c)iga kolme punkti A, B, CP korral kehtib võrdus kordinaadid- 22. Eukleidiline vektorruum ja selle defineeritavad mõisted ( skalaarkorrutis,vektori pikkus,nurk vektoritevahel) On vektorruum V,defineeritud skalaarkorrutisega.siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5.eukleidiline vektorruum defineerib pikkust ehk ja nurka vektorite vahel. 23. Ortogonaalsed vektorite süsteemid. On eukleidilises vektoriruumis V.ortogonaalsed vektorin on lineaarselt sõltumatud.ühik vektor on kui tema pikkus on võrdne 1,tähistatakse ,üleminek on normeerimine.kui ortogonaalses vektorsüsteemis on kõik vektorid normeeritud-nad on vastavad ühikvektoritele,see ongi ortogonaalne vektorisüsteem. 24. Eukleidiline ruum-ortonormaalne reeper,kaugus,omadused. A=(V,P)-vektorruumis v on võimalik teostada ainult lineaartehteid (liitmist ja korrutamist)
Eukleidese postulaatidest mitmed, näiteks 1. ja 5. läksid mõnevõrra modifitseeritult geomeetria hilisemate rangelt loogiliste ülesehituste aksioomidesse. Kolmemõõtmeline eukleidiline ruum ehk tasane kolmruum on vektorruum, mida enamasti seostatakse ruumiga füüsikas. Selle ruumi elemente nimetatakse vektoriteks või täpsemalt geomeetrilisteks vektoriteks, kui neid on vaja eristada abstraktsemast vektori (ehk mis tahes vektorruumi elemendi) mõistest. Eukleidilises ruumis on antud kahe vektori skalaarkorrutis ning kaugus, vektori pikkus ja vektorite vaheline nurk. Vektorid on esitatavad kolme reaalarvulise koordinaadi abil. Elementaarmatemaatikas määratletakse kolmemõõtmelise eukleidiline ruum vektori mõisteta. See ruum "koosneb" punktidest, sirgetest ja tasanditest. Samuti eeldatakse Eukleidese aksioomide kehtivust. Viimasesse käsitlusse saab vektori mõiste sisse tuua loomulikul teel
n = aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn . i =1 Kui V ei ole nullruum, siis on vektorruumis V lõpmata palju baase ja seega ka erinevaid skalaarkorrutisi. Def. 2. Vektorruumi V koos temas fikseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Eukleidilises vektorruumis võrdub nulliga iga vektori skalaarkorrutis nullvektoriga : = = 0 . (2) Järgnevalt olgu V mis tahes eukleidiline vektorruum. Defineerime skalaarkorrutise abil vektori pikkuse ja vektoritevahelise nurga. Def. 1. Vektori V pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori pikkust tähistatakse . Seega
5. c(*) = (c)* = *(c) cR, ,V (homogeensus) Näiteid: 1. * = ||||*||||*cos 2. V = Rn; = (a1; ...; an); = (b1; ...; bn); * = aibi = a1b1 + ... + anbn 3. V = Rn; c1, ..., cn >= 0; * = ciaibi = c1a1b1 + ... + cnanbn 4. V - suvaline n-mõõtmeline vektorruum (üle R); B - fkseeritav baas; = (a1; ...; an)B; = (b1; ...; bn)B; * = aibi 5. V = C[a;b]; f,gV; f(x), g(x); f*g = ab f(x)g(x)dx 25. Eukleidilise vektorruumi ja eukleidilise ruumi defnitsioon. Eukleidilises ruumis defneeritavad mõisted. Vektorruumi V koos temas fkseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Afinset ruumi A = (V,P), milles V on eukleidiline vektorruum, nimetatakse eukleidiliseks ruumiks. Eukleidilise ruumi A = (V,P) mõõtmeks nimetatakse vektorruumi V mõõdet. Eukleidilises ruumis defneeritavad mõisted: 1. vektori pikkus |||| = sqrt(*) 2. punktide A ja B vaheline kaugus (A, B) = ||vektor(AB)|| 3
