Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil 15. Tõestada jada piirväärtuse omadused vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on V:1)Konstantse jada piirväärtuseks on see constant, sest Xn=c -> Xn->c defineeritud funktsioon f ja kirjutatakse y=f(x). Tõestus: Määramispiirkond. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. 2)Jada koonduvusest järeldub selle jada tõkestatus Xn->a-->Xn=O(1) Muutumispiirkonna mõiste Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka Tõestus: nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni f graafik on 3)Kui jada piirväärtus a on nullist erinev, siis jada teatud elemendist alates on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. jada liikme absoluutväärtus suurem kui |a|/2 5
f (x)dx. (5.11) a Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) ra- huldavad tingimust 0 (x) f (x) ja p¨aratu integraal (5.10) hajub, siis hajub ka p¨aratu integraal (5.11). Teoreem 4. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) on piiprotsessis x ekvivalentsed, siis p¨aratu integraali (5.10) koonduvusest j¨areldub p¨aratu integraali (5.11) koonduvus ja p¨aratu integ- raali (5.10) hajuvusest p¨aratu integraali (5.11) hajuvus. Definitsioon 4. P¨arartut integraali (5.11) nimetatakse absoluutselt koon- duvaks, kui koondub p¨aratu integraal |f (x)|dx. a Teoreem 5. P¨aratu integraali (5.11) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus. N¨aide 8
ca 1km ja ajutised reeperid nende vahele vahekaugusega ca 200m. Joone orienteerimine - suuna määramine, milleks on kasutusel erinevad süsteemid ja nurgad (asimuut; rumb; direktsiooninurk; rumb (tabelinurk)) Asimuut horisontaalnurk, mida mõõdetakse antud joone alguspunkti läbiva meridiaani põhjasuunast päripäeva kuni antud jooneni, tähis A - väärtus 00 ... 3600. Asimuut ei ole väga pika sirge erinevates punktides ühesuguse väärtusega - see on tingitud meridiaanide koonduvusest. Rumb teravnurgaks taandatud asimuut, mõõdetakse meridiaan lähimast suunast (põhja või lõuna suunast) kuni antud jooneni, tähis R väärtus 0 0 ... 900 nt RNO 570 (indeks näitab ingliskeelsete tähiste abil veerandit). Geodeesias kasutatakse orienteerimiseks direktsiooninurka ja see nurk mõõdetakse x-telje positiivsest suunast päripäeva kuni antud jooneni ( 00 ...3600) Analoogiliselt asimuudile kasutatakse ka direktsiooninurkadega koos rumbe, ainuke vahe on, et
integraali koonduvusest tingimuse täidetus, siis ahela viimase võrratuse abil jõuame hinnanguni 𝑆𝑛+1 ≤ M + 𝑎1 (n ∈ N), mis ortonormaalridade n-ndat järku osasummadega. Valiku dk = ak korral järeldub ‖𝑓(𝑥) − 𝑆𝑛 (𝑥)‖2 = 〈𝑓, 𝑓〉 − ∑𝑛𝑘=0 𝑎𝑘2 (𝑛 ∈ 𝑁0 )
Käsitleme kahte juhtu. 1.Eeldame, et rida on koonduv. Olgu arv ε >0 selline, et
γ-ε>0. Ahela esimese võrratuse põhjal (γ-ε)bk
Siis saame tulemuseks võrratuste ahela
Käsitleme kahte juhtu. 1.Eeldame, et rida on koonduv. Olgu arv >0 selline, et
->0. Ahela esimese võrratuse põhjal (-)bk
Siis saame tulemuseks võrratuste ahela
Käsitleme kahte juhtu. 1.Eeldame, et rida on koonduv. Olgu arv >0 selline, et
->0. Ahela esimese võrratuse põhjal (-)bk
x→a x→a x→a 5 Sõnastada jada piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada. 1 Konstantse jada piirväärtuseks on see konstant: ∀x ∈ X(f(x) = c) =⇒ lim f(x) = c x→a Tõestus: lähtume jada piirväärtuse definitsioonist. Et suvalise ε > 0 korral | xn - c | = | c – c | = 0 < ε, siis (∀ ε > 0 ja ∀ n0 ∈ N : ∀ n > n0 => |xn - c | = 0 < ε) => xn → c 2 Jada koonduvusest järeldub selle jada tõkestatus 3 Kui jada piirväärtus a on nullist erinev, siis jada teatud elemendist alates on jada liikme absoluutväärtus suurem kui |a| / 2 4 Kui jadad {xn} ja {yn} on koonduvad ja nende jadade üldliikmed rahuldavad iga n ∈ N korral võrratust xn ≤ yn , siis samasugust võrratust rahuldavad ka nende jadade piirväärtused 7 Näidata et koonduv jada on Cauchy jada. Eeldame, et limn→∞xn = a. Olgu ε > 0 suvaline, siis leidub N ∈N omadusega
1 1 Näiteks rida (harmooniline rida ) hajub, kuigi lim u n = lim = 0. n =1 n n n n 2.3. Rea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Rida u n nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui rida u n koondub. n =1 n =1 Rea absoluutsest koonduvusest järeldub selle rea koonduvus, vastupidi mitte. Rida, mis koondub, kuid ei koondu absoluutselt, nimetatakse tingimisi koonduvaks. 1 n 1 1 Näide Rida (-1) = 1 - + - ... koondub tingimisi ( koondub eelmise n =0 n +1 2 3 1 1 1 näite põhjal), samas rida u n = = 1 + + + ... hajub (harmooniline rida).
