Mehaanilise maailmapildi tunnusjooni Ajalugu aluseks GalileiNewtoni mehaanika on valitsenud üle kahe sajandi (1719) Newtoni seadused koos gravitatsiooniseadustega moodustavad universaalsete loodusseaduste prototüübid, mille omapäraks on determineeritus (kui algtingimused on teada, saab määrata keha asukoha mistahes ajahetkel) ja pöörduvus ajas (liikumine tulevikku ja tagasipöördumine algtingimuste juurest minevikku on samaväärsed) Sir Isaac Newton 4. jaanuar 1643 31. märts 1727. Oli inglise füüsik, matemaatik, astronoom, teoloog ja alkeemik. Tollel ajal, kui teoloogia, loodusteaduse ja filosoofia vahel puudusid selged piirid, nimetati teda filosoofiks. Newton Newton töötas välja mehaanika üldised seadused, formuleeris ülemaailmse gravitatsiooniseaduse, tegi tähtsaid avastusi optikas ning pani aluse diferentsiaal ja integraalarvutusele. Newtoni 1
Leida avaldis, millest on võimalik ainult naturaalarvu n järgi välja arvutada, mitu sõna pikkusega n keeles leidub. Lahendus. Olgu An kõigi n-täheliste sõnade arv. Ülesande tingimuste põh- jal kehtib seos An+1 = 2An + 8An-1 . Algtingimused on A1 = 1, A2 = 1. Karakteristliku võrrandi q 2 - 2q - 8 = 0 lahendid on q1 = 4, q2 = -2. Järelikult rekurrentse võrrandi üldlahend on An = c1 · 4n + c2 · (-2)n . Algtingimuste põhjal saame võrrandisüsteemi 4c1 - 2c2 = 1 16c1 + 4c2 = 1, mille lahendid on c1 = 81 , c2 = - 41 . Kõigi n-täheliste sõnade arv on seega 1 n 1 An = · 4 - · (-2)n . 8 4 Materjal õpikus. Lk 3640 (teist järku rekurrentsete võrrandite lahenda- mine). Ülesanne 3
Mehhanistlik maailmapilt *on valitsenud üle kahe sajandi (17-19) *aluseks Galilei-Newtoni mehaanika *Newtoni seadused koos gravitatsiooniseadustega moodustavad universaalsete loodusseaduste prototüübid, mille omapäraks on determineeritus (kui algtingimused on teada, saab määrata keha asukoha mistahes ajahetkel) ja pöörduvus ajas (liikumine tulevikku ja tagasipöördumine algtingimuste juurest minevikku on samaväärsed) *liikumiseks on vaja algtõuget (arvati et see pärineb Jumalalt) *kord liikuma pandud maailm on muutumatu ja sarnaneb kellamehhanismiga, mille kõik osad on ühendatud üksüheste seostega *maailma saab kirjeldada matemaatiliselt, dünaamiliste võrranditega, mis väljendavad põhjuse ja tagajärje vahelisi üksüheseid seoseid *maailmas ei ole kohta juhusel, kõik on täielikult determineeritud *loodusseadusi on võimalik eksperimentaalselt avastada, kui
Raskusjõu töö (+ - 0): raskusjõu töö võrdub jõu suuruse ja tema rakenduspunkti alg- ja lõppasendi kõrguste vahe korrutisega, võetuna + või märgiga. Töö ei sõltu kõvera kujust, millel punkt m liigub punktist m1 punkti m2. Võimsus: 1W=1J/s Vaba punkti dünaamika kaks põhiülesannet- 1) on antud liikumise seadus ja punkti mass, leida resultantjõud. 2)punktile mõjuvate jõudude, tema massi ja algtingimuste järgi määrata liikumise seadus. Inertsjõud- vektor, mis suuruselt võrdub punkti massi ja kiirenduse korrutisega ning on suunatud vastupidiselt kiirendusele. Konstantse jõu P tööks A sirgjoonelisel nihutusel nim. Jõu suuruse, tema rakenduspunkti nihutuse pikkuse ja jõu ning nihutuse vahelise nurga koosinuse korrutist (A=Ps*cos erijuhud: =0 siis A=Ps, =90 A=0, =180 A=-Ps) Rahvusvaheline süsteem: Dzaul(J) on töö, mida teeb jõud 1N kui tema rakenduspunkt nihkub liikumise
