, siis kehtib võrdus: =f(x) Teisisõnu: määratud integraali tuletis ülemise raja järgi on võrdne integreeritava funktsiooniga, kusjuures integreerimismuutuja on asendatud ülemise rajaga. TÕESTUS Anname argumendile x positiivse või negatiivse muudu Dx, siis määratud integraali 6. omaduse järgi: Funktsiooni (x) muut: =(- (x)= ehk Rakendades viimasele integraalile keskväärtusteoreemi, saab funktsiooni muudu esitada: =f()(x+x)= f() kus x on väärtus ja x+x vahelt. Leiame funktsiooni muudu ja argumendi muudu jagatise: Järelikult '(x)= Et x, kui x0, siis ja funktsiooni f(x) pidevuse tõttu
ligikaudselt võrdseks konstandiga e , kui Järelikult on ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrugse ja aluse korruisena 3. Terve kõvatrapetsi pindala saame, kui summerime osapiirkondade pindalad: 4. Valemi teisel poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b], järelikult kui pikima osalõigu läheneb nullile, siis läheneb nimetatud integraali summa määratud integraalile , seega piirprotsessis saame ligikaudest valemist täpse valemi 16. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta) Määratud integraali omadused 1. 2. 3. 4. Kui siis 5. 6. Kui iga korral, siis 17. Newton-Leibnitzi valem ilma tõestuseta. Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b] siis kehtib valem 18. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Esitada ositi
koordinaatide alguspunktis antud punkti (r). Nihkevektor on liikumise algpunktist liikumise lõpp-punkti tõmmatud vektor (∆r). (Δr = r2 – r1) 4. Näidata, et konstantse kiirendusega liikudes avaldub kiirus ajahetkel t järgmise valemi kaudu v=v0+a*t, kus v0 on keha kiirus ajahetkel t=0, a on keha kiirendus. v = ∫a dt = a ∫dt = at + v 0. a on konstant, seega võib selle integraali märgi alt välja tuua. 1 tuletis dt järgi on t ning määramata integraalile tuleb juurde liita mingi konstant, mis selle valemi puhul on v0, seega avaldubki kiirus ajahetkel t selle valemi järgi. 5. Milline liikumine on vaba langemine, kas konstantse kiirusega, konstantse kiirendusega või lihtsalt kiirendusega liikumine? (Põhjendada) Vaba langemine on selline olukord, kus kehale mõjuvad ainult raskusjõud, seega kõik vabalt langevad kehad liiguvad raskuskiirendusega, mis ei sõltu keha massist → vaba langemine on konstantse kiirendusega liikumine. Kuna
Mida väiksem on ∆xi, seda vähem muutub funktsioon f osalõigu [xi-i, xi] peal, järelikult seda täpsem on valem. Seega, mida peenem on [a, b] tükeldus, seda täpsem on ka pindala valem. Teisest küljest, valemi paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a, b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus ϱn läheneb nullile, siis läheneb nimetatud b integraalsumma määratud integraalile ∫ f ( x ) dx . Kokkuvõttes, a piirprotsessis ϱn → 0 saame ligikaudsest valemist järgmise täpse b valemi pindala jaoks: S= ∫ f ( x ) dx . a 31. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta).
