' ' ' ( x)dx Kehtib valem : d n y ( x) = f n ( x)dx b dny = f (n) x dx n 6. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem) Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? a. Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polünoomiks e n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui siis kehtib ligikaudne valem: b. Kui nimetame Taylori polünoomi McLaurinin polünoomiks. 7. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga. Tõestada vastav teoreem. a. Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis kehtivad järgmised väited: a.i
annaabi.ee 
