puhul: korrutada pooli murdude ühise nimetajaga, sulgudest vabanemisel kasutada korrutamise jaotuvuse seadust a(b+c)=ab+ac; viia tundmatuid sisaldavad liikmed võrrandi vasakule ning vabaliikmed paremale poolele; koondada ja kirjutada saadud liikmed nõutud järjekorras NB vaja kasutada kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel: enne ei hakka lahendama, kui süsteem on normaalkujul 3.Kahe tundmatuga võrrandi lahend - Ül.909 järjestatud arvupaar; lõpmatu hulk Võrrand 4u+0,5v=2 lahendeid; võrrandi ax+by=c lahend Antud u {1;-0,5;-3,5} kirjutatakse kujul: Leida võrrandi lahendid x=p y=q või need kaks võrdust üksteise alla ja ette loogeline sulg või (p;q) 1)kui u=1, siis 4 1+0,5v=2; 0,5v=2-4; 0,5v=-2; v=-4; lahend on (1;-4) NB lahendite leidmisel vajadusel kasutada 2)kui u=-0,5, siis 4 (-0,5)+0,5v=2;
Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks · Selle sirge iga punkti koordinaadid on selle võrrandi lahendiks Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem
saadud väärtusega ja leiame teise tundmatu. 3+2y=7 2y=73 2y=4 :2 y=2 3.Võrrandsüsteemi lahendiks on arvupaar x=1 ja y=2. See kirjutatakse x=1 loogelise sulu abil kokku, nagu olid esialgsed võrrandidki. Y=2 4.Saadud lahendi õigsust on lihtne kontrollida. v1=3*1+2*2=3+4=7 v1=p1 v2=5*12*2=54=1 v2=p2 Vastus: x=1 y=2
topograafiline kaart-väikse ala kohta üksikasjalikud mõõtkava-suhtarv näitab mitu korda on mõõtmeid vähendatud. arvmõõtkava- näitab kaardi ühikule sama ühikuid looduses võrdlusmõõtkava- lihtsustatud arvmõõtkava asimuut-suunanurk põhjasuuna ja meie suuna vahel. geograafiline laius- kaugus ekvaatorist geograafiline pikkus- kaugus nullmeridiaanist geograafilised kordinaadid-kaardivõrk- arvupaar näitab asukohta maakera pinnal poolus-telg maapinnaga paralleel-ekvaatoriga peralleelne ringjoon meridiaan- poolring pooluselt pooluseni nullmeridiaan- määratakse koha geograafiline pikkus kohalik aeg-päikese järgi määratud ühes ajavööndis sama vööndiaeg-ühes ajavööndis kehtiv kellaaeg maailmaaeg- GMT esimese ajavööndi aeg kuupäevaraja-180 meridiaan,ületamisel muutub kuupäev.
teise. Selliste tehete tulemusena (tee need tehted ise läbi) saame võrduse 0 = 3, mis ilmselt pole tõene. Vastus. Võrrandisüsteemil lahend puudub. Näide 4. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Kui korrutame teise võrrandi mõlemad pooled 2-ga ja seejärel lahutame esimesest võrrandist teise, siis saame tulemuseks ilmselt tõese võrduse 0 = 0. Seega on võrrandisüsteemil lõpmata palju lahendeid. Kuid see ei tähenda sugugi seda, et mistahes arvupaar (x; y) oleks võrrandisüsteemi lahendiks. Lahendeid saab leida näiteks sel viisil, et anname x suvalise väärtuse ja seejärel arvutame y väärtuse. Nii saame näiteks lahenditeks arvupaarid (0; 2), (1; 1), (2; 0), (3; -1) jne. Vaatame nüüd ühte näidet asendusvõtte kasutamise kohta. Näide 5. Lahendame võrrandisüsteemi Avaldame näiteks esimesest võrrandist x ja asendame saadud tulemuse teise võrrandisse: (1) ning peale asendamist saame y suhtes võrrandi