hoida seda orbiidil objekt lihtsalt jälgib lühimat teed läbi ruumi, mis on deformeeritud planeedi poolt. Üldrelatiivsusteooria järgi on raske mass ja inertne mass ekvivalentsed: pole võimalik kindlaks teha, kas keha asub gravitatsiooniväljas või kiirendusega liikuvas taustsüsteemis. Teooria matemaatiliseks väljenduseks võttis Einstein abiks kõvera aegruumi mõiste. Kõveras aegruumis ei ole lühimaks teeks kahe punkti vahel mitte sirge nagu tasases (eukleidilises) ruumis, vaid kõver geodeetiline joon. Mass kõverdab ruumi ja valguskiir järgib seda kõverust. Vabalt langevad objektid liiguvad mööda kõvera ruumi geodeetilisi jooni. · Relatiivsusteooria põhiolemus seisneb selles, et füüsikaseadused on universaalsed ning kehtivad kõikjal ühtmoodi, kuid erinevas kohas ja olukorras olevatele vaatlejaile võib asi tunduda isemoodi. Mis ühe jaoks tundub miljoni aastana,
.. = x n - c n Kolmemõõtmelise ruumi tasand: 2 2 2 s1 s2 sn .......... . xn = c n + s n t Tähistades sel korral x1 = x, x 2 = y , x3 = z , , ja muutes arvude a1 , a 2 , a3 , ning b tähistusi, saadakse tasandi võrrandiks kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis ax + by + cz + d = 0 . Kordajad a, b, c võrrandis (3) ei tohi võrduda samaaegselt nulliga ning nendest r moodustatud vektor n = (a; b; c) on risti selle tasandiga. Vektorit n nimetatakse vaadeldava tasandi normaalvektoriks.
kolmnurkade koha pealt värskendada. Meie arvates on teema üsna huvitav ning aitab meelde tuletada kolmnurkade omadusi ning samuti ka mõndasid mõisteid. Leidsime üsna palju sobivat materjali. Töö eesmärgiks on referaadi lugejatele anda täpne ülevaade kolmnurkadest ning kolmnurga liikidest. Materjali kogumiseks kasutasime Internetti ning ka mõndasid raamatuid. 3 1. Kolmnurk Kolmnurk on 1elementaargeomeetrias (eukleidilises geomeetrias) kolme tipuga hulknurk. Kolmnurk on määratud eukleidilise ruumi kolme punktiga, mis ei asu ühel ja samal sirgel. Neid punkte nimetatakse kolmnurga tippudeks. Kolmnurk on kujund, mille moodustavad kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud. Neid sirglõike nimetatakse kolmnurga külgedeks. Kuna kolmnurk asub ühel tasandil, siis tegemist on tasapinnalise kujundiga. Kolmnurga defineerimisel võib ka kohe tingimuseks seada, et kolmnurga tipud oleksid ühel tasandil.
kõveruse abil (gravitatsioon on aegruumi geomeetria tulemus). Üldrelatiivsusteooria järgi on raske mass ja inertne mass ekvivalentsed: pole võimalik kindlaks teha, kas keha asub gravitatsiooniväljas või kiirendusega liikuvas taustsüsteemis. Teooria matemaatiliseks väljenduseks võttis Einstein abiks kõvera aegruumi mõiste. Kõveras aegruumis ei ole lühimaks teeks kahe punkti vahel mitte sirge nagu tasases (eukleidilises) ruumis, vaid kõver geodeetiline joon. Mass kõverdab ruumi ja valguskiir järgib seda kõverust. Vabalt langevad objektid liiguvad mööda kõvera ruumi geodeetilisi jooni. Et eukleidiline geomeetria ei sobi kõvera aegruumi kirjeldamiseks, võttis Einstein abiks erilise kõverate ruumide geomeetria, mille lõi Bernhard Riemann. Üldrelatiivsusteooriast tulenevad ennustused on vaatlustega kinnitust leidnud. Seni
siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5.eukleidiline vektorruum defineerib pikkust ehk ja nurka vektorite vahel. 16) Cauchy-Bunjakovski võrratus. Põhilised meetrilised suurused: vektori pikkus, ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. b 2 2 b 2 ¿ ) 17) Ortogonaalsed vektorite süsteemid. Ristbaas. Vektori suunakoosinused. On eukleidilises vektoriruumis V.ortogonaalsed vektorin on lineaarselt sõltumatud.ühik vektor ° ° on normeerimine.kui on kui tema pikkus on võrdne 1,tähistatakse ,üleminek ühikvektoritele,see ongi ortogonaalne vektorisüsteem. 18) Afiinse ja eukleidiline punktiruum. Reeperi mõiste ja punkti koordinaadid reeperi suhtes. Ristreeper. Afiinne ruum-A=(V,P) paar (V-vektorruum,P-hulk).elemente nim puktideks.