parameetrite teadaolevad väärtused analüüsi alghetkel. Nullised algolekud, teatava sisendmuutuja rakendamisel süsteemi sisendisse hetkel t0, pole reaktsiooni väljundis üheselt määratud. Põhjuseks on süsteemi akumulatsiooni toime, mis on põhjustatud võimalikest protsessidest enne ajahteke t0. Sõltuvus ainult sisendsignaalist tekib, siis kui hetkel t0 süsteemisisene akumulatsioon puudub täielikult, sellisel juhul on tegemist nullise algtingimusega. Nulliste algtingimuste juures saab kasutada ülekandemudelit ja ülekandefunktsioon on siis süsteemi karakteristik. Nullistel algtingimustel ei ole teada mida süsteem enne teinud on. Mittenulline algtingimus – kui väljundmuutuja ühtib olekumuutujaga, saab mittenullist algolekut kirjeldada väljundmuutuja algväärtusega. Millistel tingimustel ja eeldustel on pidevaja süsteem esitatav ekvivalentse diskreetaja süsteemina?
(13.2) y=0 Lemma 13.1 Kui y1(x) ja y2(x) on kaks homogeense lin.võrrandi (13.2) lahendit, siis ka on samuti selle võrrandi lahend Tõestus 13.1 Tõepoolest Asendades võrrandis (13.2) saadus avaldisega saame: Lemma 13.2 Mittehomogeense võrrandi (13.1)' üldlahend koosneb homogeense võrrandi (13.2) üldlahendist ja mittehomogeense võrrandi . (13.3) Tõestus 13.2 Olgu homogeense lineaarse võrrandi üldlahend, mis rahuldab võrrandit Ja millest kõigi algtingimuste Jaoks võib sobivalt valida C1 ja C2 abil leida erilahendi, mis rahuldab ka antud tingimusi. Olgu mittehomogeense võrrandi erilahend. Võttes , saame, et Olgu , siis saame algtingimusteks. Eelduse kohaselt saab määrata üldlahendis konstandid C1 ja C2 nii, et oleks täidetud ka need algtingimused ja . 14. Funktsioonide lineaarne sõltumatus. Wronski determinant ja selle omadused. Def 14
Ilm soojeneb. See seletus on ilus, ent ilmastiku kujunemine Maal tundub olevat keerulisem. Oma osa on siin kahtlemata Päikese aktiivsuse muutustel, oma osa mängib inimtegevusest põhjustatud kasvuhoonegaaside kuhjumine atmosfääris. Ja oma osa etendab mereplankton, mis eristab õhku dimetüülsulfiidi nimelist gaasi, see omakorda soodustab pilvede teket. Maa on keeruline ning nagu nüüd kombeks öelda, kaootiline süsteem, milles imepisikesed algtingimuste muudatused tekitavad milliseid tahes lõppmuudatusi. “Kui liblikas tõuseb lendu Californias, võib see vallandada tsunami Jaapanis,‿ ütlevad kaose-usksed. “Maa käitub nagu superorganism Gaia, nii et kõik selle bioloogilised ja füüsikalised süsteemid töötavad koos, et hoida see hea tervise juures, ‿ ütlevad Gaia-usksed. KUI LOODUS oleks toiminud omapead, oleks meie planeedi kliima viimase kahe aastakümnega hoopis külmemaks muutunud
