( ( : . , ., - 52. . , ...) . .- : 2 - . (.. . ( .. -), C = ai1 ai2; .), . , , 2- - - .. : .( . . ). (ai1 ai2 . % - = Z + R + K + P + A + N. - . C 47. . 1 AD c R:
, ., ( 2 . , ...) : : . .- - . (.. 2 : -), . - . , C = ai1 ai2; ( 52. . .( 2- .), ). . - - .. . = Z + R + K + P + A + N. (ai1 ai2 . % .. 47. . - - . , . 1 . :
Viime i-nda rea determinandi esimeseks reaks, jättes ülejäänud ridade järjekorra muutmata. Selleks tuleb vahetada i-nda rea asukohta i - 1 eelneva reaga. Saadud determinandi j-nda veeru viime tema esimeseks veeruks. Selleks tuleb vahetada j-nda veeru asukohta j - 1 eelneva veeruga. Tekkinud determinandi D^ esimese rea ja esimese veeru elemendiks on aij : aij ai1 L ai , j -1 ai , j +1 L ain a1 j a11 L a1, j -1 a1, j +1 L a1n M M O M M O M
Näide: 2*(A-B) = 2* 5 3 3 = 10(5*2) 6(3*2) 6(3*2) 5) MAATRIKSITE KORRUTAMINE AB BA (korrutamine oleneb elementide järjestusest) A = (aij)lm veerg B = (bij)mn rida AB = (ai1 * b1j + ai2 * b2j + ... + aim * bmj)ln (i rida * j veerg) 0 1 2 1-ne rida korrutada B 1-se veerguga 6 -1 A= 3 4 5 B= 7 9 8 -2
c1,1 = a1,1 b1,1 + a1,2 b2,1 + · · · + a1,n bn,1 c2,1 = a2,1 b1,1 + a2,2 b2,1 + · · · + a2,n bn,1 c3,1 = a3,1 b3,1 + a3,2 b2,1 + · · · + a3,n bn,1 ... cn,1 = an,1 b1,1 + an,2 b2,1 + · · · + an,n bn,1 ❦✉s n ci,j = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj = aik bkj k=1 ❚ä❤✐st❛❞❡s ♥üü❞ C = (cij ) ∈ M atn ♥ä❡♠❡✱ ❡t ♠❛❛tr✐❦s C ♦♥ ♠❛❛tr✐❦s✐t❡ A ❥❛ B ❦♦rr✉t✐s✳ ❆r❡♥❞❛♠❡ ♥üü❞ ♠❛❛tr✐❦s✐t D ✈✐✐♠❛s❡ n r❡❛ ❥är❣✐✱ s❛❛♠❡✱ ❡t −1 0 · · · 0
Maatriks Ai(j) saadakse maatrisist A j-nda rea muutmise teel. Nimelt j-ndasse ritta kirjutatakse i-nda rea elemendid. Juhul kui i = j on |Ai(j) | = 0, sest maatriksil Ai(j) on i-s ja j-s rida u ¨hesugused. Samas i = j korral |Ai(j) | = |A|. Seega |Ai(j) | = |A|ij . (6.3) Arendame determinanti |Ai(j) | n¨ uu¨d j-nda rea j¨argi. Valemi (4.6) abil praegu saame |Ai(j) | = ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + . . . + ain Ajn . (6.4) Siin on vaja r~ohutada, et iga i korral on j-nda rea elementide algebralised t¨aiendid u ¨hesugused, nimelt maatriksi A j-nda rea omad. V~orreldes n¨ uu¨d valemeid (6.3) ja (6.4) ja kasutades (1.4), saame ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + . . . + ain Ajn = |A|ij , i, j Nn . (6.5) Lugejal palume t~oestada, et kui kirjaldatud m~ottek¨ aigud viime l¨abi j-nda
