5. Kui determinandi mingi rida või veerg avaldub elementide summana saab determinandi kirjutada 2'e determinandina. 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele juurde liita mis tahes arv kordsed teise rea vastavad elemendid. 7. Kuna determinant on induktiivselt defineeritud (esmalt esimest järku, selle abil teist, selle abil kolmandat jne.), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana. 8. Maatriksi ja determinantide korrutis on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast . Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik.
4. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 5. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga, siis determinant suureneb see arv korda. 6. Determinant ei muutu, kui mingile reale liita mingi arv kordne teine rida. Determinantide arvutamisel saab ka kasutada determinandi arendamist rea või veeru järgi. Determinant võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga. 6)Maatriksid. Tehted maatriksitega. Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . 7) Gaussi meetod. Gaussi meetod (saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss 1777-1855) on üks enamlevinud meetodeid lineaarvõrrandite süsteemide lahendamiseks ja on
.. + akn Akn = akj Akj . (2) j =1 Def. Summat (2) nimetatakse determinandi D arendiks k-nda rea järgi. Arvu Akj nimetatakse determinandi D elemendi akj alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks. Leiame nüüd eeskirja alamdeterminantide Ak 1 , Ak 2 , ... , Akn väärtuste leidmiseks. Alamdeterminantide moodustamise eeskirjast tuleneb, et alamdeterminantide Ak 1 , Ak 2 , ... , Akn ( n - 1) ! liidetava summana ei esine determinandi D k-nda rea elemente ak1 , ak 2 , ... , akn . avaldistes Tähistagu M ij determinandist D tema i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel tekkivat ( n - 1) -st järku determinanti.
· Kustutame A i-nda rea ja j- inda veeru ning sellisel juhul saame uue maatriksi B(n- 1 × n-1). · Arvutame uue maatriksi determinandi ja nimetame selle maatriksi A elemendile aij vastavaks miinoriks ja märgime sümboliga mij · Saadud miinori mij korrutatakse läbi teguriga (-1)i+j. Saadakse uued suurused ij, millised nimetatakse maatriksi A elemendile aij vastavaks alamdeterminandiks. i j = (-1) i + j mi j A' = ( mi j) miinorite maatriks A* = (i j) alamdeterminantide maatriks A~ = A*T adjungeeritud maatriks Maatriksi omaväärtused ja omavektorid Kui teatava ruutmaatriksi A (n × n) korral leidub maatriksi X (n × 1) X ja leidub reaalarv , et rahuldatud on tingimus A X = X, siis maatriksi X nimetatakse maatriksi A omavektoriks ja reaalarvu nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks.
Elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks nimetatakse arvu Aij = (-1) i+j Mij. Analoogiliselt arendusega (5.1) saab kolmandat järku determinanti arendada mis tahes rea või veeru järgi, kusjuures kõik arendused annavad determinandi väärtuseks sama tulemuse. Arendus rea järgi Arendus veergu järgi Mulle tundub, et det teooria põhivalem on 5. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu. Pöördmaatriksi ja regulaarsuse seos. Pöördmaatriksi omadused Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks Maatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse, selllist maatriksit mille korral A*A-1 = A-1*A = E, kus E on sööbivat järku ühikmaatrkis (AGA 1. A on ruutmaatriks ja det A pole võrdu 0-ga) Elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu Leiame det A: Pärast .
vaadeldav element. determinandi elemendi alamdeterminant (miinori algebraline täiend) tekib siis, kui miinoriga korrutada (-1) astmes elemendi indeksite summa. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nimetatakse arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor. mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga. 4. Teist ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad. Teist järku ruutmaatriksi korral leitakse determinandi väärtus avaldisega: näiteks: Kolmandat järku ruutmaatriksi determinant arvutatakse (mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga): näiteks: 2(-1)1+1 (-1)(-1)1+3
2 4 D31 = 3 5 = 2*5-4*3 = -2 0 4 D32 = - 1 5 = - (0*5-4*1) = 4 TEOREEM: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga. D = ai1*Di1 + ai2*Di2 + ... + ain*Din (vaata koopiates lk.18) Ülesanne: lk.20, nr.4b esimese rea neljas element esimese rea kolmas element esimese rea teine element
14. Determinandi elemendi minoor ja alamdeterminant,determinandi arendis k-nda rea (veergu) järgi. Determindi aij elemendi minoor on-kui kõrvldame determinandist i-nda rea ja j-nda veergu ja tähistame Mij.alam determinant on- kui determindi aij ongi tema minoor Mij,mis võetakse ,,+" märgiga kui i+j on paaris arv,ja ,,-,, märgiga kui i+j on paaritu arv ja ähistatakse Aij.dterminandi arendis on-rea(veergu)elementide ja alamdeterminantide korrutis.rea(veergu) arendis on võrdne determinandi väärtusega. 15. Determinandi väärtuste arvutamine põhiomaduste järgi. Kõrgema kui 3 järku determinandi saab lahendada kahel viisil- 1)determinandi arendise järgi- mingi rea(veeru) abil.siin alam determinant on K-1 järku ja nende arendis 2- järku,samm sammu järel saame 3-järku alamdeterminandi mida saab leida sarruse või diogonaali reegli järgi.
