tõesust. Neid sõnu me nimetame muutujasõnadeks. On selge, et meie näites on muutujateks sõnad ,,eurooplased", ,,valgenahalised" ja ,,muhameedlased". Me oleks võinud öelda ka nii: ,,Kui kõik x on y ja mõned x on z, siis mõned y on z," jättes seejuures mainimata, mida x, y ja z tähendavad. Teine rühm koosneb sõnadest, mida on võimatu asendada teiste sõnadega, mõjutamata süllogismiga väljendatud propositsiooni tõesust. Neid sõnu me nimetame (loogilisteks) konstantideks. Meie näites on konstantideks sõnad ,,kui-siis", ,,kõik", ,,on", ,,ja" ning ,,mõned". Me ütleme, et muutujad annavad süllogismile sisu ja konstandid vormi. Et süllogism väljendab tõest propositsiooni olenemata muutujate tähendusest, siis me ütleme, et süllogism väljendab tõde oma vormi tõttu ning oma sisust sõltumata. Tõesuse suhtes käitub süllogism ise teistmoodi kui tema eeldused ja järeldus. Kas on tõene
733 s 4h 1 1 0.5488 2 D t 2 1 s 2. t2 =11.575 s 4h 1 2 0.7725 2 D t 2 2 s 3. t3 =10.225 s 4h 1 3 0.9900 2 D t 2 3 s 4. t4 =9.2200 s 4h 1 4 1.218 2 D t4 2 s Nurkkiirenduste vigade arvutamine 4h D t2 Kuna D ja h on loetud konstantideks, saame 2 t t 2 2 t t 1. t 1 0.037818 s t1 0.037818 1 1 2 1 1.4142 0.5488 0.002137 2 t1 13.733 s 2. t 2 0.13670 s t 2 0.13670 1 2 2 2 1.4142 0
Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad. Funktsiooni määramispiirkonna punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse antud funktsiooni katkevuspunktiks. Mitme muutuja funktsiooni diferentseerimine Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) . Funktsiooni f osatuletiseks muutuja x järgi nim. ühe muutuja funktsiooni tuletist, mis saadakse funktsiooni f ülejäänud muutujate lugemisel konstantideks. f ( x, y , z,...) Seda tähistatakse: wx = f x ( x, y , z ,...) = . x Funktsiooni osatuletise leidmiseks antud punktis leitakse kõigepealt antud funktsiooni osatuletis ning seejärel omistatakse osatuletise kui uue funktsiooni muutujatele etteantud punkti koordinaadid. Kõrgemat järku osatuletised
Paljudes keeltes on algselt defineeritud selliseks struktuurseks tüübiks sümbolite jada, mida nimetatakse ka STRINGIKS. Väärtus Nagu ka eelnevalt sai mainitud, võib iga arvutis olev andmeobjekt sõltuvalt tema tüübist kanda mingisugust informatsiooni. Öeldakse, et andmeobjekt võib omada mingisugust lõplikku hulka VÄÄRTUSI. Sõltuvalt programmeerimiskeelest võib see väärtuste hulk olla erinev. Konstant Programmeerimiskeeltes jagatakse andmeobjekte teatud tunnuse järgi kaheks - konstantideks ja muutujateks. KONSTANT on andmeobjekt, mille väärtust programmi täitmise käigus muuta ei saa. Muutuja MUUTUJA on andmeobjekt, mille väärtus võib programmi täitmise käigus muutuda. AVALDIS on väärtuse leidmise eeskiri, mis moodustatakse operandidest ja operaatoritest ning nende grupeerimiseks kasutatakse sulgusid. Aritmeetiline avaldis Aritmeetilises avaldises kasutatakse eeskätt arvutüüpi andmeobjekte ja aritmeetilisi tehtemärke. Ka võib
Neid kasutatakse edaspidi slaididel mingit tüüpi väärtuse näitamiseks • N – Arv, arvmuutuja, arvväli, arvtüüpi vastusega avaldis • C – String, tekstimuutuja, tekstiväli, teksttüüpi vastusega avaldis • D – Kuupäev, kuupäevamuutuja, kuupäevaväli, kuupäeva tüüpi vastusega avaldis • L – Loogiline ehk tõeväärtustüüpi muutuja, väli või avaldis (vastus TRUE või FALSE ehk 1 või 0) Konstandid • Konstantideks kutsutakse avaldistes kasutatavaid mingeid konkreetseid välja kirjutatud väärtusi. • Konstantide esitamisel kehtivad vastavalt andmetüübile kindlad reeglid. Reeglid võivad veidi sõltuda konkreetsest programmist. • • Arvud: 12, 1000, 23.567,-13.4, 1.0E+002 • Stringid (tekst): “MA”,”Mänd”,’Männi 3A’, [Ku] • Kuupäev: {^2005.09.13} (Kuupäeva tüüpi andmed on keerulise struktuuriga). • Tõeväärtus: TRUE, FALSE, .T., .F.