Maatriks Ai(j) saadakse maatrisist A j-nda rea muutmise teel. Nimelt j-ndasse ritta kirjutatakse i-nda rea elemendid. Juhul kui i = j on |Ai(j) | = 0, sest maatriksil Ai(j) on i-s ja j-s rida u ¨hesugused. Samas i = j korral |Ai(j) | = |A|. Seega |Ai(j) | = |A|δij . (6.3) Arendame determinanti |Ai(j) | n¨ uu¨d j-nda rea j¨argi. Valemi (4.6) abil praegu saame |Ai(j) | = ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + . . . + ain Ajn . (6.4) Siin on vaja r˜ohutada, et iga i korral on j-nda rea elementide algebralised t¨aiendid u ¨hesugused, nimelt maatriksi A j-nda rea omad. V˜orreldes n¨ uu¨d valemeid (6.3) ja (6.4) ja kasutades (1.4), saame ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + . . . + ain Ajn = |A|δij , ∀ i, j ∈ Nn . (6.5) Lugejal palume t˜oestada, et kui kirjaldatud m˜ottek¨ aigud viime l¨abi j-nda
ma atriks i) ridade arvuga: A = aij , m × n, i =1, , m, j =1, , n B = bij , n × p, i =1, , n, j =1, , p A B = C, C = cij , m × p, i =1, , m, j =1, , p Ele mend i c i j s aame, kui korrutame maa triks i A i- nda rea ele mend id maa triks i B j -nda veeru vas tavate elementid ega j a s aadud korrutis ed liidame. b1 j cij = ai1 b1 j + ai 2 b2 j + + ain bnj , b2 j ai1 ai 2 ain . Ehk n cij = aik bkj k =1 bnj 1 4 0 1 N äid e A= B= 3 2 2 3 8 13 3 2 A B = B A =
ma atriks i) ridade arvuga: A aij , m n, i 1, , m, j 1, , n B bij , n p, i 1, , n, j 1, , p A B C, C cij , m p, i 1, , m, j 1, , p Ele mend i c i j s aame, kui korrutame maa triks i A i-nda rea ele mendid maatr iks i B j -nda veeru vas tavate elementid ega j a s aadud korrutis ed liidame. b1 j cij ai1 b1 j ai 2 b2 j ain bnj , b2 j ai1 ai 2 ain . Ehk n cij aik bkj k 1 bnj 1 4 0 1 N äid e A B 3 2 2 3 8 13 3 2 AB BA
(1) Siin rea i elemeid korrutatakse sama rea elementide alamdeterminantidega. Vaatleme, mis aga juhtub, kui korrutame mingi teise rea alamdeterminantidega. Lause. Determinandi mingi rea (veeru) elementide korrutiste summa mingi teise rea (veeru) elementide alamdeterminantidega on võrdne nulliga e. ak1 Ai1 + ak 2 Ai 2 + ... + akn Ain = 0, kui k i (2) Tõestus. Eeldame, et k i . Vaatleme maatriksi B, kus reas i paiknevad elemendid ak1 ,K, akn ning ülejäänud ridades maatriksi A elemendid. Rakendame eelmise paragrahvi teoreemi põhjal ja arendame maatriksi B determinandi rea i järgi: a11 a12 ... a1k ... a1n ... ... ... ... ... ... i ak1 a k 2 ... .a kk .. ..