mmase ja eelviimase numbri summa viimane number max või min ja asukoht F2 absmax F2 min F3 absmax F3 max F3 absmax F3 min F1 absmax F2 max F1 min F3 max b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpool telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, asendatakse tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
mmase ja eelviimase numbri summa viimane number max või min ja asukoht F2 absmax F2 min F3 absmax F3 max F3 absmax F3 min F1 absmax F2 max F1 min F3 max b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpool telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, asendatakse tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
12 10 8 F1 6 F2 4 F3 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpo telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral asendatak tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
F2 max Keskmine 7 F3 kesk, F2 negkesk F1 min Integraal, pindala 0 F2 integ, F3 pind F3 max Max või min 7 F2 max ja selle asukoht a õppemärkmiku nr. oht b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpo telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral asendatak tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
mmase ja eelviimase numbri summa viimane number max või min ja asukoht F2 absmax F2 min F3 absmax F3 max F3 absmax F3 min F1 absmax F2 max F1 min F3 max b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpool telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, asendatakse tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
Err:508 Err:508 F3 min F3 min asukoht Err:508 Err:508 2 0 8 F1 Column C 6 Column D 4 2 0 b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpo telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral asendatak tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
166 F2 integraal 1.094 F3 pindala 7.344 F3 absmax 2.994 F3 absmax asukoht 4.000 Funktsioonid 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0.000 -1.000 -2.000 -3.000 -4.000 -5.000 F1 F2 F3 b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpool x telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral asendatakse tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
. . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st xi = xi-xi-1. Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi iga Summeerides tööd üle osalõikude saame töö ligikaudse avaldise kogu lõigul [a, b] Valemi (5.17) paremal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma lõigul [a, b]. Integraalsumma läheneb määratud integraalile protsessis n 0. Seega saame ligikaudsest valemist (5.17) piirprotsessis n 0 järgmise täpse valemi töö jaoks: 38. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). / Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks
. . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st xi = xi-xi-1. Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi iga Summeerides tööd üle osalõikude saame töö ligikaudse avaldise kogu lõigul [a, b] Valemi (5.17) paremal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma lõigul [a, b]. Integraalsumma läheneb määratud integraalile protsessis n 0. Seega saame ligikaudsest valemist (5.17) piirprotsessis n 0 järgmise täpse valemi töö jaoks: 38. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). / Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu
F2 max Keskmine 9 F2 kesk, F3 poskesk F1 min Integraal, pindala 8 F2 pind, F3 integ F3 max Max või min 7 F2 max ja selle asukoht a õppemärkmiku nr. oht b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpo telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral asendatak tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
mmase ja eelviimase numbri summa viimane number max või min ja asukoht F2 absmax F2 min F3 absmax F3 max F3 absmax F3 min F1 absmax F2 max F1 min F3 max b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpool telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, asendatakse tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
: F3 min F1 absmax Variant Ülesanne F2 max Keskmine F1 min Integraal, pindala F3 max Max või min a õppemärkmiku nr. b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpo telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral asendatakse tegelik murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga:
F2 max Keskmine 8 F1 kesk, F3 negkesk F1 min Integraal, pindala 5 F1 pind, F1 integ F3 max Max või min 3 F3 max ja selle asukoht a õppemärkmiku nr. oht b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpo telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral asendatak tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
saame töö ligikaudse avaldise kogu lõigul [a, b]: A = Xn i=1 Ai ≈ Xn i=1 F(pi)∆xi Mida väiksem on osalõigu [xi−1, xi ] pikkus, seda vähem muutub jõud sellel osalõigul ja seda täpsem on valem Ai ≈ F(pi)∆xi . Olgu %n pikima osalõigu pikkus. Mida väiksem on %n, seda väiksemad on osalõikude pikkused ning järelikult on seda täpsem valem. Teisest küljest, valemi paremal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma lõigul [a, b]. Integraalsumma läheneb määratud integraalile protsessis %n → 0. Seega saame ligikaudsest valemist piirprotsessis %n → 0 järgmise täpse valemi töö jaoks: A = Z b a F(x)dx . 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) ≥ 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit. Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks
max või min ja asukoht F2 absmax F2 min F3 absmax F3 max F3 absmax F3 min F1 absmax F2 max F1 min F3 max b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpo telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, asendata tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
korrutisena. Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad: Mida väiksem on , seda vähem muutub funktsioon f osalõigul peal, järelikult seda täpsem on valem Teisest küljest, S valemi paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus läheneb nullile, siis läheneb nullile nimetatud integraalsumma määratud integraalile . Kokkuvõttes, piirprotsessis saame ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks: 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. a. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega) a.1. a.2. a.3. Põhjendus: kui a=b, siis on läbitud teepikkus võrdne nulliga, seega on ka
max või min ja asukoht F3 max F1 min F2 max F1 absmax F3 min F3 absmax F3 max F3 absmax F2 min F2 absmax b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahela asuva ala algebraline pindala ( telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valem (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, ase tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga:
mmase ja eelviimase numbri summa viimane number max või min ja asukoht F2 absmax F2 min F3 absmax F3 max F3 absmax F3 min F1 absmax F2 max F1 min F3 max b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx a Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahel asuva ala algebraline pindala (ülalpool telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valemeid (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, asendatakse tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b.