5x 15 0; 5x 15 :5 x 3. Kontroll: Vasak pool: 23 3 9 1 1 1 1 11 . 6 6 2 2 Parem pool: 7 33 7 9 1 . 4 4 2 Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x = 3. Näide 4 Lahenda muutuja x suhtes võrrand 2ax + c = bx + 3d. Lahendus: Kuna antud võrrandis esineb peale x veel teisi tähti, siis loetakse need konstantideks. 2ax + c = bx + 3d; 2ax – bx = 3d – c; (2a – b)x = 3d – c; : (2a – b) 3d c x . 2a b Saadud lahendil on arvu tähendus tingimusel, kui 2a b 0; b 2a . Kontroll: Vasak pool: 2a 3d c 6ad 2ac 2ac bc 6ad bc c ( 2a b 2a b 2a b 2a b Parem pool:
Suurust,mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jaavaks suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jaav suurus ja läbitud teepikkus muutuv suurus. Samas mitteühtlase liikumise korral on ka kiirus muutuv suurus. Seega võib konkreetne suurus olla ühes protsessis jaav kuid teises protsessis muutuv. Nii matemaatikas kui füüsikas on olemas ka suurusi, mis igas olukorras on jaavad. Neid suurusi nimetatakse absoluutseteks konstantideks. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse muutumispiirkonnaks. On antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks.
5 5 SHANNONI ARENDUSED Kui asendada n-muutuja F-ni avaldises osad tema muutujad konstantidega 0 või 1, siis selliselt saadavat lihtsamat loogikaF-ni nim n-muutuja F-ni jääkfunktsiooniks. n-muutuja F-ni tuletis on (n-1)-muutuja F-n, kus puudub see muutuja 𝑥𝑖, mille järgi tuletis võeti. On olemas disj/konj arendus ja need on osalised/täielikud. Täieliku arenduse puhul väärtustuvad jääkF-nid konstantideks 0/1. 2-muutuja F-n on lineaarne, kui 𝑓(00)⊕𝑓(01)⊕𝑓(10)=𝑓(11) LOOGIKAFUNKTSIOONIDE KLASSID 0-lli säilitav –kui ta kõikide muutujate väärtustamisel 0-ks väärtustub F-n ise ka 0-ks 𝐾0={𝑓(𝑥1…𝑥𝑛) | 𝑓(00…0)=0} {𝑓0,𝑓1,𝑓2,𝑓3,𝑓4,𝑓5,𝑓6,𝑓7}⊂𝐾0 1-te säilitav – kui ta kõikide muutujate väärtustamisel 1-ks väärtustub F-n ise ka
111115 4 111115 SHANNONI ARENDUSED Kui asendada n-muutuja F-ni avaldises osad tema muutujad konstantidega 0 või 1, siis selliselt saadavat lihtsamat loogikaF-ni nim n-muutuja F-ni jääkfunktsiooniks. n-muutuja F-ni tuletis on (n-1)-muutuja F- n, kus puudub see muutuja 𝑥𝑖 , mille järgi tuletis võeti. On olemas disj/konj arendus ja need on osalised/täielikud. Täieliku arenduse puhul väärtustuvad jääkF-nid konstantideks 0/1. 2-muutuja F-n on lineaarne, kui 𝑓(00) ⊕ 𝑓(01) ⊕ 𝑓(10) = 𝑓(11) LOOGIKAFUNKTSIOONIDE KLASSID 0-lli säilitav –kui ta kõikide muutujate väärtustamisel 0-ks väärtustub F-n ise ka 0-ks 𝐾0 = {𝑓(𝑥1 … 𝑥𝑛 ) | 𝑓(00 … 0) = 0} {𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 , 𝑓5 , 𝑓6 , 𝑓7 } ⊂ 𝐾0 1-te säilitav – kui ta kõikide muutujate väärtustamisel 1-ks väärtustub F-n ise ka 1-ks 𝐾1 = {𝑓(𝑥1 … 𝑥𝑛 ) | 𝑓(11 … 1) = 1}
Päikese ööpäevase peakomponendi O1, mille liikumiskiirus maapinnal on 15° tunnis. Peale Kuu ja Päikese külgetõmbejõu mõjutab loodete veetaseme kõikumist merepõhja profiil. Merepõhja profiili mõju arvestatakse nn. väikese sügavuse komponendi (shallow water) F4, mida nimetatakse ka veerandööpäevaseks komponendiks. Eelpool mainitud komponente nimetatakse ka loodete harmoonilisteks konstantideks. Kõiki harmoonilisi komponente iseloomustab veetaseme kõikumise amplituud H ja kohanurk g. Et ehitada veetaseme kõikumise graafik, tuleb arvestada ka teisi astronoomilisi tegureid, nagu kuupäev, Kuu ja Päikese vastastikune asend jne. Nende tegurite arvestamiseks on vastavad paranduste tabelid, kust leitakse kohanurga parand ja tegur veetaseme amplituudi arvutamiseks. Praktikas taandub
