diagrammil ei kata teda mitte ükski element Mis on järjestussuhte vähim element? Mis on suurim element? Kui järjestatud hulgas leidub element, mis on väiksem igast teisest selle hulga elemendist, siis see element on vaadeldava hulga vähim ehk esimene element. Kui järjestatud hulgas leidub element, mis on suurem igast teisest selle hulga elemendist, siis see element on vaadeldava hulga suurim ehk viimane element. Mis on osaliselt järjestatud hulga mingi osahulga ülemtõke? Mis alamtõke? Element m, mis kuulub hulka M on hulga S ülemtõke, kui m on suurem osahulga S mistahes elemendist. Element m, mis kuulub hulka M on hulga S alamtõke, kui m on väikseim osahulga S mistahes elemendist. Mis on ülemraja? Kuidas seda teisiti nimetatakse ja kuidas tähistatakse? Kui osahulga S ülemtõkete hulgas leidub selline ülemtüke, mis ellenb kõikidele teistele sama osahulga ülemtõketele siis sellist ülemtüket nimetatakse selle osahulga ülemrajaks.
mittemonotoonne, mittelineaarne **** Graafid Graaf: objektidevaheliste seoste joonismudel, mis koosneb tippudest ja kaartest. Orienteerimata graaf: kõik kaared suunamata, neid tähistatakse harilike joontega Orienteeritud graaf: kõik kaared suunatud, neid tähistatakse nooltega Ahel: tee orienteerimata graafis Alamgraaf: graaf on mingi graafi alamgraaf, kui ta on selle graafi mingi taandatud graafi jääkgraaf Baas: selline minimaalne tippude osahulk, kus selle osahulga tippudest leidub tee selle graafi mistahes tippu (orienteeritud graafis) Elementaarahel: elementaartee orienteerimata graafis Elementaartee: tee, mis ei läbi ühtki graafi tippu üle ühe korra Euleri ahel: läbib täpselt 1 kord kõik orienteerimata graafi kaared, aga ei lõpe oma algustipus. Euleri graaf: (orienteerimata) graaf, mis omab Euleri tsüklit. Euleri kontuur: suletud lihttee Euleri tsükkel: suletud lihtahel Hamiltoni graaf: (orienteerimata) graaf, mis omab Hamiltoni tsüklit
analüüsimist. 2.Matemaatiline statistika on matemaatika haru, mis uurib statistiliste andmete põhjal järelduste tegemise meetodeid. 3.Statistikas on oluline uurimise objekt - üldkogum. 4.Üldkogum on kas looduse või ühiskonna nähtus või objektide hulk, mille kohta soovime teha teaduslikult põhjendatud järeldusi. Üldkogumi uurimisel on kaks võimalust: a) uuritakse üldkogumi kõiki elemente b) uuritakse selle üldkogumi mingit osahulka ja tehakse selle osahulga uurimise põhjal järeldusi terve üldkogumi kohta. 5.Mõõtmiseks võetud üldkogumi osa nimetatakse valimiks. 6.Valim peab olema küllalt arvukas ming igal üldkogumi objektil peab olema võimalus valimisse sattuda. 7.Statistiline rida- uuritava kogumi objektide mõõtmisel saadud vaadeldava tunnuse väärtuste rida 8.Variatsioonrida- väärtuse kasvamise või kahanemise järgi järjestatud valim 9.Sagedustabel- võtab andmebaasist kokku mitmel objektil esineb antud
Seosed Seoseks (ehk vastavuseks, sageli ka relatsiooniks või suhteks) hulkade ja vahel nimetatakse otsekorrutise × mistahes osahulka. Seega, seos hulkade ja vahel on järjestatud paaride (,) hulk, kus ja . Teisiti öeldes, seos on mingi osahulk ×. Paari (,)× korral öeldakse, et elemendid ja on seoses ning tähistatakse ka . Mõnikord öeldakse osahulga kohta, et see on seose graafik. Kui =, ehk kui ×, siis räägitakse seosest hulgal . Näide 1. Olgu ={2,3} ja ={1,2,3,4,5,6}. Siis 1={(2,2),(2,3),(3,1), (3,5)} on binaarne seos hulkade ja vahel. Samade hulkade ja korral võime vaadelda veel palju teisi seoseid, näiteks seost 2, mis on antud tingimusega, et see koosneb paaridest (,), millede korral jagub arvuga . Siis 2={(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6)}. Näide 2. Olgu hulgaks kõigi naturaalarvude hulk ning seoseks