(harilikult u-ks kas suurem x aste või ln) 35. Määratud integraali mõiste ja omadused. Newton-Leibnizi valem. Määratud integraal eeldusel, et f(x) on pidev lõigus [a;b]; kui leidub piirväärtus, siis see on määratud integraal funktsioonist y=f(x) rajades a-st b-ni. Arvu F(b) - F(a) nimetatakse funktsiooni y = f(x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse abf(x)dx = F(b) - F(a)) määratud integraali omadused: a. kõik määramata integraalile kehtivad omadused b. võrdsete integreerimisradadega määratud integraal võrdub nulliga c. integreerimisradade vahetamisel muutub integraali märk vastupidiseks d. määratud integraal mittenegatiivsest funktsioonist on mittenegatiivne e. iga arvu c korral lõigust (a, b) saab määratud integraali radades a-st b-ni esitada kahe sellise määratud integraali summana, millest üks on radades a-st c-ni ja teine c-st b-ni.
ligikaudselt võrdseks konstandiga e , kui d. Järelikult on ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrugse ja aluse korrutisena e. f. Terve kõvatrapetsi pindala saame, kui summerime osapiirkondade pindalad: Valemi teisel poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b], järelikult kui pikima osalõigu läheneb nullile, siis läheneb nimetatud integraali summa määratud integraalile , seega piirprotsessis saame ligikaudest valemist täpse valemi g. 17. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. a. Määratud integraali omadused: 1. 2. 3. Põhjendus: Kui siis on teepikkus võrdeline nullega ja töö võrdeline nulliga. 4. Kui siis
(muutuv suurus). Tähistame selle muutuva suuruse (ülemise raja funktsiooni) eraldi sümboliga (x) x a · Seega võib kirjutada, et (x) = f(t) dt · Kui f(t) on mittenegatiivne funktsioon, siis (x) arvväärtus võrdub kõvertrapetsi pindalaga, mis x a tekib tänu integraalile f(t) dt. Antud joonisel on selleks kõvertrapetsiks aAXx. Selle kõvertrapetsi pindala muutub pidevalt tänu integraali ülemise raja x arvväärtuse muutumisele x a ·Aga vaatame nüüd võrdust (x) = f(t) dt ; võttes MÄÄRAMATA integraali analoogi järgi, peaks siis funktsioon (x) olema funktsiooni f(x) ALGFUNKTSIOON... sõnastame selle teoreemi: TEOREEM
võrdseks konstandiga e , kui Järelikult on ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrugse ja aluse korruisena 3. Terve kõvatrapetsi pindala saame, kui summerime osapiirkondade pindalad: 4. Valemi teisel poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b], järelikult kui pikima osalõigu läheneb nullile, siis läheneb nimetatud integraali summa määratud integraalile , seega piirprotsessis saame ligikaudest valemist täpse valemi 39. Määratud integraali omadused 1. 2. 3. Põhjendus Kui siis on teepikkus võrdeline nullega ja töö võrdeline nulliga. 4. Kui siis Põhjendus Kuna liikumine punktist a punkti b on ning liikumine punktist b punkti a . Kui objekt liigub punktist a punkti b ja sealt tagasi punkti a on kogu tehtud tööd võrdeline summaga sealt järeldubki 5. Põhjendus
max või min ja asukoht F3 max F1 min F2 max F1 absmax F3 min F3 absmax F3 max F3 absmax F2 min F2 absmax b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahela asuva ala algebraline pindala ( telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valem (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, ase tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga:
