liikumise uurimine mõjuvaid jõude arvestades. Ülesanded: a) on antud masspunkti liikumine (s.t. tema liikumisseadus) ja tuleb leida jõud, mille mõjul liikumine toimub. b) on antud masspunktile mõjuv jõud, leida tuleb selle masspunkti liikumise seadus. *Newtoni seadused: I seadus: Isoleeritud masspunkt on paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. II seadus: Inertsiaalsüsteemis on masspunkti kiirendus võrdeline ja samasuunaline talle mõjuva jõuga. ~F=m*~a III seadus: Masspunktide mõju ja vastumõju aksioom *Dünaamika põhiseadused: a) On olemas selline taustsüsteem, kus masspunkt seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, kui talle ei mõju jõude. Sellist taustsüsteemi nimetatakse inertsiaalseks. b) Inertsiaalsüsteemis on punkti kiirenduse vektor võrdeline talle mõjuva jõu vektoriga. c) Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele piki neid ühendavat sirget absoluutväärtuselt võrdse ja suunalt vastupidise jõuga.
=180 A=-Ps) Rahvusvaheline süsteem: Dzaul(J) on töö, mida teeb jõud 1N kui tema rakenduspunkt nihkub liikumise suunas 1m võrra. Tehnilises süsteemis: 1 kilogramm-meeter (kGm) on töö mida teeb jõud 1 kG, kui tema rakenduspunkt nihkub liikumise suunas 1m võrra. Masspunkti mass: on keha inertsuse mõõduks (m =P/a) Masspunkti liikumisel igal antud hetkel on aktiivse jõu, reaktsioonjõu ja inertsjõu geomeetriline summa võrdne nulliga. (Pakt+R+F=0) Masspunktide süsteem: Masspunktide mehaaniliseks nim. Masspunktide niisugust kogumit, milles iga punkti liikumine on määratud ülejäänud punktide liikumisega või asendiga. Masspunktile mõjuvad jõud liigitatakse välis(jõud mis on teiste süsteemide mõjumise tulemus sellele süsteemile-raskusjõud, tõukejõud, reaktsioonijõud jt.) ja sisejõududeks (jõud mis mõjuvad antud süsteemi masspunktide vahel). Vabad süsteemid: mis võib liikuda meelevaldse suunas, liikumine on määratud ainult algtingimustega ja
Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel tasapinnalise liikumise korral? Liikumise algtingimuste põhjal. kirjutatakse kõigepealt välja süsteemi (4.3) kõik võrrandid alghetkel t = 0 , asendades seejuures vasakutes pooltes x, y, z asemele vastavalt etteantud x0 , y0 , z0 ja aja t asemele nulli. Seejärel leitakse funktsioonide x, y ja z tuletised aja t järgi ja kirjutatakse ka need välja alghetkel t = 0 . 8. Mida nimetatakse masspunktide mehaanikaliseks süsteemiks? Punktmasside mehaanikaliseks süsteemiks nimetatakse üksteist mõjutavate punktmasside kogumit. Masspunktide (või kehade) mehaanikaliseks süsteemiks nimetatakse nende sellist kogumit, milles iga punkti (või keha) asukoht ja liikumine oleneb kõigi ülejäänud punktide (või kehade) asukohtadest ja liikumistest. 1 9
suunda), kusjuures langev kiir, murdunud kiir ja langemispunkti tõmmatud pinnanormaal on ühes tasandis. Langemisnurga ja murdumisnurga siinuste suhe on antud keskkondade paari jaoks konstantne suurus ega sõltu langemisnurgast. Gravitatsiooni seaduse Valem: , kus: G on gravitatsioonikonstant m1 on esimese keha mass, m2 on teise keha mass, r on kehadevaheline kaugus. Kuigi valem on sõnastatud masspunktide jaoks, jääb see kehtima ka sfäärilise sümmeetriaga massijaotust omavate kehade korral (näiteks raskuskiirendust planeedi pinnal võib ligikaudselt arvutada sama valemi järgi). Gravitatsioonikonstandi eksperimentaalseks väärtuseks on saadud 6,674×10-11 N·m2·kg-2