ühiskonna suutlikkust ja riigi konkurentsivõimet maailmas. Seejuures on oluline arvestada, et sotsiaalpoliitilise investeeringu tasuvusaeg on teiste investeeringutega võrreldes väga pikk. Sõltuvalt tingimustest ja inimese eripärast võib konkreetsesse inimesse investeeritu teenida end tasa 30-60 või enama aastajooksul (Paavel 1999: 2). Kaks olulist märksõna selles kontekstis on tasuvusaeg ja ressursisuutlikkus. Tasuvusaja seisukohalt võib enamvähem võrdsete algtingimuste korral öelda, et mida pikem see on, seda vähem läbi mõeldud ja konkurentsivõimeline ning väheefektiivne oli investeering. Teise märksõna suhtes peaks üles kerkima küsimus üldisest ressursisuutlikkusest - kui palju seda ressurssi üldse on, mida saab teisi inimesi, ühiskonda ja riiki ohustamata kuhugi, kellessegi või millessegi investeerida? (Paavel 1999: 2). Seega Eesti sotsiaalpoliitika arengusuunad võiksid olla:
Lahendus. Antud: Teeme joonise, mille vasak pool näitab seda, et jäätükk T1 = 295 K t1 = 22 0C asetatakse vette. t 2 = 0 0C mv = 87 g = 8,7 10 -2 kg m j = 27 g = 2,7 10 -2 kg = 334 kJ / kg = 3,34 105 J/kg c = 4200 J/(kg·K) mv = ? m j = ? t =? Antud ülesandes sõltub lõppolek suurel määral algtingimustest. Ilmselt on tegemist jää sulamisega (algtingimuste kohaselt on jää sulamistemperatuuril 0 0C, vesi on aga temperatuuril 22 0C), milleks vajalik soojushulk arvutatakse valemiga Q j = m j , kus on jää sulamissoojus ja mj sulatatava jää mass. Kalorimeetris olev vesi jahtub, äraantav soojushulk aga arvutatakse valemist Q = c mv (t1 - t ) , kus t on vee lõpptemperatuur. 6 Nagu öeldud, sõltub kalorimeetri sisu lõppolek algtingimustest, teisisõnu sellest, kas kogu jää
x01 = ?, x02 = ?, v1 = ?, v 2 = ?, aja t ees olev kordaja v on keha kiirus. x1 = ?, x 2 = ?, x = ? Võrreldes seda algandmetes toodud kehade liikumisvõrranditega, saame, et esimese keha algkoordinaat ja kiirus on x01 = 6 m , v1 = 4 m/s , teise keha algkoordinaat ja kiirus x02 = -10 m , v2 = 8 m/s . Kuna algtingimuste kohaselt oli koordinaat meetrites ja aeg sekundites, siis on ka algkoordinaat meetrites ja kiirus meetrites sekundis. Kahe sekundi möödudes on kehad punktides koordinaatidega 4 x1 = ( 6 + 4 2 ) m = 14 m , . x2 = ( -10 + 8 2 ) m = 6 m . Kui kehad kohtuvad, on nende koordinaadid võrdsed. Teisisõnu x1 = x 2 x . Koordinaatide võrdsustamisest saame leida kohtumise aja t, millest omakorda leiame kohtumispunkti.
6. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel sirgjoonelise liikumise korral? Kahe integreerimiskonstandi määramiseks peab olema kaks tingimust, nendeks on etteantud algasend x0 = x(0) ja veel algkiirus x&0 v0x , mis siin on lihtsalt v0 . 7. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel tasapinnalise liikumise korral? Liikumise algtingimuste põhjal. kirjutatakse kõigepealt välja süsteemi (4.3) kõik võrrandid alghetkel t = 0 , asendades seejuures vasakutes pooltes x, y, z asemele vastavalt etteantud x0 , y0 , z0 ja aja t asemele nulli. Seejärel leitakse funktsioonide x, y ja z tuletised aja t järgi ja kirjutatakse ka need välja alghetkel t = 0 . 8. Mida nimetatakse masspunktide mehaanikaliseks süsteemiks? Punktmasside mehaanikaliseks süsteemiks nimetatakse üksteist mõjutavate punktmasside kogumit.
