· tan(±)= tan±tan/1tan·tan · sin(arcsinx)= x, kui x1 · sin2= 2sin·cos · arcsin(-x)= -arcsinx · cos2= cos2-sin2 · cos(arccos)= x, kui x1 · tan2= 2tan/1-tan2 · arccos(-x)= -arccosx · 1+cos= 2cos2 /2 · tan(arctanx)= x · 1-cos= 2sin2 /2 · arctan(-x)= -arctanx · sin/2= ±1-cos/2 · arcsinx+arccosx= /2 · cos/2= ±1+cos/2 · arctanx+arccotx= /2 · tan/2= ±1-cos/1+cos=sin/1+cos= 1-cos/sin · sinx=m lahendivalem: · sin±sin= 2sin±/2·cos/2 · x= (-1)n·arcsinm+n·
Tegu on siinusfunktsiooni pöördväärtusega, absoluutväärtuselt vähim nurk, mille sin on x, paarisfunktsioon. Koosinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=cosx. Tegu on paarisfunktsiooniga (sümmeetriline y telje suhtes), perioodiks 2. Arkuskoosinuseks nimetatakse funktsiooni y=arccosx. Tegu on koosinusfunktsiooni pöördväärtusega, vähim positiivne nurk, mille cos on x. Tangensfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=tanx. Arkustangensiks nimetatakse funktsiooni y=arctanx. Tegu on tangensfunktsiooni pöördfunktsiooniga, absoluutväärtuselt vähim nurk, mille tangens on x. y sin = r x cos = r y tan = x x cot = y Taandamisvalemid: II sin ( - ) = sin cos ( - ) = -cos tan ( - ) = -tan III sin ( + ) = -sin cos ( + ) = -cos tan ( + ) = tan
Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. y sin = r x cos = r y tan = x x cot = y Taandamisvalemid: II sin ( - ) = sin cos ( - ) = -cos tan ( - ) = -tan III sin ( + ) = -sin cos ( + ) = -cos tan ( + ) = tan IV sin (2 - ) = -sin cos (2 - ) = cos tan (2 - ) = -tan - sin (-) = -sin cos (-) = cos tan (-) = -tan Täiendusnurgad: sin = cos = cos (90° - ) cos = sin (90° - ) 1 tan = cot (90° - ) = tan(90°-) Eriväärtuste tabel: 0 30 45 60 90 180 270 360° ...
määramispiirkonnast, mille korral f(x)=y. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon : y=0 Astmefunktsioon y=x astmes a Eksponentfunktsioon y=a astmes x Logaritmfunktsioon y= loga astmes x Trigonomeetrilised funktsioonid: y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx Argusfunktsioonid: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx Elementaarseteks funktsioonideks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaar-funktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et |f(x)|<= k iga X kuulub hulka A korral. Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis kogu oma
tanx=m + x=arctanm+n/7, neZ, TE 22 ,A.rkusfunktsioonide omadusi sin(aresin x) = :g arcsin(-x) = - arcsin(x) cos(arccosx) = I arccos(-.r) = n - arccos(x) tan(arctanx) = x arctan(-x) = -arctan(x)
Tangensfunktsioon y=tan x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270° tan(-x)=-tanx paaritufunktsioon Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga Arkusfunktsioon Siinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arcsinx Arkussiinus x on nurk, mille siinus on x y=arcsin(-x)=-arcsin n X=(-1)arcsinm+n Koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arccosx Arkuskoosinus x on nurk, mille koosinus on x arccos(-x)=-arccosx x=±arccosm+2 Tangensfunktsiooni pöördfunktsioon y=arctanx Arkustangens on nurk, mille tangens on x arctan(-x)=-arctanx x=arctanm+n Homogeenne trigonomeetriline võrrand võib olla järgmisel kujul: 2 2 asinx+bsinx=0 asinx+bcosx+csinxcosx=0 Tuletis (x²)´=2x (u±v)´=u´±v´ (1/x)´=-1/x² (uv)´=u´v+uv´ c´=0 (u/v)´=u´v-uv´/v² x´=1 (x)=1/2x n n-1 (x)´=n x x Liitfunktsioon e. funktsiooni funktsioon y=f(x)-lihtfunktsioon y=sin(x-3)-liitfunktsioon.