8,3,19,11] ~8I 0,-21,-21,-21] ~3II 0,0,0,0] Pöördmaatriks, selle leidmine. Näide. Pöördmaatriks on vaid ruutmatriksil. Kui maatriksi tüüp on n_n, siis ka pöördmaatriks on n_n-maatriks. Definitsioon. n2-maatriksi A pöördmaatriks on n2-maatriks A-1,mille jaoks A·A-1=A-1·A=I Adjungeeritud maatriks ~A. Olgu Aik n2-maatriksi A elemendi aik alamdeterminant. Siis maatriksi A adjungeeritud maatriks ~A saadakse maatriksi alamdeterminantide maatriksi transponeerimisel, s.t. ~A=[Aik]T. NB! ÕPI NÄIDE VIHIKUST!!! Maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui ta on regulaarne, st. |A|=detA 0 e. Nxn maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui tema astak r=n Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju, Kronecker-Capelli teoreem. Näide. Üldise korrastatud (tunmatud on võrdusmärgist vasakul teineteise all, vabaliikmed on
DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi A jaoks eksisteerib selline maatriks A-1, mille puhul on rahuldatud tingimused A A-1 = A-1 A = E, (A) siis neid maatrikseid nimetatakse teineteise PÖÖRDMAATRIKSITEKS. DEFINITSIOON 2. Ruutmaatriksit, mille determinant on nullist erinev, nimetatakse REGULAARSEKS. JÄRELDUS. Maatriks Am×n on regulaarne, kui m = n ja |An×n | 0. LAUSE. Pöördmaatriks leidub ainult regulaarmaatriksil. 1) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ALAMDETERMINANTIDE ABIL An×n = || ai j || A-1n×n = | An×n |-1 || A j i ||, (B) kus Ai j on elemendile ai j vastav alamdeterminant ja rea elementidele vastavad alamdeterminandid moodustavad valemis (B) uue maatriksi veerud, st toimub alamdeterminantidest moodustatud maatriksi transponeerimine. Tulemust saab kontrollida tingimuse ( A ) abil. 2) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ELEMENTAARTEISENDUSTE ABIL || A | E || || E | A-1 ||.
miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga: DA = ai1Di1 + ai2Di2 +. . . + ainDin või DA = a1kD1k + a2kD2k + . . . + ankDnk. Determinante on võimalik arvutada otseselt teoreemi põhjal või kasutades determinandi eelnevat lihtsustamist põhiomaduste põhjal. - 3 7 -1 4 5 -9 2 7 -9 2 7 5 2 7 5 -9 7 2 5 1 2 5 1 2 2 1 2 2 5 2 4 -6 1 2 -6 1 2 4 1 2 4 -6 2
DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi A jaoks eksisteerib selline maatriks A-1, mille puhul on rahuldatud tingimused A A-1 = A-1 A = E, (A) siis neid maatrikseid nimetatakse teineteise PÖÖRDMAATRIKSITEKS. DEFINITSIOON 2. Ruutmaatriksit, mille determinant on nullist erinev, nimetatakse REGULAARSEKS. JÄRELDUS. Maatriks Am×n on regulaarne, kui m = n ja |An×n | 0. LAUSE. Pöördmaatriks leidub ainult regulaarmaatriksil. 1) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ALAMDETERMINANTIDE ABIL An×n = || ai j || A-1n×n = | An×n |-1 || A j i ||, (B) kus Ai j on elemendile ai j vastav alamdeterminant ja rea elementidele vastavad alamdeterminandid moodustavad valemis (B) uue maatriksi veerud, st toimub alamdeterminantidest moodustatud maatriksi transponeerimine. Tulemust saab kontrollida tingimuse ( A ) abil. 2) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ELEMENTAARTEISENDUSTE ABIL || A | E || || E | A-1 ||.
miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga: DA = ai1Di1 + ai2Di2 +. . . + ainDin või DA = a1kD1k + a2kD2k + . . . + ankDnk. Determinante on võimalik arvutada otseselt teoreemi põhjal või kasutades determinandi eelnevat lihtsustamist põhiomaduste põhjal. -3 7 -1 4 -9 2 7 5 2 7 5 -9 2 7
miinorit , mis omab ,,+" märki, kui ,,i + j " summa on raarisarvuline , ning omab ,, - " märki, kui see summa on paarituarvuline. Lähtudes definitsioonist, saame: A ij = (-1)i + j Mij . Näiteks A 23 = - M 23 ( 2 + 3 = 5 , paarituarvuline ), A 24 = M24 (2 + 4=6 , paarisarvuline). 16. omadus( determinandi arendusteoreem) : Determinant võrdub suvalise rea (veeru) elementide ja nende elementide vastavate alamdeterminantide korrutiste summaga: determinandi D mistahes reanumbri i korral kehtib (arendis i-rea järgi) n D = aij Aij = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain j =1 ja mis tahes veerunumbri j korral (arendis j-veeru järgi) n D = aij Aij = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + + a nj Anj i =1
Lähtudes definitsioonist, saame: A ij = (-1)i + j Mij . - 15 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina Näiteks A 23 = - M 23 ( 2 + 3 = 5 , paarituarvuline ), A 24 = M24 (2 + 4=6 , paarisarvuline). 10. omadus( determinandi arendusteoreem) : Determinant võrdub suvalise rea (veeru) elementide ja nende elementide vastavate alamdeterminantide korrutiste summaga: determinandi D mistahes reanumbri i korral kehtib (arendis i-rea järgi) n D = aij Aij = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain j =1 ja mis tahes veerunumbri j korral (arendis j-veeru järgi) n D = aij Aij = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + + a nj Anj i =1
annaabi.ee 