12G) B - v0 A Märkused. 1. Lahendite tabelis toodud suurused A ja B on mingid konstandid, kusjuures A 0 Siin ei tohi A ja B sõltuda ajast t, sest sel juhul need lahendid ei kõlba. Muutuvate A(t ) ja B (t ) korral tuleks tekkiv diferentsiaalvõrrand lahendada ise-seisvalt kasutades diferentsiaalvõrrandite teooriat. 2. C1 ja C 2 on integreerimiskonstandid, mis määratakse algtingimuste põhjal. Viiendas tüübis C1 ja C 2 puuduvad, sest seal on need juba asendatud x0 ja v0 v0 x kaudu. 3. Viies tüüp on sirgjoonelise liikumise jaoks kui jõud on proportsionaalne kiiruse ruuduga. Siin on antud 2 lahendit -- esimeses sõltub kiirus asukohast (või läbitud teest), teises sõltub kiirus ajast t. Kumba lahendit kasutada, oleneb sellest, mida ülesande tekstis küsitakse. Kui küsitakse kiirust sõltuvana
Algkiirusvektor 0 tuleb projekteerida nii x- kui ka y-teljele x (0) = x 0 = v0 x = v0 cos (4.38B) y (0) = y 0 = v0 y = v0 sin (4.38C) Avaldised (4.38) kujutavadki endast algtingimusi, mille alusel saab leida integree- rimiskonstandid C1, C2, C3 ja C4. Nüüd kirjutame kõik 4 võrrandit süsteemidest (4.36) ja (4.37) välja alghetkel t = 0 ,asendades seejuures kõik muutuvad suurused nende algväärtustega algtingimuste (4.38) põhjal. v0 cos = C1 v sin = C 0 2 0 = C 3 0 = C4 Asendame need integreerimiskonstandid süsteemi (4.37) ja saame lõplikult x = v0 t cos gt 2
süsteemi mudelis siduda sama ajahetke oleku-muutujatega (või ka sisenditega) väljundvõrrandite süsteemi abil. Ülekandemudelis on väljundmuutujad otseselt seostatud sisendmuutujatega. Teatava sisend-muutuja rakendamisel süsteemi sisendisse hetkel to pole reaktsioon valjundis üheselt määratud. Sileda süsteemi puhul on sisend- ja väljundmuutuja seos määratud teatava diferentsiaalvõrrandiga, mille lahend kirjeldab väljundmuutuja sõltuvust sisendfunktsioonist nulliste algtingimuste olukorras. 1.5.Millest sõltub süsteemi käitumine Süsteemi väljund sõltub sisendist ja süsteemi algväärtusest, kuidas mõjutab sisend süsteemi olekuid ja need omakorda väljundeid. Muutusi süsteemi käitumises põhjustavad süsteemi parameetrite (tavaliselt väikesed) muutused (tundlikkus). Mittestatsionaarse süsteemi puhul sõltub olekusiirdefunktsioon otseselt ajast. Statsionaarse süsteemi olekusiirdefunktsioon otseselt ajast ei sõltu
impulssmomendid, energia jne) võivad muutuda ainult pidevalt. 2) Kõiki nimetatud suurusi on põhimõtteliselt võimalik määrata süsteemi igas olekus kuitahes täpselt. Klassikalise süsteemi kohta on olemas maksimaalne informatsioon, kui on antud tema liikumisvõrrandid koos vastavate algtingimustega. Nendest andmetest saame arvutada kõik dünaamilised suurused mistahes ajahetkel. Klassikaliste algtingimuste valik tähendab süsteemi kõikide koordinaatide ja impulsside (ka üldistatud mõttes) väärtuste etteandmist mingil fikseeritud ajamomendil, s o süsteemi teatud olekus. Liikumisvõrrandite ühese lahendamise võimalus on seega seotud hüpoteesiga (2). MLT 6004 Kvantmehhaanika 2 Klassikaline kausaalsuse printsiip: süsteemi olek, mis mistahes ajahetkel on