Tõestus: Olgu x > 0 Kasutades logaritmilise diferentseerimise võtet, saame ln y = ln x ; ln y = ln x ; Diferentseerime saadud võrduse mõlemaid pooli x järgi, arvestades, et y on x funktsioon: Asendades y avaldisega x saame lõplikult y = x-1 Valem on õige ka siis, kui x < 0, kui x omab mõtet. Näide: y = x3 Leida y' kasutades logaritmilist diferentseerimist! ln y = ln x3 ln y = 3 ln x y' = 7. Tuletada funktsiooni y = arctanx diferentseerimise valem Eeldame, et on teada tan x ' = Arcustangens on tangensfunktsiooni pöördfunktsioon, st y = arctanx tan y = tan arctan tan y = x (1) Teoreem : Funktsiooni arctan x tuletis on Tõestus: Eeldusest x'y = Järelikult: y'x = Kuid Et (1) tan y = x, siis saame lõpuks y' = Teooriatöö lühiküsimused:
Näited. Nimetage paaris-ja paaritu funktsioonide graafikute omadusded. Kui iga korral on f(-x) = f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks, ja kui on f(-x) = -f(x), siis paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=tanx, y=cot x, y=arcsinx ja y=arctanx on paaritud funktsioonid ning y=cos on paarisfunktsioon. Paaritu funktsiooni y=x3 graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 7. Defineerige funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon. Millisel tingimusel funktsioonil eksisteerib pöördfunktsioon? Milline seos on funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ääramispiirkondade vahel? Milline seos on funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni graafikute vahel?
on lõpmatult kasvav samas protsessis reas ja neile vastavad funktsiooni väärtused teises reas. On y=arctanx X=R Y[- 2 ; 2 ] Piirprotsesside x ja x- definitsioonid Tõkestatud funktsiooni definitsioon võimalik, kui funktsiooni x-l on lõplik arv väärtusi. y=arccotx X=R Y(0;) Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv Funktsiooni (x) nimetatakse tõkestatuks, kui selle funktsiooni väärtuste Funktsiooni esitatakse valemi kujul
-1 mis igale arvule y Y = f ( X ) seab vastavusse arvu x X , kusjuures y = f (x), . Näide: y = pöördfunktsioon on x = log2 Üksühene funktsioon ja selle graafik . Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Näide: Näide: Funktsioon, millel pole pöördfunktsiooni. y = x + arctanx 7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Näited Funktsioon ilmutamata kujul. Kui võrrandi F(x,y) = 0 on x X korral üks lahend y = f(x), siis öeldakse et see võrrand määrab funktsiooni y = f(x), x X ilmutamata kujul. Näiteks: lox +log(y+2) 2 = 0 Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused
peegeldused üle sirge y = x. 5. Algebralised tehted funktsioonidega. y = (f + g)(x) = f(x) + g(x) y = (f - g)(x) = f(x) - g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x) y = (f/g)(x) = f(x)/g(x) Liitfunktsiooni mõiste. z = (g f)(x) = g[f(x)] Liitfunktsiooni määramispiirkond. Xgf = {x||x Xf, f(x) Yg} Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, y = log a x, y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx ja y = arccotx. Elementaarfunktsiooni definitsioon. funktsioon, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn , kus a0,a1,a2,...,an-1,an on konstandid ja an ei võrdu 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6
Funktsiooni y = f (x) ( x X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f ( y ) , mis igale arvule y Y = f ( X ) seab vastavusse arvu -1 x X , kusjuures y = f (x), . Näide: y = pöördfunktsioon on x = log2 Üksühene funktsioon ja selle graafik . Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Näide: Näide: Funktsioon, millel pole pöördfunktsiooni. y = x + arctanx Näide: y = tanx pöördfunktsioon. y = arctanx 6. Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud. Graafikute teisendused (näiteks, kuidas funktsiooni y = f(x) graafikust visandada funktsiooni y = -b f(x+a) graafik, kui a<0, b>0). Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon (tooge näide). Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud. Graafikute teisendused. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioone, mis saadakse põhilistest
Pöördfunktsioon x=arctany arctan(tanx)=x ja tan(arctany)=y d.iv. y=cotx pööramisel ahendatakse X(0;) Y=R Pöördfunktsioon x=arccoty arccot(cotx)=x ja cot(arccoty)=y e. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. e.i.1. y=arcsinx X[-1;1] Y= e.i.2. y=arcosx X[-1;1] Y=[0;] e.i.3. y=arctanx X=R Y e.i.4. y=arccotx X=R Y(0;) e.i.5. Arkusfunktsiooni graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y=x (JOONISED) 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. a
punkti abstsissi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist. Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 27. Suvalise nurga tangens- · Suvalise nurga tangensiks nimetatakse selle nurga lõpphaara suvalise punkti ordinaadi ja abstsissi suhet. Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 28. Arcsina- Siinuse poordfunktsioon, leiab nurga, mille siinus on antud. x=(-1)narcsinx+k 29. Arccosa- x= +,- arccosx+2k 30. Arctana- x= arctanx+k 31. Perioodiline funktsioon- · Funktsiooni y=f(x) , mis rahuldab tingimust f(x+p)=f(x), kus p0 iga x korral määramispiirkonnas X nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks. Arvu p nimetatakse seejuures funktsiooni perioodiks. · Trigonomeetriliste funktsioonide perioodid · Sinx ja cos x ---- 2 tanx ja cotx ---- · Perioodi leidmiseks tuleb võrdusest f(x+p)=f(x) määrata p, st lahendada vastav võrrand p suhtes · Leiame funktsiooni y=sin3x perioodi.
