olemas esimest järku osatuletised argumentide y, y', ..., y (n-1) järgi, mis on ka pidevad piirkonnas D. Siis iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) є D korral on Cauchy ülesandel {(1);(2)} parajasti üks lahend. Üldlahend – võrrandi (1) lahendite pere y = y(x, C 1, C2, ..., Cn), mis sõltuvad n suvalisest konstandist C1, ..., Cn ja mille puhul iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) = є D jaoks leiduvad konstantide väärtused C10, C20, ..., Cn0, nii et lahend y = y(x,C10,...,Cn0) rahuldab algtingimusi (2). Erilahend – võrrandi (1) lahend, mis on saadud konstantide fikseerimisega. 2. Lihtsamate n-järku diferentsiaalvõrrandite integreerimine. V: Lihtsamate n-järku DV lahendamine – üldkuju F(x, y, y', ..., y(n)) võrrandit kujul, siis arvestame (2) algtingimusi: yn = f(x) n (n-1) et y = dy /dx, siis dy(n-1)/dx = f(x)|·dx
(2) üldlahendiks piirkonnas D nim suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y=y(x;C), mis rahul tingimust : iga pnkti (xo;yo) D korral leidub konstdi C selline väärtus Co; et lahend y=y(x;C) rahuld algtingimust y( x0)= Erilahend võrrandi (2) erilahend on lahend, mis on saadakse konstandi C fikseerimisega. 2. Lihtsamate n-järku diferentsiaalvõrrandite integreerimine. V: Lihtsamate n-järku DV lahendamine üldkuju F(x, y, y', ..., y(n)) võrrandit kujul, siis arvestame (2) algtingimusi: yn = f(x) , et yn = dy(n-1)/dx, siis *dy(n-1)/dx = f(x)|·dx *dy(n-1) = f(x)dx| *y(n-1) = fxdx + C1. *Et y(n-1) = dy(n-2)/dx, siis *dy(n-2) = (f(x)dx + C1)dx *y(n-2) = (f(x)dx + C1)dx + C2 jne. *Saamegi y = y(x1, C1, C2, ..., Cn) arvestame tingimuse (2) algtingimusi *yn = f(x) *x0 y (x)dx = x0 f(x)dx *y (x)|xx0 = x0xf(x)dx *y(n-1)(x) y(n-1)(x0) = x0xf(x)dx *y(n-1)(x) = x n x (n-1) y0 + x0 f(x)dx
v (t ) = a . (1.9) Komponentkujul oleksid seega ühtlaselt muutuva sirgjoonelise liikumise võrrandid järgmised. axt 2 x(t ) = x0 + v0 x t + 2. (1.10) v (t ) = v + a t x 0x x Sarnased võrrandid kirjutame ka koha- ja kiirusvektorite y- ja z-telje sihiliste komponentide jaoks. Need lubavad algtingimusi algasukohta, algkiirust ja kiirendust teades arvutada keha koordinaadid mistahes ajahetkel t. Elimineerides võrranditest (1.10) aja, avaldades selle süsteemi (1.10) alumisest võrrandist ja asendades tulemuse ülemisse võrrandisse, saame aega mittesisaldava liikumisvõrrandi x-telje sihis: 2a x x = v x2 - v02x . (1.11) Pannes kirja samasugused võrrandid ka x- ja y-telje sihis, jõuame ühtlaselt muutuva sirgjoonelise
24) üldlahendi kohe välja kirjutada x = C1 sin kt + C 2 coskt (4.25) Leiame siit kõigepealt tuletise x = C1 k coskt - C 2 k sin kt (4.26) Millised on algtingimused? Ülesande teksti põhjal selgub, et x0 = l ja x 0 = v0 x = -v0 . Kirjutame nüüd võrrandid (4.25) ja (4.26) välja alghetkel t=0 arvestades nimetatud algtingimusi, saame l = C2 - v0 = C1k v0 millest C1 = - ja C2 = l . k Nüüd võime punkti liikumise võrrandi (4.25) põhjal lõplikult välja kirjutada, asendades sinna leitud integreerimiskonstandid v x = - 0 sin kt + l coskt