seega kesklõigu poolt moodustatud kolmnurga küljed on 3,5dm, 4dm ja 6dm. Ümbermõõt on P= 3,5 + 4 + 6= 13,5 dm 23. 1) 0,325 0,465= -0,14 2) 0,35 : (-0,14)= -35 : 14= -2,5 3) 2,71 2,87= 0,16 4) -0,16 : (-0,8)= 0,2 5) -2,5 + 0,2= -2,3 24. 2x + 3y = 1 | ·(-5) 5x 4y = 14 | · 2 -10x 15y = -5 10x 8y = 28 -23y = 23 y = -1 2x + 3 · (-1) = 1 2x 3 = 1 2x = 4 x = 2 Ladendiks on arvupaar (2; -1) 25. 26. Lõike on 10 ja kiiri on 10 27. 18 kolnurka 28. 1) 1 + 2 + 34 + 56 + 7 = 100 2) 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000 29. 19+9+0=19+9·1 1 + 9 9 + 2 = 1 · (9 9) + 3 19+ 89=98+ 9+1 1+997=1· 998 3+5-7+9=2· 4+8-6 30. 1) (20 + 80) · (2 + 6 : 3) = 400 2) 4 · (12 + 18 : 3 + 6) = 96 Kasutatud kirjandus 1. Nuputa I raamat Evi Mitt 2. Nuputa II raamat Evi Mitt 3. Matemaatika põhikooli õpilasele- Aavo Lind 4
Meridiaan- kujutletav joon maakera pinnal, mis ühendab maa põhja- ja lõunapoolust ning kulgevad põhja-lõuna suunas Algmeridiaan- poolitab maa idapoolkeraks ja läänepoolkeraks Kaardivõrk- gloobusele ja kaardile joonistatud paralleelide ja meridiaanide võrgustik Geograafiline laius- nurkkaugus kraadides ekvaatorist põhja või lõuna suunas Geograafiline pikkus- nurkkaugus kraadides 0-meridiaanist ida või lääne suunas Geograafilised koordinaadid- laiusest ja pikkusest koosnev arvupaar, mis näitab asukohta maakera pinnal Ajavöönd- maa on jagatud 24 vööndiks Kuupäevaraja- 180 meridiaan; joon. Millest loetakse uue päeva algust Maailmaaeg- Greenwichi aeg Vööndiaeg- ühes ajavööndis kehtiv kellaaeg Maakoor- maa pindmine tahke kest Vahevöö- osalt tahke, osalt poolsulanud kivimassist koosnev kest maakoore all Tuum- kõrge temp. ja suure rõhu all olev maa sisemus Laam- naaberalade suhtes liikuv litosfääriplokk
S = dS v=v(x,y). Igale punktile (x,y)D seatakse vastavusse arvupaar (u,v). Kui 0, P D
vastavusse reaalarvud. Võib väita,et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks realarv ja vastupidi:igale realarvule vastab üks ja ainult üks avtelje punkt. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab üks ja ainult üks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab üks ja ainult üks tasandi punkt. Matemaatikas tähistatakse tavaliselt ühel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy-teljestikuga ja me saame rääkiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Reaalarvu absoluutväärtus. Reaalarvu a absoluutvaartuseks nimetatakse jargmist
y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 ± 9 + 247 = -3 ± 256 = -3 ± 16 y 1 = -19 või y 2 = +13 1) kui y 1 = -19, siis x 1 = y 1 +6 = -19 +6 = -13 x1 = - 13 y1 = - 19 Kontroll: -13(-19 = 247 arvupaar -13 ja -19 rahuldab ülesande tingimusi 2) kui y 2 = 13, siis x 2 = y 2 +6 = 13 +6 = 19 x2 = 19 y2 = 13 Kontroll: 19 -13 = 6 ja 19 × 13 = 247 ka II lahend sobib (st arvupaar 19 ja 13 rahuldab ülesande tingimusi) Vastus: need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 NB