joonteparve, mille jooned on u¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellu¨kke abil 34. Integraalide tabel. 1. dx = x + C , kuna (x + C)' = 1. 2. xa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a -1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)'= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.dx /x = ln|x| + C. 4. a x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. sinx dx = -cosx + C. 6. cosxdx = sinx + C. 7.dx /cos2 x = tanx + C. 8. dx /sin2 x = -cotx + C. 9. dx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: dx /1+x2 = arctanx + C. 10.dx / k2-x2= arcsin x/ k + C. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). 1.[f(x) ± g(x)]dx =f(x)dx ±g(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See t¨ahendab, et [f(x)g(x)]dx f(x)dx · g(x)dx ja [f(x) : g(x)]dx f(x)dx : g(x)dx. 2. af(x)dx = a f(x)dx, kus a on konstant. 3. Kui f(x)dx = F(x) + C ja a, b on konstandid, siis f(ax + b)dx = 1/ a * F(ax + b) + C. T~oestame omaduse 3. Selleks me peame n¨aitama, et
· Trigonomeetrilised funktsioonid - siinusfunktsioon: y = sinx koosinusfunktsioon: y = cosx tangensfunktsioon: y = tanx kootangensfunktsioon: y = cotx · Arkusfunktsioonid - Arkussiinusfunktsioon: y = arcsinx arkuskoosinusfunktsioon: y = arccosx arkustangensfunktsioon: y = arctanx arkuskootangensfunktsioon: y= arccotx e x - e -x · Hüperpoolsed funktsioonid- hüperpoolne sinus: y=shx = 2 e x + e -x hüperpoolne koosinus: y = chx= 2
joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil 34. Integraalide tabel. 1. ʃdx = x + C , kuna (x + C)’ = 1. 2. ʃxa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a −1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)’= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.ʃdx /x = ln|x| + C. 4. ʃa x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. ʃsinx dx = −cosx + C. 6. ʃcosxdx = sinx + C. 7.ʃdx /cos2 x = tanx + C. 8.ʃ dx /sin2 x = −cotx + C. 9. ʃdx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: ʃ dx /1+x2 = arctanx + C. 10.ʃdx /√ k2−x2= arcsin x/ k + C. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). 1.ʃ[f(x) ± g(x)]dx =ʃf(x)dx ±ʃg(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See tähendab, et ʃ [f(x)g(x)]dx ʃ f(x)dx · ʃg(x)dx ja ʃ [f(x) : g(x)]dx ʃf(x)dx : ʃ g(x)dx. 2. ʃaf(x)dx = a ʃf(x)dx, kus a on konstant. 3. Kui ʃf(x)dx = F(x) + C ja a, b on konstandid, siis ʃ f(ax + b)dx = 1/ a * F(ax + b) + C. Tõestame omaduse 3
, b=?); joonis!; limp-> PQ=0, PQR=> limp-> PR=0, PR=f(x)-(kx+b); limx-> [f(x)-kx-b]=0 => limx-> (f(x)-kx)- limx-> b=0 =>b= limx-> (f(x)-kx); limx-> f(x)-kx-b/x=0 ->limx-> f(x)/x-k- limx-> b/x=0 =>k= limx-> f(x)/x. *Märkused:1)kui üks nendest piirväärtustest on lõpmatus või ei eksisteeri siis kaldasümptooti ei ole 2)kui asümptoodi tõus on võrdne 0-ga siis räägime rõhtasümptoodist, mis on erijuhtum kaldasümptoodile (|| x teljega , nt y=arctanx) 3) teatud juhtudel on vaja vaadelda: x->+ ja x->- (nt eksponentf-nidel) 23. F-ni graafiku konstrueerimine Y=f(x) 1)MP {x IR| f(x) < } 2)uurida kogu MP ulatuses: a)paaris? F(- x)=f(x)-sümm y telje suhtes b)paaritu? F(-x)=-f(x)- sum 0punkti suhtes c)perioodiline=> leidub selline arv T :f(x+T) =f(x)-uurida ainult perioodi ulatuses 3) lõikepunktid koordinaatidega 4)asümptoodid: a)kaldasümp kas on I liiki katkevusp.? X=a (limx->af(x)= )=> ühepoolsed piirv. Limx->a+ f(x)=+
1 - x2 1 - x2 x = x rad. 1 1 180 (arctanx) = , (arccotx) =- . 1 + x2 1 + x2 Sel juhul liitfunktsiooni tuletise reeglist saame, et d sin(x ) x
annaabi.ee 