vähem kui. Lapsed peavad tunnetama hulkade samaväärsuse säilimist sõltumata elementide paigutusest, suurusest. 3. Hulga jaotamine osahulkadeks Selleks on lapsed valmis nelja-viie aastaselt. Lapsed saavad aru, et rühmatoas on poisid tüdrukud, autod on sõidu- ja veoautod, vaasis on kollased ja punased lilled jm. Esmalt leiavad lapsed hulgale ühise nimetuse (tunnuse) ja siis analüüsivad täpsemalt sinna kuuluvaid esemeid. 4. Hulkade ühendamine ja osahulga eraldamine See on aluseks liitmisele ja lahutamisele. Õpetaja esmane ülesanne on aidata lastel aru saada, et esemeid saab ühendada hulgaks, kui neil on vähemalt üks ühine tunnus. Sõna ,,hulk" asemel võib kasutada erinevaid käsklusi, näiteks panna ülemisele riiulile nukud, alumisele karud; panna ühte karpi punased ja teise kollased pliiatsid. Lastele mõisteid palju ja üks õpetades peaks jälgima, et kasutades mõistet palju peab hulgas olema alati erinev arv asju.
Mis on Hasse diagramm? Kuidas ta koostatakse? Hasse diagramm on osalise järjestussuhte graafiline esitus. 9. Millisel juhul ütleme, et üks element diagrammil „katab“ teist elementi? Element katab teist elementi, kui osaliselt järjestatud hulga 2 elementi on Hasse diagrammil joonega ühendatud. 10. Mis on järjestussuhte minimaalne element? Mis on maksimaalne element? 11. Mis on järjestussuhte vähim element? Mis on suurim element? 12. Mis on osaliselt järjestatud hulga mingi osahulga ülemtõke? 13. Mis on osaliselt järjestatud hulga mingi osahulga alamtõke? 14. Mis on ülemraja? Kuidas teda teisiti nimetatakse ja kuidas tähistatakse? 15. Mis on alamraja? Kuidas teda teisiti nimetatakse ja kuidas tähistatakse? 16. Mis on võre? Võre on järjestussuhe, kus alushulga suvalise kahe elemendi jaoks leidub alamraja ja ülemraja. 17. Millised 2 tehet on võres defineeritud tema elementidele? 18. Mis on võreavaldis? 19. Millised seadused kehtivad võreavaldiste jaoks? 20
Matemaatika tegevuste aluseks. - Rühmitamine paljudest esemetest ühesuguste tunnustega esemete eraldamine. Tegevus, millega esemeid või nähtusi nende ühiste tunnuste alusel klassifitseeritakse so. jaotatakse rühmadesse, gruppidesse, klassidesse, hulkadesse jms. - Järjestamine esemete ja nähtuste korrastamine võrdsustunnuse alusel. - Loendamine esemete arvu kindlakstegemine hulgas. - Liitmine on osahulkade ühendamine. - Lahutamine on koguhulgast osahulga eemaldamine. 6. Kuidas arvestada erineva õpistiiliga õppijate eripära õppetegevustes? Miks seda tuleb arvestada? Osad õppijad on kuulajad, teised nägijad ja kolmandad tegutsejad. Õpetaja peab kasutama õppetegevuses kõiki kolme varianti. Jutustama, näitama ette, kasutama pildimaterjale, tegema tegevusi läbi mängude ja kunstitsegevuse. 7. Pange järgnevad õppimise alusoskused loogilisse järjekorda (võrdlemine, kuulamine, modelleerimine, vaatlemine). Kuidas on nad seotud uute