nii, et ühenimelised muutujad oleksid ühel pool, teisenimelised teisel pool (näiteks: v-liikmed vasakul, x-liikmed paremal). Sealjuures peab muutuja diferentsiaal (dv, dx, jms) olema lugejas. Nüüd tuleb võrrandi mõlemast poolest võtta integraal ja lisada juurde (kas vasakule või paremale poole) integreerimiskonstant (kui võtta määramata integraal). Kui aga võtta määratud integraal, siis tuleb mõlemale integraalile panna õiged rajad ja siin muidugi integreerimiskonstante ei panda. 3C) Tekib keerulisem diferentsiaalvõrrand, mida ei saa nimetatud asendustega (4.13 või 4.14) teisendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandiks. Siin tuleb tekkinud diferentsiaalvõrrandi ise ära lahendada kasutades diferentsiaal- J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 18 võrrandite teooriat ja vajaduse korral ka ligikaudse arvutuse meetodeid. Nii
max või min ja asukoht F3 max F1 min F2 max F1 absmax F3 min F3 absmax F3 max F3 absmax F2 min F2 absmax b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahela asuva ala algebraline pindala ( telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valem (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, ase tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga:
2222 2222222222222222222222111111111111111 5444 4433333222221111100000999998888877777 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 864 2 8642 8642 8642 8642 8642 8642 8642 b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahela asuva ala algebraline pindala ( telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valem (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, ase tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga:
max või min ja asukoht F3 max F1 min F2 max F1 absmax F3 min F3 absmax F3 max F3 absmax F2 min F2 absmax b Määratud integraali ja pindala arvutamine F ( x)dx Määratud integraalile vastab funktsiooni kõvera ja x telje vahela asuva ala algebraline pindala ( telge asuvate alade pindala on positiivne, allpool - negatiivne). Integraalide (pindalade) väärtuste leidmiseks on olemas mitmeid erinevaid meetodeid ja valem (ristküliku, trapetsi, Simpsoni jm). Siin kasutatakse trapetsivalemit. Selle meetodi korral, ase tegelik kõver murdjoonega, mille sõlmed asuvad punktides: x = a, a+h, a+2h, ... b. Integraali ligikaudne väärtus leitakse valemiga:
= = ln |u| + C = ln |1 + x2 | + C. 1+x 2 1+x 2 u 2 2 Kokkuv~ ottes on vastus j¨argmine: Integreerime ositi: 1 arctan x dx = x arctan x - ln |1 + x2 | + C. 2 110 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Rat- sionaalfunktsiooni integraalile taanduvad in- tegraalid. Ratsionaalfunktsiooni integreerimine. Olgu vaja avaldada ratsionaalfunkt- siooni R(x) integraal. Nagu me teame, on ratsionaalfunktsioon kahe pol¨ unoomi jagatis. Seega Pm (x) R(x) = , Qn (x)
1+x 2 1+x 2 u 2 2 Kokkuv~ottes on vastus j¨argmine: Integreerime ositi: 1 arctan x dx = x arctan x - ln |1 + x2 | + C. 2 110 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Rat- sionaalfunktsiooni integraalile taanduvad in- tegraalid. Ratsionaalfunktsiooni integreerimine. Olgu vaja avaldada ratsionaalfunkt- siooni R(x) integraal. Nagu me teame, on ratsionaalfunktsioon kahe pol¨ unoomi jagatis. Seega Pm (x) R(x) = , Qn (x) kus Pm on m-astme pol¨unoom ja Qn on n-astme pol¨