45. Milline loogikafunktsioon ei oma TDNK-d. Milline loogikafunktsioon ei oma TKNK-d? Loogikfunktsioonil konstant 0 (1) puudub TDNK (TKNK). Avaldiste teisendused 1. Mitu erinevat 1-muutuja loogikafunktsiooni on olemas? Eksisteerib 4 1-muutuja loogikafunktsiooni. 2. Milline on ainus oluline 1-muutuja loogikafunktsioon? Inversioon osutub ainsaks oluliseks 1-muutuja loogikafunktsiooniks. 3. Kuidas võib nimetada 0-muutuja loogikafunktsioone? 0-muutuja loogikafunktsioone nimetatakse ka konstantideks. 4. Mitu erinevat 2-muutuja loogikafunktsiooni on olemas? Eksisteerib 16 2-muutuja loogikafunktsiooni. 5. Millised 2-muutuja funktsioonid sõltuvad mõlemast muutujast? 2-muutuja loogikafunktsioonid, mis sõltuvad mõlemas muutujast: konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, pöördimplikatsioon, eelnevate inversioonid, ekvivalents ja nende inversioonid. 6. Milline erinevus on implikatsioonil ja pöördimplikatsioonil? Muutujate järjekord on vahetuses. 7
1. Muutuvad suurused.
Def. 1 *Suurusi, mis omand erinevaid väärtusi(vaadeldavas protsessis) nim
muutuvateks suurusteks. *Suurusi, mis omand. konstantseid püsivaid väärtusi
nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT
ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad
suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed
konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71
1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva
alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a
xi 0 x i f z Tähistus: f xi = f xi (P ) = z xi = = xi xi Osatuletise leidmine: Funktsiooni z = f ( x1 ,..., x m ) osatuletiste leidmisel muutuja xi (1 i m ) järgi kasutatakse ühe muutuja funktsiooni tuletise leidmise eeskirju, lugedes need muutujad, mille järgi parajasti osatuletist ei leita, konstantideks. Osatuletise geomeetriline tähendus z = f(x, y) z x z = f ( x, y ) f x (a, b ) on joone x := punktis A võetud c y = b A´ puutuja tõus tasandil y = b . f x (a, b ) = tan
Ühikuna arvestab ta programmi kirjutades sentimeetrit. Sellega tahab ta määratleda, et inimese pikkuse infot kandev andmeobjekt tohib omada väärtust kas 1 cm või 2 cm ja nii edasi kuni 400 cm. Inimese pikkus sentimeetrites ei tohi olla 0 ega ka negatiivne arv ning üle 400 cm pikkune inimene ei ole programmeerija mõtteis samuti võimalik. Konstant Programmeerimiskeeltes jagatakse andmeobjekte teatud tunnuse järgi kaheks - konstantideks ja muutujateks. KONSTANT on andmeobjekt, mille väärtust programmi täitmise käigus muuta ei saa. Konstandi väärtus määratletakse programmi kirjutamise ajal. Eelmise näite juurde tagasi pöördudes võime öelda, et programmeerija defineeris kaks täisarvu tüüpi konstanti - nimega MINIMAALNE_PIKKUS ja väärtusega 1 ning nimega MAKSIMAALNE_PIKKUS ja väärtusega 400. Konstant võib olla ka igasugune avaldises esinev arvuline väärtus (näiteks 234, -70.5) või
kuni 400. Ühikuna arvestab ta programmi kirjutades sentimeetrit. Sellega tahab ta määratleda, et inimese pikkuse infot kandev andmeobjekt tohib omada väärtust kas 1 cm või 2 cm ja nii edasi kuni 400 cm. Inimese pikkus sentimeetrites ei tohi olla 0 ega ka negatiivne arv ning üle 400 cm pikkune inimene ei ole programmeerija mõtteis samuti võimalik. Konstant Programmeerimiskeeltes jagatakse andmeobjekte teatud tunnuse järgi kaheks - konstantideks ja muutujateks. KONSTANT on andmeobjekt, mille väärtust programmi täitmise käigus muuta ei saa. 19 / 115 Konstandi väärtus määratletakse programmi kirjutamise ajal. Eelmise näite juurde tagasi pöördudes võime öelda, et programmeerija defineeris kaks täisarvu tüüpi konstanti - nimega MINIMAALNE_PIKKUS ja väärtusega 1 ning nimega MAKSIMAALNE_PIKKUS ja väärtusega 400.