Vaadatakse punkti liikumist alghetkel. t = 0 ja ülejäänud parameetrid võetakse alghetkele vastavad. Nii saab avaldada integreerimiskonstandi C. 199. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel tasapinnalise liikumise korral? Vaadatakse punkti liikumist alghetkel. t = 0 ja ülejäänud parameetrid võetakse alghetkele vastavad. Nii saab avaldada integreerimiskonstandi C. 200. Mida nimetatakse masspunktide mehaanikaliseks süsteemiks? Mehaanikaliseks süsteemiks nimetatakse masspunktide kogumit, kus iga masspunkti asukoht ja liikumine sõltub kõigi teiste masspunktide asukohtadest ja liikumistest. 201. Panna kirja süsteemi sisejõudude 2 omadust. n i 1. Süsteemi kõikide sisejõudude geomeetriline summa võrdub nulliga. F
Aeg on sõltumatu muutuja. Kõiki teisi muutuvaid suursi vaadeldakse aja funktsioonidena. on alati aja lugemise algus. Jäiga keha kinemaatika Jäiga keha kinemaatikas (ja punktmassi kinemaatikas) kasutatavate põhiliste suuruste seas on teepikkus s (nihe), kiirus v ja kiirendus a, nurkkiirus ja nurkkiirendus. Põhimõistete seas on trajektoori mõiste. Kõik need põhinevad kehade või punktmasside võimalikest asukohtadest kui punktidest koosneva ruumi mõistel. Jäik keha on vaadeldav masspunktide jäigalt seotud rühmana. Jäiga keha puhul lisanduvad nimetatud kolmele vabadusastmele veel kolm pöörlemise vabadusastet. Kinemaatika mõistete hulka ei kuulu näiteks jõu, impulsi ja energia mõiste. Jäiga keha tasapinnaliseks liikumiseks nimetatakse sellist liikumist, mille puhul kõik tema punktid liiguvad tasapindades, mis on paralleelsed mingi antud liikumatu tasapinnaga. Järelikult tasapinnalise liikumise korral liiguvad kõik antud tasapinnaga risti olevad sirged
[5], lk 462-466 ja [3], lk 223-232. 4.6 Määratud integraali rakendusi Määratud integraalil on arvukalt rakendusi nii geomeetrias kui mehaanikas. Lisaks tasandiliste kujundite pindalade leidmisele, on võimalik määratud integraalide abil arvutada ka kõverjoone kaa- re pikkust, leida kehade ruumala, arvutada jõu poolt tehtud tööd, leida masskeskme koordinaate, arvutada teatud masspunktide süsteemide inertsmomente jne (vt [5], lk 462-483). 4.7 Päratud integraalid b Määratud integraali a f (x)dx definitsioonis eeldatakse, et funktsioon f on pidev ja lõik [a, b] on lõplik. Integraali mõistet on võimalik üldistada ka juhule, kui integreerimispiirkond on lõpmatu. Olgu funktsioon y = f (x) määratud poollõigus [a, +) ja integreeruv suvalisel lõigul [a, b], kus b > a. Kui leidub piirväärtus
Teades,et pöördliikumise joonkiirus V¯ ja nurkkiirus ning ¯ pikkuselt ringse trajektoori raadiusega võrdne vektor R¯ on seotud valemiga V ¯= ¯*R ¯.Võime impulssmomendi Lz ¯ kirja panna nii: Lz ¯=m[R ¯*( ¯*R ¯)]=mR ² ¯ Iz =mR ²,kus R on masspunkti kaugus teljest z. Masspunkti impulssmomendi telje z suhtes L2¯ kasutades avaldada järgmiselt Lz¯=Iz* ¯ Pöörlemine nurkkiirenduse ¯ korrutisega: Mz ¯=dLz ¯/dt=d(Iz* ¯)/dt=Iz*d* ¯/dt=Iz* ¯ Masspunktide isoleeritud süsteemi impulssmomendi jäävuse seaduse võime kirjutada ka teisel kujul.Kui süsteemile mõjuvate välisjõudude moment telje z suhtes Mz=0,siis süsteemi impulssmoment Lz ¯=I ¯=const. Steineri lause järgi keha inertsmoment suvalise pöörlemistelje suhtes,mis ei läbi raskuskeset on järgmine: I=I0+ma² Masspunkt-m,pöörleb ümber z,ringne trajektoor,raadius R,joonkiirus V,nurkkiirus => V= R