osapiirkondade pindalad: n S f ( pi ) x i Mida väiksem on x i , seda vähem muutub funktsioon f osalõigul i=1 x [¿ ¿i-1; x i ] peal, järelikult seda täpsem on valem f ( x ) f ( pi ) Teisest küljest, S valemi ¿ paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile, siis läheneb nullile nimetatud integraalsumma määratud integraalile b f ( x ) dx . Kokkuvõttes, piirprotsessis n 0 saame ligikaudsest valemist järgmise täpse a valemi pindala jaoks: b S= f ( x ) dx a 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega) b b b 1
19. Integraator. muuda] Lülituse skeem. Kondeka laadimisvool ja laengu sõltuvus ajast. Kondeka pinge ja integraatori väljundpinge lõplik ajavahemiku korral. Integreerimiskonstant. Integraatori sagedustunnusjoon. Teatavasti ideaalne integraator annab väljundis signaali, milline on võrdeline sisendsignaali integraalile aja järgi. Väljundsignaal avaldub sisendsignaalialuse osa pindalaga. Tänu inverteeriva sisendi virtuaalsele maale on vool takistil R1 määratud suhtega: Usis R1 See vool peab läbima mahtuvuse C, mis kindlustabki väljundsignaali. Reaalses integraatoris peab arvestama integraatori sisendis olevat eelpinget (alaliskomponenti), mis viib ideaalse integraatori väljundpinge pidevale kasvule kuni väljundi küllastumiseni. Alalispinge reziimi stabiilsuse tagamiseks tuleb
ti [x(t )] + [y (t )] dt . 2 2 Osakaare Pi -1 Pi pikkus si = ti -1 Kuna joon AB on sile, siis x (t ) ja y (t ) on pidevad. Seega [x(t )]2 + [ y(t )]2 on samuti pidev piirkonnas [t i -1 , t i ]. Seega saame integraalile rakendada integraalarvutuse I keskväärtusteoreemi igas osalõigus [t i -1 , t i ], mille kohaselt leiduvad punktid i [t i -1 , t i ] nii, et si = [x( i )]2 + [ y( i )]2 (ti - ti-1 ) = [x( i )]2 + [ y( i )]2 ti . Valides esimest liiki joonintegraali integraalsummas punktid Qi = ( x( i ), y ( i )) i = 1,..., n saame n f ( x, y )ds = lim f (Q )s i i = max si 0
Meie hinnang sõltub selgelt ajavahemike arvust liikme kaudu. Samas kui viia lõpmatult suureks, muutub see liige imepisikeseks ning piirprotses- sis kaob hoopis. Seega saame kogu tee pikkuseks ehk integraaliks vastuse . Ühikud tuleks muidugi eraldi juurde sobitada, et saada nagu enne vastus meetrit. Integraali tähis ja matemaatiline kirjapanek Matemaatilisemaks kirjelduseks on kunstilembesed matemaatikud integraalile andnud ka tähise, mis on lihtsalt üks välja venitatud . on ta just sellepärast, et integraal ise on lõputult paljude asjade kokkuliitmisel justkui üks välja venitatud summa. Sellises kõverikus endas on aga veel üsna vähe informatsiooni. Et teda mõistlikult kasutada, on veel vaja ära märkida, mida me integreerime, mille suhtes ja kui pikas vahemikus. 345
omandavad nullist erineva dipoolmomendi. Seetõttu tekib polarisatsiooniväli E p . Et summaarne elektriväli on ilmselt nende kahe välja, E 0 ja E p , summa, siis E0 E E P , mille asendamisel valemisse (11.14) saame vahetulemuseks 1 E E P dS qV . S 0 Valemit (11.6) kasutades saame viimasele integraalile anda kuju P 1 S E 0 dS 0 qV , kus P on dielektriku polarisatsioon. Järgnevalt kasutame valemit (11.6), mis ütles, et dielektriku polarisatsioon on võrdeline elektrivälja tugevusega, ning aine dielektrilise läbitavuse definitsioonivalemit (11.9). Siis saame valemi (11.14) pärast suurusega 0 korrutamist esitada järgmiselt:
~ Votame piirva¨ artuse ¨ b b lim |f (x)| dx lim g(x) dx b+ b+ a a Kuna parempoolne piirva¨ artus ¨ ¨ vastab koonduvale paratule integraalile, ~ siis on ta loplik ¨ ja seega koondub ka paratu integraal + f (x) dx a ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 8 / 27 ¨
annaabi.ee 