muutujatega (või ka sisenditega) väljundvõrrandite süsteemi abil. Ülekandemudelis on väljundmuutujad otseselt seostatud sisendmuutujatega. Teatava sisend-muutuja rakendamisel süsteemi sisendisse hetkel to pole reaktsioon valjundis üheselt määratud. Sileda süsteemi puhul on sisend- ja väljundmuutuja seos määratud teatava diferentsiaalvõrrandiga, mille lahend kirjeldab väljundmuutuja sõltuvust sisendfunktsioonist nulliste algtingimuste olukorras. Millest sõltub süsteemi käitumine- Süsteemi väljund sõltub sisendist ja süsteemi algväärtusest, kuidas mõjutab sisend süsteemi olekuid ja need omakorda väljundeid. Muutusi süsteemi käitumises põhjustavad süsteemi parameetrite (tavaliselt väikesed) muutused (tundlikkus). Mittestatsionaarse süsteemi puhul sõltub olekusiirdefunktsioon otseselt ajast. Statsionaarse süsteemi olekusiirdefunktsioon otseselt ajast ei sõltu. Energia, võnkumiste vms
dy dny du d mu f y, ,K, , u, ,K, = 0 (*) dt dt dt dt kus m n Kui diferentsiaalvõrrand (*) on n-ndat järku, siis öeldakse, et süsteem on n-ndat järku. Lähtudes funktsioonist (*), on võimalik süsteemi täielikult analüüsida ning arvutada siirde- protsessid ka mittenulliste algtingimuste puhul. n-ndat järku diferentsiaalvõrrandi lahenda- miseks on vaja n algolekut. Kui f on lineaarne funktsioon, siis diferentsiaalvõrrandi (*) poolt kirjeldav süsteem on lineaarne n-ndat järku pidevaja süsteem. n-ndat järku diferentsiaalvõrrand on esitatav ka n esimest järku diferentsiaalvõrrandite süs- teemi abil. Süsteemi kirjeldav mudel jaguneb kaheks osaks. Süsteemi sisend tekitab sundliikumist ning
hüpoteesist, millest saab programmi jätkamise alus – näited (123). Falsifitseerimatuks tunnistab programmi kõva tuuma „tema protogonistide metodoloogiline otsus“. Eelduste labürinti, millest koosneb struktuuri muu osa, nimetab Lakatos kaitsevööndiks (sobimatus selgelt väljendatud uurimisprogrammi ja vaatlusandmete vahel pannakse sinna). Sinna kuuluvad nii kõva tuuma täiendavad eksplitsiitsed abihüpoteesid; eeldused, millel põhineb algtingimuste kirjeldus ja samuti vaatlusotsustused (123). Programmi negatiivseks heuristikaks on nõue, et programmi toimimise ajal ei tohi kõva tuuma teisendads, ta peab jääma puutumatuks (ei tohi uurimisprogrammi piirest välja astuda)(124). Popperi puhul puudutab otsus aainult üksikotsustuste vastuvõetavust ja Lakatosil laieneb see nõue rakendatavuseni universaalsete otsustuste kohta, millest moodustub kõva tuum. Positiivne heuristika annab teadlasele viiteid, mida ta peaks tegema ja millest
lineaarsete automaatjuhtimissüsteemide väljatöötamiseks. Klassikaline automaatjuhtimise teooria põhineb ülekandefunktsioonidel, mis sobivad hästi elektriajamite üksikute komponentide mudeliteks. 140 Ülekandefunktsioon on lineaarse ahela matemaatiline mudel, mis kirjeldab selle väljund-ja sisendmuutujate suhet operaatorkujul nulliga võrdsete algtingimuste korral. Diferentsiaalvõrrandite teisendamisel operaatorkujule (Laplace'i teisendus) kasutatakse algebralist suurust s, mida nimetatakse Laplace'i operaatoriks. Sümbolkujul 2 3 d d d s = , s 2 = , s 3 = jne. dt dt dt
annaabi.ee 