Loeng 5 - Ülemaailmne gravitatsiooniseadus on Newtoni poolt formuleeritud mudel gravitatsioonijõu toime kohta. Selle seaduse kohaselt kaks masspunkti tõmbuvad üksteise poole jõuga, mis on võrdeline nende massidega ning pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga: , kus: G on gravitatsioonikonstant, m1 on esimese keha mass, m2 on teise keha mass, r on kehadevaheline kaugus. Kuigi valem on sõnastatud masspunktide jaoks, jääb see kehtima ka sfäärilise sümmeetriaga massijaotust omavate kehade korral (näiteks raskuskiirendust planeedi pinnal võib ligikaudselt arvutada sama valemi järgi). Gravitatsioonikonstandi eksperimentaalseks väärtuseks on saadud 6,674×10-11 N·m2·kg-2. Newtoni gravitatsiooniteooria põhilisteks rakendusvaldkondadeks on ballistika (mürskude, rakettide, kosmoselaevade liikumine gravitatsiooniväljas), planeetide jt
Bernoulli võrrand: Loeng 5/11 - Ülemaailmne gravitatsiooniseadus on Newtoni poolt formuleeritud mudel gravitatsioonijõu toime kohta. Selle seaduse kohaselt kaks masspunkti tõmbuvad üksteise poole jõuga, mis on võrdeline nende massidega ning pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga: , kus: G on gravitatsioonikonstant, m1 on esimese keha mass, m2 on teise keha mass, r on kehadevaheline kaugus. Kuigi valem on sõnastatud masspunktide jaoks, jääb see kehtima ka sfäärilise sümmeetriaga massijaotust omavate kehade korral (näiteks raskuskiirendust planeedi pinnal võib ligikaudselt arvutada sama valemi järgi). Gravitatsioonikonstandi eksperimentaalseks väärtuseks on saadud 6,674×10-11 N·m2·kg-2. Newtoni gravitatsiooniteooria põhilisteks rakendusvaldkondadeks on ballistika (mürskude, rakettide, kosmoselaevade liikumine gravitatsiooniväljas), planeetide jt. taevakehade liikumise analüüs jms
telje.Teades,et pöördliikumise joonkiirus V ja nurkkiirus ning pikkuselt ringse trajektoori raadiusega võrdne vektor R on seotud valemiga V = *R .Võime impulssmomendi Lz kirja panna nii: Lz =m[R *( *R )]=mR ² Iz =mR ²,kus R on masspunkti kaugus teljest z. Masspunkti impulssmomendi telje z suhtes L2 kasutades avaldada järgmiselt Lz=Iz* Pöörlemine nurkkiirenduse korrutisega: Mz =dLz /dt=d(Iz* )/dt=Iz*d* /dt=Iz* Masspunktide isoleeritud süsteemi impulssmomendi jäävuse seaduse võime kirjutada ka teisel kujul.Kui süsteemile mõjuvate välisjõudude moment telje z suhtes Mz=0,siis süsteemi impulssmoment Lz =I =const. Steineri lause järgi keha inertsmoment suvalise pöörlemistelje suhtes,mis ei läbi raskuskeset on järgmine: I=I0+ma² Masspunktm,pöörleb ümber z,ringne trajektoor,raadius R,joonkiirus V,nurkkiirus => V= R
lim An = lim ( F ( Pi )xi + G ( Pi ) yi ) = F Nende punktide massid olgu vastavalt m1, m2,..., mn. On teada, et taolise Olgu V materiaalne keha. Vaatleme suvalist osapiirkonda V. V mass masspunktide süsteemi masskeskme koordinaadid avalduvad valemitega olgu m ja ruumala V. Aine keskmine tihedus piirkonnas V avaldub , kus J (u , v, w) = y ' u y '
183. Sõnastada dünaamika IV aksioom. Kelle nime see aksioom kannab? 184. M Mida nimetatakse punkti dünaamika esimeseks ja teiseks põhiülesandeks? 185. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel sirgjoonelise liikumise korral? 186. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel tasapinnalise liikumise korral? 187. Mida nimetatakse masspunktide mehaanikaliseks süsteemiks? Mehaanikaliseks süsteemiks nim masspuntide selliste kogumit, kus iga masspunkti asukoht ja liikumine sõltub kõigi ülejäänud punktide asukohtadest ja liikumistest. Lühidalt kui masspunktid üksteist mõjutavad. 188. Panna kirja süsteemi sisejõudude 2 omadust. 1) Kõikide sisejõudude geomeetriline summa on võrdne nulliga. 2) Kõikide sisejõudude momentide summa suvalise punkti või ka telje suhtes on võrdne nulliga. 189