Kui piirkond D on regulaarne x-telje suhtes ja antud võrratustega 1(y)x2(y) ja cyd, siis c 2 ( y) f ( P)dS = dy f ( P)dx D c 1 ( y) 19. Kahekordse integraali muutujat evahetuse valem. Üleminek polaarkoordinaatidele Olgu antud f ( x, y )dxdy D ning u=u(x,y) ja v=v(x,y). Igale punktile (x,y)D seatakse vastavusse arvupaar (u,v). Kui (x,y) muutub üle D, siis kujutispunkt (u,v) kujundav uv-tasandil kujundi D'. Eeldame, et a) punkt (x,y)D on üheselt taastatav punkti (u,v)D' põhjal, st iga (u,v)D' leidub üks ja ainult üks (x,y)D nii et (u,v) on (x,y) kujutiseks. Igal (u,v)D' vastab üks ja ainult üks (x,y)D, kusjuures x=x(u,v) ja y=y(u,v) b) eksisteerivad järgmised osatuletised xu', xv', yu', yv' piirkonnas D'. Kui on täidetud eeldused a) ja b) kehtib valem
(y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 9 247 = -3 256 = -3 16 y 1 = -19 või y 2 = +13 1) kui y 1 = -19, siis x 1 = y 1 +6 = -19 +6 = -13 x1 13 y1 19 Kontroll: -13(-19 = 247 arvupaar -13 ja -19 rahuldab ülesande tingimusi 2) kui y 2 = 13, siis x 2 = y 2 +6 = 13 +6 = 19 x2 19 y2 13 Kontroll: 19 -13 = 6 ja 19 13 = 247 ka II lahend sobib (st arvupaar 19 ja 13 rahuldab ülesande tingimusi) Vastus: need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 NB
(y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 9 247 = -3 256 = -3 16 y 1 = -19 või y 2 = +13 1) kui y 1 = -19, siis x 1 = y 1 +6 = -19 +6 = -13 x1 13 y1 19 Kontroll: -13(-19 = 247 arvupaar -13 ja -19 rahuldab ülesande tingimusi 2) kui y 2 = 13, siis x 2 = y 2 +6 = 13 +6 = 19 x2 19 y2 13 Kontroll: 19 -13 = 6 ja 19 13 = 247 ka II lahend sobib (st arvupaar 19 ja 13 rahuldab ülesande tingimusi) Vastus: need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 NB
alluma normaaljaotusele, Aegread peavad olema statsionaarsed. 36) Regressorite suhtes lineaarne mudel Regressorid X esinevad mudelis vaid astmes 1. Ei ole ruutliimkeid, ln x. Graafikuks sirge. 37) Parameetrite suhtes lineaarne mudel Parameetrid esinevad mudelis vaid astmes 1. Vastasel juhul ei saa lineariseerida (kasutada OLS) 38) Mis juhtub, kui vaatluste arv on väiksem kui parameetrite arv? Kui meil on 1 objekt, st 1 arvupaar, ei saa määrata 2 parameetrit. Sirge määramiseks tasandil peab olema vähemalt 2 punkti. a= 0/0 39) Mis juhtub, kui regressori väärtused valimis on ühesugused? Ei ole võimalik hinnata, kuidas X muutumine mõjutab Y 40) Mis juhtub, kui regressorid on lineaarselt sõltuvad? / Mis juhtub, kui mingi regressori väärtused valimis on kõikidel objektidel täpselt ühesugused? Suvalise regressori saab avaldada teiste regressorite lineaarse kombinatsioonina./
yi b1 b2 x2i b3 x22i ui regressorite (seletavate tunnuste) Xj arv. ln yi b a ln xi ui Näiteks üks regressor, 2 parameetrit: yi axi b ui Millised mudelid ei ole lineaarsed parameetrite suhtes? Kui meil on 1 objekt, st 1 arvupaar, ei saa määrata 2 Y parameetrit. Sirge määramiseks tasandil peab olema Näiteks yi b1 x2b2i x3bi3 ui Cobb-Douglas, aga juhuslikud liikmed liituvad. vähemalt 2 punkti.