artus ei muutu, nimetatakse j¨a¨avaks suuruseks. N¨aiteks u¨htlase liikumise korral on kiirus j¨a¨av suurus ja l¨abitud teepikkus muutuv suurus. Samas mitte¨ uhtlase liikumise korral on ka kiirus muutuv suurus. Seega v~oib konkreetne suurus olla u ¨hes protsessis j¨a¨av kuid teises protsessis muutuv. Nii matemaatikas kui f¨ uu ¨sikas on olemas ka suurusi, mis igas olukorras on j¨a¨avad. Neid suurusi nimetatakse absoluutseteks konstantideks. Absoluutsed konstan- did on n¨aiteks ringjoone u¨mberm~ o~odu ja l¨abim~o~odu suhe , valguse kiirus c jne. Muutumispiirkonna m~ oiste. Muutuva suuruse k~oigi v~oimalike v¨a¨artuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. N¨aiteks keha tempe- ratuur v~oib teoreetiliselt omada k~oiki v¨a¨artusi, mis on suuremad v~oi v~ordsemad kui absoluutne miinimum -273.15 C. Seega on temperatuuri muutumispiirkond l~opmatu pooll~oik [-273.15; ).
¨htlase liikumise korral on kiirus j¨a¨av suurus ja l¨abitud teepikkus muutuv suurus. Samas mitte¨ uhtlase liikumise korral on ka kiirus muutuv suurus. Seega v~oib konkreetne suurus olla u ¨hes protsessis j¨a¨av kuid teises protsessis muutuv. Nii matemaatikas kui f¨ uu ¨sikas on olemas ka suurusi, mis igas olukorras on j¨a¨avad. Neid suurusi nimetatakse absoluutseteks konstantideks. Absoluutsed konstan- did on n¨aiteks ringjoone u ¨mberm~o~odu ja l¨abim~o~odu suhe , valguse kiirus c jne. Muutumispiirkonna m~ oiste. Muutuva suuruse k~oigi v~oimalike v¨a¨artuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. N¨aiteks keha tempe- ratuur v~oib teoreetiliselt omada k~oiki v¨a¨artusi, mis on suuremad v~oi v~ordsemad kui absoluutne miinimum -273.15 C. Seega on temperatuuri muutumispiirkond l~ opmatu pooll~oik [-273.15; ).
24) V a 1 (x) 1 (x,y) Kui kahekordse integraali korral on v~oimalik kasutada kaht erinevat in- tegreerimisj¨arjekorda, siis kolmekordse integraali korral on erinevaid integ- reerimisj¨arjekordi 6 ja peale valemi (7.24) on v~oimalik kasutada veel viit arvutusvalemit. Valemi (7.24) kasutamisel arvutatakse j¨arjest kolm m¨a¨aratud integraali. K~oigepealt seesmine integraal muutuja z j¨argi (siis x ja y loetakse integree- rimisel konstantideks) 2 (x,y) (x, y) = f (x, y, z)dz, 1 (x,y) 23 seej¨arel integreeritakse muutuja y j¨argi ja leitakse 2 (x) (x) = (x, y)dy 1 (x)
annaabi.ee 