183. Sõnastada dünaamika IV aksioom. Kelle nime see aksioom kannab? 184. M Mida nimetatakse punkti dünaamika esimeseks ja teiseks põhiülesandeks? 185. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel sirgjoonelise liikumise korral? 186. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel tasapinnalise liikumise korral? 187. Mida nimetatakse masspunktide mehaanikaliseks süsteemiks? Mehaanikaliseks süsteemiks nim masspuntide selliste kogumit, kus iga masspunkti asukoht ja liikumine sõltub kõigi ülejäänud punktide asukohtadest ja liikumistest. Lühidalt kui masspunktid üksteist mõjutavad. 188. Panna kirja süsteemi sisejõudude 2 omadust. 1) Kõikide sisejõudude geomeetriline summa on võrdne nulliga. 2) Kõikide sisejõudude momentide summa suvalise punkti või ka telje suhtes on võrdne nulliga. 189
Ülemaailmne gravitatsiooniseadus on Newtoni poolt formuleeritud mudel gravitatsioonijõu toime kohta. Selle seaduse kohaselt kaks masspunkti tõmbuvad üksteise poole jõuga, mis on võrdeline nende massidega ning pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga: , kus: G on gravitatsioonikonstant, m1 on esimese keha mass, m2 on teise keha mass, r on kehadevaheline kaugus. Kuigi valem on sõnastatud masspunktide jaoks, jääb see kehtima ka sfäärilise sümmeetriaga massijaotust omavate kehade korral (näiteks raskuskiirendust planeedi pinnal võib ligikaudselt arvutada sama valemi järgi). Gravitatsioonikonstandi eksperimentaalseks väärtuseks on saadud 6,674×10-11 N·m2·kg-2. Newtoni gravitatsiooniteooria põhilisteks rakendusvaldkondadeks on ballistika (mürskude, rakettide, kosmoselaevade liikumine gravitatsiooniväljas),
Lehekülje häälestus: paber A4, veerised: ülal 25 mm, all 22 mm, vasakul 24 mm, paremal 20 mm. Autoriõigus J. Kirs 2010-2011 J. Kirs Loenguid ja harjutusi staatikast 3 Sissejuhatus Teoreetiline mehaanika on üks osa mehaanikast. Mehaanika jaotatakse uuritava objekti omaduste järgi järgmisteks osadeks: 1) masspunkti mehaanika, 2) masspunktide diskreetse süsteemi mehaanika, 3) jäiga keha mehaanika, 4) muutuva massiga keha mehaanika (raketimehaanika), 5) deformeeruva keha mehaanika (elastsus- ja plastsusteooria), 6) masinamehaanika, 7) vedelike mehaanika (hüdromehaanika), 8) gaaside mehaanika (aeromehaanika). Teoreetiline mehaanika on mehaanika osa, milles uuritakse neist ainult kolme esimest:
· on ainepunkti impulss L2¯ kasutades avaldada järgmiselt Lz¯=Iz* ¯ Pöörlemine nurkkiirenduse ¯ korrutisega: Inertsi peatelk-inertsikeset ehk raskuskeset läbivad omavahel risti asetavad teljed. Mz ¯=dLz ¯/dt=d(Iz* ¯)/dt=Iz*d* ¯/dt=Iz* ¯ T+ U=0 Masspunktide isoleeritud süsteemi T=mV ²/2+I ²/2 impulssmomendi jäävuse seaduse võime kirjutada ka teisel kujul.Kui süsteemile U<0,- U=mgh mõjuvate välisjõudude moment telje z suhtes Jõu töö saame ja võimsuse Mz=0,siis süsteemi impulssmoment Lz ¯=I ¯=const. N=M Steineri lause järgi keha inertsmoment 1.3
Sama kehtib ka pöörlemise korral: kui keha pöörleb mingi telje ümber, siis ta püüab säilitada pöörlemistelge ja kiirust. Pöörlemise inerts oleneb keha massist ja ka selle jaotusest pöörlemistelje ümber. Mida kaugemal pöörlemisteljest asub suurem osa keha massist, seda suurem on pöörlemise inerts. 56 Pöörlemise inertsi iseloomustab keha inertsimoment, mis koosneb keha moodustavate masspunktide inertsmomentide summast. Kui mass on kehas pidevalt jaotunud, taandub liitmine integreerimisele. Punktmassi inertsimomendiks Ii nimetatakse suurust miri2, kus mi on punkmassi mass ja ri punktmassi kaugus pöörlemisteljest. Leiame avaldise ümber telje OO pöörleva keha kineetilise energia jaoks. O ri · mi vi O Eki = mivi2 ; vi = ri ; Eki = mi2ri2 .
annaabi.ee 