P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust. See on mittenegatiivne reaalarv.Tähistus Kollineaarsed vektorid Vektoreid AB ja CD nimetatakse kollineaarseteks ehk
Nii saame, et
erinevaid juuri on täpselt n: nRjz = nRJr(cos(fi + 2kPi/n) + isin( fi + 2kPi/ n)); k = 0; 1;.. ; n - 1:
Vektorkorrutis Ruumis E3 x ja y korrutiseks nim XxY mille korral on täidetud järgm tingimusd
1)Xristi XxY ja YristiXxY 2)|XxY|=|X| |Y|sina 3)X,Y XxY mood paremakäe kogumiku. Omadused
1)XxY=-YxX 2)XxY=¤óx||y kollineaarsed 3
Vektorite segakorrutis E3 vaatleme ristbaasi mille vektoriteks on i,j,k. Eukleidilises ruumis E3
vektorite x,y,z segakorrutiseks nim reaalarvu mis leitakse vastavalt reeglile (x,y,z)=
Seega A3=0 o ∈ s Kui A2=0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega. Paralleelsus realiseerub A3 ≠ 0 korral ja ühtumine 0 ∈ s ehk A3=0 korral Kui A1=0, siis sirge s on paralleelne või ühtub x-teljega 86.Tasandi võrrandid – Kolmemõõtmelises eukleidililses ruumis R3 on tasandi võrrand viidav alati kujule ax+ by+ cz+ d =0, kus D= - Ax0- By0 – Cz0 87.Tasandi riht- Riht on eukleidilises ja afiinses geomeetrias tasandite paralleelsust iseloomustav mõiste: kahel tasandil on sama riht, kui nad on paralleelsed 88.Normaalvektor - Tasandi võrrand on normaalvektori abil esitatav r⃗ −⃗ r0 kujul, ⃗n ∙¿ )=0, kus on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et on mingi punkt
Definitsioon. Ortogonaalse baasi, mille kõik vektorid on normeeritud (ühikvektorid), nimetatakse ortonormeeritud ehk ortonormaalseks baasiks. Seega, kui B = 1, 2,..., n} on vektorruumi ortonormaalne baas, siis (1) Juhul n = 2 tähistatakse tavaliselt 1 = ; 2 = ; juhul n = 3 tähistatakse tavaliselt 1 = ; 2 = 3 = . Teoreem 1. Eukleidilises vektorruumis alati võib valida ortonormaalse baasi. Teoreem 2. Olgu eukleidilises vektorruumis antud ortonormaalne baas B = 1, 2,..., n} ning 1) Siis vektorite ja skalaarkorrutis on arvutatav valemiga 2) Vektori pikkust saab leida valemiga Tõestus. 1) Arvutame vektorite ja skalaarkorrutis: Ortonormaalne baasi omaduse (1) kohaselt 2) Nüüd vektori pikkuse definitsiooni kohaselt 25
Ekvivalentsusprintsiibi ilminguks on kaaluta olek langevas liftis või ümber Maa tiirlevas kosmoselaevas -- mitte kummaski pole mitte mingite mõõtmistega võimalik kindlaks teha ei kiirenduse ega gravitatsioonivälja olemasolu. Kuidas seda matemaatiliselt väljendada, selles on küsimus. Einstein jt. lahendasid selle oletusega kõverast ruumist. Idee on iseenesest lihtne: kosmoselaeva orbiit tasases (eukleidilises) ruumis on ekvivalentne sirgega (nimetame seda geodeetiliseks jooneks) kõveras ruumis. See tähendab, et ruum peab olema nii kõver, et kõver trajektoor oleks temas sirge; sirge all mõistetakse, nagu tavaliseski ruumis, lühimat teed kahe punkti vahel. 13. VÕNKUMISED, LAINED: võnkumine on liikumine mida iseloomustab kordumine ajas. Võnkumistele on rajatud kogu elektrotehnika. Liigitatakse vabadeks (omavõnkumised), ise (autovõnkumised) ja parameetrilisteks võnkumisteks.