punktile vastab mingi kindel reaalarv. Kompleksarvu a + bi aga arvteljel kujutada ei b) korrutis on reaalarv; saa, kuna ta on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, s.t. reaalarvude järjestatud c) summa ja korrutis on mõlemad reaalarvud. paariga (a; b). Selline arvupaar määrab tasandil punkti. Joonestame kaks teineteisega ristuvat koordinaattelge. Sellist koordinaat-tasandit, milles kujutatakse kompleksarve, 829. On teada, et i2 = -1 ja 3,14. Kas võib järeldada, et > i ? Miks ? nimetatakse komplekstasandiks (vt vasakpoolset joonist). 830
Leida: R= {(1,2),(1,6),(1,8),(1,10),(2,2),(2,6),(2,8),(2,10),(4,8)} S={(2,6),(4,8)} R S=R R S =S Def. Olgu R relatsioon hulgast A hulka B ja S relatsioon hulgast B hulka C. Kompositsiooniks nimetatakse relatsiooni hulgast A hulka C, mis on defineeritud järgmiselt: R S = { (a,c) | leidub b , nii et (a,b) R ja (b,c) S } Näide: Täisarvude hulgal on antud kaks relatsiooni R={(a,a+1) | aZ} ja S={(a,2a) | aZ} Arvupaar (a,c) kuulub relatsiooni R S parajasti siis kui leidub selline b, et (a,b) R ja (b,c) S mis tähendab, et b=a+1 ja c=2*b millest järeldub, et c=2*(a+1)=2a+2. Seega relatsioon R S kujutab arvupaare (a,2a+2) ehk R S = { (a,2a+2) | aZ } Ülesanne 4: Leida eelmise näite põhjal S R Ülesanne 5: R={(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} ja S={(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} Leida R S ja S R. R S={(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)} S R={} ei ole võrdsed
Leida: R, R S , R S R= {(1,2),(1,6),(1,8),(1,10),(2,2),(2,6),(2,8),(2,10),(4,8)} S={(2,6),(4,8)} R S=R R S =S Def. Olgu R relatsioon hulgast A hulka B ja S relatsioon hulgast B hulka C. Kompositsiooniks nimetatakse relatsiooni hulgast A hulka C, mis on defineeritud järgmiselt: R S = { (a,c) | leidub b , nii et (a,b) R ja (b,c) S } Näide: Täisarvude hulgal on antud kaks relatsiooni R={(a,a+1) | aZ} ja S={(a,2a) | aZ} Arvupaar (a,c) kuulub relatsiooni R S parajasti siis kui leidub selline b, et (a,b) R ja (b,c) S mis tähendab, et b=a+1 ja c=2*b millest järeldub, et c=2*(a+1)=2a+2. Seega relatsioon R S kujutab arvupaare (a,2a+2) ehk R S = { (a,2a+2) | aZ } Ülesanne 4: Leida eelmise näite põhjal S R Ülesanne 5: R={(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} ja S={(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} Leida R S ja S R. R S ={(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3t),(3,u)} S R ={}
Ei saa kasutada harilikku vähimruutude meetodit OLS. On võimalik kasutada mittelineaarset vähimruutude meetodit NLS. Lineaarne parameetrite suhtes: parameetrid esinevad mudelis vaid astmes 1. Näiteks 38. Mis juhtub, kui vaatluste arv on väiksem kui parameetrite arv? 2. Eeldus: vaatluste arv ei tohi olla väiksem kui hinnatavate parameetrite arv Vaatluste arv n ≥ k parameetrite arv. Näiteks üks regressor, 2 parameetrit: yi = axi + b + ui Kui meil on 1 objekt, st 1 arvupaar, ei saa määrata 2 parameetrit. Sirge määramiseks tasandil peab olema vähemalt 2 punkti. 39. Mis juhtub, kui regressori väärtused valimis on ühesugused? 3. Eeldus: regressori väärtused valimis ei tohi olla ühesugused Matemaatiliselt: regressori dispersioon peab olema positiivne arv: St, seletava tunnuse Xj väärtused peavad hajuma. Kui hajumist ei ole, ei saa me hinnata, kuidas Xj muutumine mõjutab Y. 40. Mis juhtub, kui regressorid on lineaarselt sõltuvad? 4