Seega saadakse jääkgraaf osade kaarte ärajätmisega, kusjuures kõik tipud säilivad. Graafi -..- taandatud graaf on graaf 𝑄 = (𝐷, 𝐵), kus on ära jäetud osad graafi G tipud ja nende tippudega seotud kaared, seega 𝐵 ⊂ 𝐾 𝑗𝑎 𝐷 ⊂ 𝑇. Graaf on teisele alamgraaf, kui ta on sellele graafile samaaegselt nii jäägraaf kui ka taandatud graaf. Graaf on kahealuseline, kui tema tipud jagunevad kaheks mittelõikuvaks osahulgaks selliselt, et graafi iga kaar seob ühe osahulga mingit tippu teise osahulga mingi tipuga. Graaf on tasandiline, kui ta on paigutatav tasandile selliselt, et ta kaared ei lõiku. Orienteeritud graafi baas B on selline minimaalne tippude osahulk BcT, kus hulga B tippudest leidub tee selle graafi mistahes teise tipuni (graafi iga tipp on baasist saavutatav). 2 graafi on isomorfsed, kui neil on samapalju tippe, samapalju kaari ning tipud ja kaared on seatavad üks-ühesesse vastavusse nii, et mõlemas tipud/kaared samad.
positiivsed ja negatiivsed murdarvud; -8=-8:1 0,0082=82:10 000 osahulgad: naturaalarvude hulk ja - =- täisarvude hulk; siia kuuluvad murdarvud on kas lõplikud või lõpmatud perioodilised kümnendmurrud; iga ratsionaalarv avaldub Leida, kumb on suurem. lõpmatu perioodilise kümnendmurruna < + LOE 5< <6 ehk 5,... NB moodustavad reaalarvude hulga 3< <4+4< <5 ehk 7,... osahulga 4.Irratsionaalarvud - saab esitada lõpmatu Ül.1283 mitteperioodiline kümnendmurruna; Ruutjuure ligikaudne väärtus leida tekivad näiteks , , ; 6.klass: proovimise teel ümardatuna ühelisteni. 2 2 ringjoone pikkuse ja diameetri jagatis 2, sest 1 =1, 2 =4, 3 on lähemal =3,141592653589793238 arvule 4 46264338327950288419716939937510..., 2 2
5. f ( A B) f ( A) f (B) . TÕESTUS 1. Vastavalt hulga kujutise definitsioonile f ()={f ( x): x } . Kuna aga ükski x tühja hulka ei kuulu, siis pole paremal olev tingimus rahuldatud ühegi elemendi x korral. Seega on parempoolne hulk tühi. 2. Olgu y f ( X ) . Hulga kujutise definitsioonist f ( X )={ y Y : x ( x X f (x)= y)} . Seega yY . 3. Olgu A ,BX ja A B . Väite 3. tõestamiseks tuleb meil vastavalt osahulga definitsioonile näidata, et kui y f ( A ) , siis y f (B) . Olgu y f ( A ) . Siis hulga kujutise definitsiooni järgi eksisteerib x A , nii et y=f ( x) . Kuna A B , siis saame x B . Seega eksisteerib x B , nii et y=f (x) , mistõttu hulga kujutise definitsiooni järgi y f (B) . 4. Võrduse tõestamiseks näitame, et kumbki võrduse pooltest on teise poole osahulk. (a) Olgu y f ( A B)
korrusele. Mitu korrust peab Ats ülespoole sõitma? 1 Korda õiget vastust Õpetaja kutsub klassi ette õpilase, kes arvutab ja ütleb vastuse õpe- taja esitatud liitmisülesandele. Kui vastus on õige, kordab klass õiget vastust kajana järgi. Kui öeldi vale vastus, on klass vait. 31 Lahutamine Tööraamat lk 64 ja 65 Lahutamise õpetamist alustatakse hulgast osahulga eraldamisega. Õpitakse tundma sõna miinus ja märki –. Õpitakse kirjutama a – b = c kujulisi võrdusi ja neid lugema. Õpilased panevad lauale ja õpetaja tahvlile 5 kolmnurka. Üks kolm- nurk võetakse ära. Mitu kolmnurka jääb nüüd alles? Õpetaja sele- tab, et seda, mida tehti hulkadega, on võimalik kirja panna võrduse abil. Selleks vajatakse ühte uut märki, mida loetakse miinus ja kir- jutatakse –. Tahvlile kirjutatakse 5 – 1 = 4.