See aga on vastuolus v˜ordusega (2.4). Vastuolu tulenes eel- dusest, et x = y. J¨arelikult x = y. Teoreemi 2.5 t˜oestuse k¨aigus n¨aitasime v˜orduse (2.4) eel- dusel, et x = y. Saadud tulemus v¨a¨arib esilet˜ostmist. Teoreem 2.9 Meetrilises ruumis igal kahel erineval punktil leiduvad mittel˜oikuvad (st u ¨hisosata) u ¨mbrused. Kuna nii normeeritud ruumis kui ka eukleidilises ruumis on topoloogia defineeritud meetrika abil, siis ka nendes ruu- mides on koonduva jada piirv¨a¨artus u ¨heselt m¨a¨aratud. ¨ 2.5 Ulesandeid 2.1 Hulgal X olgu antud topoloogiad T1 ja T2 , milles punk- tide x ∈ X u ¨mbruste baasideks on vastavalt B1 (x) ja B2 (x). N¨aidata, et T1 = T2 parajasti siis, kui iga x ∈ X, A ∈ B1 (x) ja B ∈ B2 (x) jaoks leiduvad sellised C ∈ B2 (x) ja D ∈ B1 (x), et C ⊂ A ning D ⊂ B. 2
Ilmselge seos ajas rändamise ühe alusväitega – et erinevad ajahetked on „samaaegselt“ ka erinevad ruumipunktid. Universumi paisumist kujutatakse sageli ette just kera või õhupalli paisumisena. Siis on ju väga selgesti näha seda, et kera ( pinnal oleva keha ) sfäärilised koordinaadid ( ehk ruumipunktid ) on erinevatel ajahetkedel erinevad. Sama on ka kera raadiuse pikkusega. Kohe vaatame me seda asjaolu matemaatiliselt järgmise näite toel. Kahe punkti vaheline kaugus Eukleidilises ruumis on avaldatav järgmiselt: See oli avaldatud Cartesiuse ristkoordinaadistikus, kuid sfäärilistes koordinaatides on see järgmine: Tehes viimases avaldises aga mõned teisendused ja r = a, saame järgmise avaldise Viimasest seosest saame võtta integraali Nüüd aga teeme mõned teisendused viimases ds2 avaldises. Teisendame mõned järgmised väärtused: näiteks r ja dr väärtused saame ja dϑ ning dϑ2 väärtused saame
Ilmselge seos ajas rändamise ühe alusväitega et erinevad ajahetked on ,,samaaegselt" ka erinevad ruumipunktid. Universumi paisumist kujutatakse sageli ette just kera või õhupalli paisumisena. Siis on ju väga selgesti näha seda, et kera ( pinnal oleva keha ) sfäärilised koordinaadid ( ehk ruumipunktid ) on erinevatel ajahetkedel erinevad. Sama on ka kera raadiuse pikkusega. Kohe vaatame me seda asjaolu matemaatiliselt järgmise näite toel. Kahe punkti vaheline kaugus Eukleidilises ruumis on avaldatav järgmiselt: See oli avaldatud Cartesiuse ristkoordinaadistikus, kuid sfäärilistes koordinaatides on see järgmine: Tehes viimases avaldises aga mõned teisendused ja r = a, saame järgmise avaldise Viimasest seosest saame võtta integraali 20 Nüüd aga teeme mõned teisendused viimases ds2 avaldises. Teisendame mõned järgmised väärtused: näiteks r ja dr väärtused saame
Ilmselge seos ajas rändamise ühe alusväitega et erinevad ajahetked on ,,samaaegselt" ka erinevad ruumipunktid. Universumi paisumist kujutatakse sageli ette just kera või õhupalli paisumisena. Siis on ju väga selgesti näha seda, et kera ( pinnal oleva keha ) sfäärilised koordinaadid ( ehk ruumipunktid ) on erinevatel ajahetkedel erinevad. Sama on ka kera raadiuse pikkusega. Kohe vaatame me seda asjaolu matemaatiliselt järgmise näite toel. Kahe punkti vaheline kaugus Eukleidilises ruumis on avaldatav järgmiselt: See oli avaldatud Cartesiuse ristkoordinaadistikus, kuid sfäärilistes koordinaatides on see järgmine: Tehes viimases avaldises aga mõned teisendused ja r = a, saame järgmise avaldise Viimasest seosest saame võtta integraali Nüüd aga teeme mõned teisendused viimases ds2 avaldises. Teisendame mõned järgmised väärtused: näiteks r ja dr väärtused saame ja d ning d2 väärtused saame
annaabi.ee 