Maailmas on nii palju inimesi, et loodusressursid vähenevad. Aafrikas sõditakse karjamaade pärast. · Ülekarjatamine, ülepüük merel, muldade vaesumine, vee puudus KÕRBETE PEALETUNG · Bioloogilise mitmekesisude vähenemine Loomade elupaigad vähenevad. Loomad ja taimed surevad välja. 2. Kordinaatide määramine ja vahemaade mõõtmine kaardil. GEOGRAAFILISED KOORDINAADID - geograafilisest laiusest ja geograafilisest pikkusest koosnev arvupaar, mis näitab asukoha maakera pinnal. jagunevad: · GEOGRAAFILINE LAIUS-loetakse ekvaatorist põhja ja lõuna suunas. (pl.-põhjalaius, ll.-lõunalaius.) Geograafilised laiused kirjutatakse rööbikute otste juurde. · GEOGRAAFILINE PIKKUS - loetakse lääne või ida suunda ip(idapikkus)., lp. (läänepikkus) Geograafilised pikkused kirjutatakse meridiaanide juurde. PILET 2 1. Tähtsamad maadeavastused. Geograafilised uuringud tänapäeval. TÄHTSAMAD MAADEAVASTUSED:
&x'&3 x'3 4. Kui x on teada, saame leida ka suuruse y. Selleks kasutame seda avaldist, kus y on avaldatud x kaudu: y'5&x'5&3'2 Kontroll: I võrrandi vasak pool: 10 @ 3 % 10 @ 2 ' 50 ; vasak pool = parem pool. II võrrandi v.p.: 20 @ 3 % 30 @ 2 ' 120 ; v.p. = p.p. Seega võrrandsüsteemi rahuldab arvupaar ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed võrrandsüsteemid 32 x'3 y'2 Vastus: Drazeed "Iks" tuleb võtta 3 tk päevas ja drazeed "Igrek" tuleb võtta 2 tk päevas. Võrrandisüsteemi kujul
Üks viis tingimusi väetimaks muuta ja võrrandile rohkem lahendeid tekitada, on mängu tuua rohkem muutujaid. Näiteks võrrandil on lahendeid maa ja ilm: iga -iväärtuse jaoks leidub sobiv väärtus ka -ile. Kui on võrdne 2-ga, peab olema võrdne ühega. Kui on võrdne 3-ga, peab võrduma nulliga ja nii edasi. Kõik võrrandi lahendid on antud arvupaaridena – üks neist ütleb võima- liku muutuja väärtuse ja teine muutuja väärtuse. Iga selline arvupaar tähistab aga täpselt ühte punkti arvutasandil: -i väärtus annab punkti -koordinaadi ning -i väärtus punkti -koordinaadi. Kui hakkame kõiki neid punkte joonistama, näeme, et nad otsustavad kõik ennast kenasti ühele sirgele ritta seada. Selgub, et iga kahe muutujaga lineaarne võrrand (mõlema muutuja aste on üks) kirjeldabki täpselt ühte sirget tasandil ja vastupidi ka: kui meile on antud üks sirge tasandil, võime kirjeldada teda kahe muutujaga lineaarse võrrandi abil.
reaalarvule vastab u ¨ks ja ainult u ¨ ¨ks arvtelje punkt. Oeldu p~ohjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u ¨ks tasandi punkt. Matemaatikas t¨ ahistatakse tavaliselt u ¨hel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg-
reaalarvule vastab u ¨ks ja ainult u ¨ ¨ks arvtelje punkt. Oeldu p~ohjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u ¨ks tasandi punkt. Matemaatikas t¨ahistatakse tavaliselt u¨hel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg-
annaabi.ee 