=f ( x ) ¿ dx x x−x 0 y0 2 tingimuse (2) algtingimusi: yn=f(x). ∫ y ( x ) dx x 0 ngiu Üldistus:y= y + y ' ¿ )+ 2! ( x−x 02 ) n x0 0 0 n−1 x y0 1 +...+... Taylori rida: n−1
39. Diferentsiaalvõrrand (definitsioon). DV-i järk, lahendid ja liigitus (osata määrata järku, liigitada ja kontrollida, kas funktsioon on lahendiks). Üldlahend ja erilahend. Diferentsiaalvõrrandi järk on diferentsiaalvõrrandis esinevate tuletiste kõrgeim järk. DV-i lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = f(x), mille asetamisel võrrandisse saame samasuse. Kõigi DV-e lahendamisel saadakse kõigepealt üldlahend, millest siis rajatingimusi (algtingimusi) kasutades leitakse sobiv erilahend. Seega, n-järku DV-il on lõpmata palju lahendeid ja need on esitatavad kujul y = φ(x, C1, C2, . . . , Cn), kus konstandid C1, C2, . . . , Cn omandavad väärtusi teatud vahemikus. Sellist avaldist nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks. Iga lahendit, mis saadakse üldlahendist konstantidele arvulisi väärtusi andes, nimetatakse erilahendiks. 40. Eraldatud ja eralduvate muutujatega DV-i lahendamine. DV-t kujul M(x)dx + N(y)dy = 0 nim
üldlahend mis sisaldab suvalist konstanti C Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit, erilahend mis on saadud üldlahendist konstantidele arvuliste väärtuste andmisel Cauchy ülesanne Cauchy ülesandeks nimetatakse ülesannet, kus on vaja leida diferentsiaalvõrrandi F(x,y,y',...,y(n))=0 lahend y, mis rahuldab algtingimusi y(x0)=y0, y'(x0)=y1,..., y(n-1)(x0)=yn-1 Lahendi olemasolu ja Olgu f(x,y) ja f'y määratud ja pidevad muutujate x,y piirkonnas D. Siis iga ühesuse teoreem punkti (x0, y0) D korral on Cauchy ülesandel y'=f(x,y), y(x 0)=y0 parajasti üks lahend y=y(x) Lineaarne Lineaarseks esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis
muudab võrrandi samasuseks sõltumata parameetrite väärtustest. (1.3) Dif.võr lahendamist nim selle võrrandi integreerimiseks ja selle lahendid integraaliks, lahendi graafikut nim integraaljooneks. Kui n-järku võrrandile lisada n-algtingimust: (1.4) Siis saame algväärtuseks ülesande (1.1). esimest järku algväärtus ülesanne koosneb võrranditest ja ühest algtingimusest. (1.5) Def 1.3 Võrrandi (1.1) lahendit, mis rahuldab ka algtingimusi (1.4) nim selle võrrandi erilahendiks. Teist või kõrgemat järku võrrandile võib püstitada ka raja (väärtus) ülesande. 2. Dif.võr geomeetriline tõlgendus Esimest järku võrrandi ligikaudne lahendamise idee. Vaatleme esimest järku dif.võr. (2.1) See võrrand määrab igas tasapinna punktis P(x,y) tuletise y' väärtuse. Tuletis on aga võrdne integraaljoone tõusuga (täisnurgatang). Järelikult saame selle funktsiooni f(x,y) määramispiirkonnas suunavälja või vektorvälja
45.Teist järku DV Def. *üldkuju: F(x,y,y',y'')=0 *normaalkuju: y''=f(x,y,y'). *def lahend on mingisugune f-n, mis muudab võrrandi samasuseks, y=f(x) 1MF; üldlah y=y(x,C1,C2), C1,C2 IR sõltub kahest suvalisest konstandist ; erilah- konstantide fikseerimise teel; fikseerimine: algtingimus abil: y 0=y(x0), y0'=y'(x0) (Cauchy ül); Lahendi olemasolu ja ainsuse teoreem: f(x,y,y') fy(x,y,y'), fy'(x,y,y') => pidev piirkonnas D=> y''=f(x,y,y'), y(x 0)=y=, y'(x0)=y0'=> on ainus lah, mis rahuldab algtingimusi vähemalt punkti M 0(x0,y0) mingis ümbruses; erilah geom. tõlgendus =>Joonis! Int joonte parv on üldlah geom. tõlgendus ja erilah on sealt üks intjoon 46. Erikujulised(mittetäielikud) II järku DV-d Niisugused, mida on võimalik taandada teatud järku võtetega=> I järku DV-> kui oskame lahendada: 1)y''=f(x) I abiül*tähistame: y''=(y')'=p' *as p'=f(x) Ijärku dv p-määramiseks (E) *täh p'=dp/dx *as dp/dx=f(x) |dx *(E): dp=f(x)dx