Olgu s = a i=1 i positiivsete liidetavatega rida. Eeldame, et piirvaaartus ai + 1 l = lim i eksisteerib ja on lõplik. Siis kehtivad järgmised vaited: ai 1. Kui l < 1, siis rida s koondub. 2. Kui l > 1, siis rida s hajub. 2. Kui l = 1, siis jääb küsimus rea s koonduvusest lahtiseks. Leibnitzi tunnus. Kui vahelduvate markidega rea a1- a2 +a3- a4 +a5 -... liidetavad on sellised, et kehtivad võrratus a1 > a2 > a3 > ja lim i ai = 0 siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea esimest liidetavat. Integraaltunnus. Olgu s = a i=1 i
eessõnas kirjutab ta, et tema käes on Cauchy trükis avaldamata prantsuskeelne käsikiri integraalarvutuste küsimuste kohta (olemasoleva õpiku järgi), mida tal sõbraliku vahekorra tõttu Cauchyga õnnestus saada ja mida tal on kavatsus tõlkida isegi vene keelde ning välja anda. Isegi tänapäeval leidub veel peaaegu igas hoolikalt kirjutatud infinitesimaalarvutuse õpikus Cauchy definitsioone piirväärtuste ja pidevuse kohta ning palju muud, mida ta nendes loengutes koonduvusest ja lõpmatutest ridadest on rääkinud. Cauchy kirjutas nii palju, et pidi rajama isikliku ajakirja ,,Matemaatika harjutused" (Exercices d'Analyse Mathematique etde Physique). 1835. a. hakkas Teaduste Akadeemia avaldama oma iganädalast bülletääni ,,Aruanded (Comtes rendus). Varsti ujutas Cauchy ka selle oma artiklitega üle. Kasvavate trükikulude tõttu püstitas akadeemia reegli, mis kehtib veel praegugi: ükski artikkel ei tohi olla pikem kui neli lehekülge
Arvrida koondub, kui tal on olemas lõplik piirväärtus, hajub siis kui läheneb lõpmatusele. koondub hajub Graafikud punktis 13 ! 16. Millised on võimalused arvrea koonduvuse kindlakstegemiseks! Tuua 2 näidet! Võrdlustestiga ja D'Alemberti testiga 17. Formuleerida positiivsete liikmetega rea võrdlustest. Tuua näide kasutamise kohta! (I) ( II ) Kui , siis (II) arvrea koonduvusest järeldub (I) arvrea koonduvus ja (I) arvrea hajuvusest järeldub (II) arvrea hajuvus. 18. Formuleerida positiivsete liikmetega rea D'Alemberti test. Tuua näide kasutamise kohta Kui positiivsete liikmete arvrea korral eksisteerib piirväärtus . Kui see piirväärtus on väiksem ühest ( lim<1 ), siis rida koondub ; kui on suurem ühest ( lim>1 ), siis hajub ; ja kui on võrdne ühega ( lim = 1 ), siis jääb koonduvus lahtiseks OSA 5 1
.. = u n (1) n =1 nimetatakse positiivseks reaks, kui un 0, n=1,2,... Positiivsete ridade koonduvust saab kindlaks teha järgmiste tunnuste abil: · Võrdluslause. Kui positiivsete ridade (1) ja v1 + v 2 + ... + v n + ... = v n (2) n =1 korral un vn , n= 1,2,..., siis rea (2) koonduvusest järeldub rea (1) koonduvus ja rea (1) hajuvusest järeldub rea (2) hajuvus. · D´Alembert´i tunnus. Kui eksisteerib piirväärtus u n +1 lim = D, n un siis rida u n koondub absoluutselt, kui D < 1 ja hajub, kui D > 1. n =1 Kui D = 1, siis jääb küsimus lahtiseks.
. . . . . . . . . 133 6.1.1 Funktsionaaljada punktiviisi koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1.2 Funktsionaaljada ühtlane koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.1.3 Funktsionaaljadad, mille liikmed on pidevad funktsioonid . . . . . . . 136 6.1.4 Dini teoreem funktsionaaljada ühtlasest koonduvusest . . . . . . . . . . . . 139 6.2 Arvread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.1 Arvrea mõiste, tema koonduvus ja hajuvus . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.2 Mittenegatiivsete liikmetega read. Absoluutne koonduvus . . . . . . . 143 6.3 Ridade koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (x)dx. (5.11) a Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) ra- huldavad tingimust 0 (x) f (x) ja p¨aratu integraal (5.10) hajub, siis hajub ka p¨aratu integraal (5.11). Teoreem 4. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) on piiprotsessis x ekvivalentsed, siis p¨aratu integraali (5.10) koonduvusest j¨areldub p¨aratu integraali (5.11) koonduvus ja p¨aratu integ- raali (5.10) hajuvusest p¨aratu integraali (5.11) hajuvus. Definitsioon 4. P¨arartut integraali (5.11) nimetatakse absoluutselt koon- duvaks, kui koondub p¨aratu integraal |f (x)|dx. a Teoreem 5. P¨aratu integraali (5.11) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus. N¨aide 8
Lause 1. Konstantse jada piirv¨ a¨artuseks on see konstant, st xn = c xn c. T~ oestus. L¨ ahtume jada piirv¨ a¨artuse definitsioonist. Et suvalise > 0 korral |xn - c| = |c - c| = 0 < , siis ( > 0 n0 N : n > n0 |xn - c| = 0 < ) xn c. Lause 2. Jada koonduvusest j¨areldub selle jada t~okestatus, st xn a xn = O(1). T~ oestuseks kasutame j¨ argmist v¨aidete ahelat def. xn a ( = 1 n0 N : n > n0 |xn - a| < 1) kasutame kolmnurga v~orratust ||xn | - |a|| |xn - a|
annaabi.ee 