Enne, kui rääkida hulgamõiste kujundamisest, on vaja vaadelda selle mõiste kujunemist. Käesoleval juhul peame hulgamõistet käsitlema lähtemõiste tasemel, sellepärast räägime eelkõige lihtsamatest, konkreetsete hulkadega teostatavatest operatsioonidest. Nende lihtsate operatsioonide all on vaja mõista 1) hulkade tajumist; 2) hulkade võrdlemist nende elementide üks-ühesesse vastavusse seadmise teel; 3) uute hulkade moodustamist kahe või enam hulga ühendamise teel; 4) hulgast osahulga või osahulkade eraldamist. Tunnetusteoreetilises (gnoseoloogilises) plaanis huvitab meid esmajärjekorras hulgamõiste ontogenees, s.o. hulgamõiste kujunemise psühholoogiline aspekt. J. Piaget'i järgi kujuneb lapsel hulgamõiste tavaliselt mõtlemise arengu II etapil, mida ta nimetab operatsioonieelseks perioodiks. Sellel perioodil hakkab laps mõistma, et ühes ja samas esemete grupis eksisteerivad kindlad püsivad
8.11. Arvutiprogrammile võib "ette kirjutada" ka mitmesuguseid piiran- guid ja "sundkäike". Võime nõuda, et teatud liigid või liigirühmad peavad olema ühes harus (klaadis) koos; et teatud rühmad peavad olema kõrvutistes sõsarokstes (harudes). Sellised "sundused" (constraints) on tavaliselt õi- 24 gustatud ainult siis, kui need tuginevad mõnel eelnenud kladistilisel ana- lüüsil uuritava liigikogumi osahulga kohta. 8.12. Puu ehitamise mistahes algoritm (programm) püüab minimeerida puu pikkust, s.t. vältida homoplaasiat - paralleelsust ja tagasipöördumist. Iga saadud puu puhul arvutab programm iga tunnuse kohta selle püsivusindeksi (consistency index); kui tunnus on muutunud ainult üks kord, on selle väär- tus 1. Mida rohkem on reversioone ja paralleelsust, seda väiksem on indeksi väärtus; seda pikem sammudes tuleb ka puu. Kõigi tunnuste peale kokku ise-
TEKSTÜLESANNETE PL ANALÜÜS Tesktülesanne on matemaatiline tekst, Aga iga matematiline tekst pole matemaatiline tekstülseanne. TÜ tunnused: sidusus ja terviklikkus, lühike suht, vähe hargnenud, TEEMA (eeldused, st suuruste kvantitatiivsed seosed)REEMA (küsimus). TÜ lahendamise eeldused: tehete teadvustamine, harjutamine, valik. PL analüüs: tekstibaassituatsioonimudelmatemaatiline situatsioonimudel. Matemaatilised situatsioonid (MS) Hulkade ühendamine, Hulkade kokku loendamine, Osahulga eraldamine, hulkade võrdlemine. Raskendavad asjaolud: Reemaks on võrduse esimene või teine komponent, et ei tule neid otsida, vaid lõpptulemust tuleb otsida. Situatsioooni ja (näiline) MS vastuolu (et lõigati ära 2 korda ja kui palju siis kokku ikkagi lõigati). Keeleline keerukus: sõnade üldistusaste, TEEMA-REEMA sõnastamine. Ülesande puhul peab oskama tehte valida. Tehe pole öeldud. Ja tehte valiku saab teha võrdusest lähtuvalt
annaabi.ee 