r r Fk = ma , r kus kehale mõjuv kogujõud Fk on võrdne kõikide kehale mõjuvate jõudude vektorsummaga r r r r Fk = F1 + F2 + L + Fn . 1 Newtoni II seadust nimetatakse ka dünaamika, täpsemalt küll klassikalise mehaanika põhiseaduseks, sest see võimaldab kehale mõjuvate jõudude kaudu leida tema liikumise. Keha trajektoori leidmiseks peame lisaks kehale mõjuvatele jõududele teadma veel algtingimusi keha asukohta ja kiirust mingil ajahetkel. Newtoni III seadus Newtoni III seadus kahe keha jaoks r r F12 = - F21 , r r kus F12 on esimese keha poolt teisele kehale mõjuv jõud ja F21 vastavalt teise keha poolt esimesele kehale mõjuv jõud. Mitme keha korral kehtib analoogiline seos mistahes kahe keha jaoks. Newtoni III seadust nimetatakse ka mõju ja vastasmõju seaduseks. Näidisülesanne 1
+ e -(t -1) - e 0,5( t -1) cos 3 (t - 1) + 3e 0,5(t -1) sin 3 (t - 1) 1(t - 1) 2 2 Saab kontrollida, et h(t ) = g (t ). Siirdeprotsessi kirjeldavates valemites esineb eksponent positiivses astmes e 0,5t , järelikult on antud süsteem mittestabiilne ja piirväärtusteoreemid ei kehti. Kui u (t ) = sin t , siis leiame süsteemi väljundi y (t ), eeldades mittenulliseid algtingimusi: y (t ) = y s (t ) + y v (t ) 2 s 2 + 3se - s 2s 2 3s Ys ( s ) = 3 = 3 + 3 e -s ( s +1 s +12 )( ) ( s +1 s +1 2 )( s +1 s +1 2
seega õpib Anu kolmandat ning Ingmar järelikult esimest aastat. Teine variant ei sobi (kaks tudengit on ühekaugel) ning kolmas variant ei sobi, sest keegi ei õpi teist aastat. Tõeseks osutus esimene väide: Anu ei õpi esimest aastat. 4.2. Igas väites kolmest, on vähemalt üks osaväide tõene. Lihtsaim tee on kasutada disjunktiivset normaalkuju ning kõrvaldada võimalikud võõrlahendid, kasutades ülesande algtingimusi. Kolm liitväidet peavad olema korraga tõesed: (M3 H2)&(A2 M4)&(H1 R2) = M3&A2&H1 M3&A2&R2 M3&M4&H1 M3&M4&R2 H2A2&H1 H2&A2&R2 H2&M4&H1 H2&M4&R2 = M3&A2&H1 H1 & A2 & M3 Lahenduseks on allajoonitud variant. Räikkönen oli ülesande tingimuste kohaselt neljas. 25_fl_i-v 4.3. Väited olid: A1, ¬K1 ¬K2 ¬A2. Üks neist peab olema tõene, teised väärad. Tõene on esimene, teine või kolmas väide
arengut ei uuri. On filosoofe, kes arvavad, et asjadel on oma olemus (näit Platon). Ontoloogilises mõttes siiski nähtustel olemust ei ole. Maailma võib 1 Teatud mõttes on see kõik väga tänapäevane. . . (EL) 2 Narratiiv — ld jutustama — sündmuste esitus nende ajalises järgnevuses harilikult suu- liselt või kirjutatud tekstina. (VL) 3 Sisuliselt on mõte selles, et ei võeta piisavalt algtingimusi. (M) 4 Surm on ka paratamatu, kas peaksime sellele siis kaasa aitama? (EL) 5 Ontoloogia — kr ontos+logos, olemine+õpetus — olemisõpetus, olemise filosoofiline käsitlus, mis jätab kõrvale tunnetuse analüüsi, hõlmab mitmeid valdkondi ja suundi antiik- ajast tänapäevani. (VL) 1.3. AJALUGU KUI VAIMSE TEGEVUSE VORM 9 jaotada elusaks ja surnuks; materiaalseks ja mõtteliseks. Kui klassifitseeri-
puudub. 3.Realistlike testimissitatsioonide komplekssus (102-105). Falsifikatsionismi raskus realistlikus testsituatsioonis. Realistlik teaduslik teooria koosneb ju üldiste otsustuste kogumist, mitte aga üksikust väitest nagu „kõik luiged on valged.“. Lisaks kui teooriat tuleb katselisel teel kontrollida, kaasatakse testimisse rohkem kui ainult need otsustused, mis moodustavad antud teooria. Teoorias tuleks kasutada lisaeeldusi, kirjeldada algtingimusi, kujutleda paikapidavust jne (102). Võime jõuda väära katseni vms ja see näitab, et: teooriat pole võimalik lõplikult falsifitseerida, sest ei saa välistada võimalust, et eksliku ennustuse põhjustas mingi osa komplekssest testsituatsioonist, mis ei puudutanud kontrollitavat teooriat. Näide astronoomia ajaloost lk – 3 näidet kokku 103. 4.Falsifikatsionismi ebaadekvaatsus ajaloolisel taustal (105-107). Kui oleksid
korral on tegu võnkeprotsessiga. 2. etapp: sundliikumise komponendi leidmiseks vaadeldakse süsteemi käitumist välise toime e. mõju olemasolul. Võib kasutada suvaliste konstantide varieerimise meetodit e. Langrange meetodit. C1 ja C2 määratakse nii, et oleks rahuldatud ka mittehomogeenne diferentsiaalvõrrand. 3. etapp: Liidetakse kokku vaba- ja sundliikumise komponendid. 4. etapp: Integreerimiskonstantide leidmiseks on vaja algtingimusi igale järgule. Algtingimused peavad kajastama süsteemi olekut vaatluse alghetkel: x v,t=...=0; 2 dxv,t =0 = .....0 ; d xv,t =0 = ....0 Nullilised algtingimused 2 dt dt Kõige lihtsam on integreerimiskonstantide leidmine siis, kui vaatluse alghetkel on süsteem täielikus tasakaalus. Üldkujul antakse karakteristlik võrrand: anpn+an-1pn-1+an-2pn-2+...+a1p+a0=0 Sellel on n lahendit
(1.9) Komponentkujul oleksid seega ühtlaselt muutuva liikumise võrrandid järgmised. axt 2 x (t ) = x 0 + v 0x t + 2 . (1.10) v (t ) = v + a t x 0x x Sarnased võrrandid kirjutame ka koha- ja kiirusvektorite y- ja z-telje sihiliste komponentide jaoks. Need lubavad algtingimusi – algasukohta, algkiirust ja kiirendust teades arvutada punktmassi koordinaadid mistahes ajahetkel t. Elimineerides võrranditest (1.10) aja, avaldades selle süsteemi (1.10) alumisest võrrandist ja asendades tulemuse ülemisse võrrandisse, saame aega mittesisaldava liikumisvõrrandi x-telje sihis: 2a x ∆x = v x2 − v 02x . (1.11) 2
Aga kui me nüüd vaatame ühes algset võrrandit ning viimast võrrandit , siis saame, et sama arv on võrdne nii nulli kui ühega, ja peame järeldama, et ! Ometigi teame, et see on jaburus ning algne võrrand ei ole samaväärne vii- mase võrrandiga . Seega peame tee peal olema kasutanud mõnda algtingimusi väänavat teisendust. Tõepoolest, vaadates üleminekut sammult 4 sammule 5, oleme võrrandi mõlemat poolt läbi jaganud -iga. Ent on ju võrdne nulliga ning nulliga jagamine toobki alati ainult jama kaasa! 178 Väike võrrandijutt võrrandi teisendAMINE
annaabi.ee 