Determinandid 2 Arendusteoreemid ja arendusvalemid 2.1 Kroneckeri su ¨ mbol Kroneckeri1 s¨ umboli ij defineerime valemiga 1, kui i = j ij = 0, kui i = j 2.2 Arendusteoreemid Teoreem 1. Olgu A ruutmaatriks ning Aij elemendi aij alamde- terminant. Siis ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + · · · + ain Ajn ij det A = a1i A1j + a2i A2j + · · · + ani Anj 2.3 Arendusvalemid V~otame arendusteoreemides j = i. Saame nn arendusvalemid ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain det A = a1i A1i + a2i A2i + · · · + ani Ani Esimene valem on determinandi arendus i-nda rea j¨argi ning tei- ne valem on determinandi arendus i-nda veeru j¨argi
PO2 Informatsiooni arhitektuuri määratlemine PO3 tehnoloogiliste arengusuundade määratlemine PO4 IT organisatsiooni ja suhtekorralduse määratlemine PO5 IT investeeringute juhtimine PO6 juhtimiseesmärkide ja suuniste kommunikeerimine PO7 inimeste juhtimine PO8 ühildavuse tagamine väliste nõudmistega PO9 riskide hindamine PO10 projektide juhtimine PO11 kvaliteedi juhtimine Omandamine & juurutamine AI1 automaatsete lahenduste identifitseerimine AI2 rakendustarkvara omandamine ja haldamine AI3 tehnoloogilise infrastruktuuri omandamine ja haldamine AI4 protseduuride väljatöötamine ja haldamine AI5 süsteemide installatsioon ja akrediteerimine AI6 muutuste haldamine 35 Guido Leibur COBIT framework 3 Tarne & tugi
Tõestus: B1, B2 - A pöördmaatriksid. B2*| AB1 = B1A = E ja AB2 = B2A = E|*B1 => B2AB1 = B2E = B2 ja AB1B2 = EB1 = B1 => B1 = B2 Ruutmaatriksil A = ||aij|| Rnxn leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui tema determinant ei võrdu nulliga. Tõestus: A-1 eksisteerib <=> |A| 0 => 1. A-1 eksisteerib => AA-1 = E => |AA-1| = |E| = 1 => |A| 0; 2. |A| 0; | A-1| = 1/|A| = |A|-1 <= eeldame, et |A| 0; näitame, et leidub pöördmaatriks. Kasutame determinantide teooria põhivalemeid. i = (ai1; ...; aij; ...; ain); Ai = (Ai1; ...; Ain); Aij = (-1)i+jMij (maatriksi A determinandi |A| elemendi aij alamdeterminant). Kehtis iAk = 0, kui ik ning |A|, kui i=k. Veendume, et A -1 = 1/|A| * ||Aij||. Tõepoolest, A*1/|A| * ||Aij|| = 1/|A|*maatriks(1 - n)*||A1; ...; An|| = 1/|A| maatriks(1A1 ... 1An - nA1 ... nAn) = 1/|A| maatriks(|A| 0 ... 0 - 0 ... |A|) = E ||A|E|| -> ridade ja veergude elementaarteisendused -> ||E|A -1|| ||A, B|| -> ..
= == 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Pöhiomadused: 1. ( A-1 )-1 = A. 2. ( AB )-1 = B-1A-1. 3. ( AT )-1 = ( A-1)T. 1 4. DA-1 = D A . Lineaarsed võrrandisüsteemid. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse süsteemi: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 ............................................ ai1 x1 + ai 2 x 2 + ... + ain x n = b1 .............................................. a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm , kus aik R süsteemi kordajad, xk R süsteemi tundmatud, bi R süsteemi vabaliikmed. x1 = 1 x = 2 2
T (A) = AT . 1.3 Maatriksite korrutamine Definitsioon 1.9 Kui maatriksi A veergude arv võrdub maatriksi B ridade arvuga, siis defineerime A ja B korrutise A · B selliselt, et korrutame maatriksi A i-nda rea elemendid maatriksi B j-inda veeru vastavate elementidega ning liidame saadud korrutised: n C = A·B, cij = aik ·bkj = (ai1 ·b1j +ai2 ·b2j +· · ·+ain ·bnj ). (1.7) k=1 Joonis: http://www.cmsoft.com.br/opencl-tutorial/case-study-matrix-multiplication/ Märkus 1.1 Maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne ehk üldjuhul (ka ruut- maatriksite korral) A · B = B · A. Olgu maatriksid A, B ja C sellist järku, et allpool toodud iga üksik tehe on teostatav. Siis maatriksite korrutamisel on järgmised omadused:
A ij = (-1)i + j Mij . Näiteks A 23 = - M 23 ( 2 + 3 = 5 , paarituarvuline ), A 24 = M24 (2 + 4=6 , paarisarvuline). 16. omadus( determinandi arendusteoreem) : Determinant võrdub suvalise rea (veeru) elementide ja nende elementide vastavate alamdeterminantide korrutiste summaga: determinandi D mistahes reanumbri i korral kehtib (arendis i-rea järgi) n D = aij Aij = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain j =1 ja mis tahes veerunumbri j korral (arendis j-veeru järgi) n D = aij Aij = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + + a nj Anj i =1 Näiteks kolmandat järku maatriksi determinandi võib arvutada nii (arendame, näiteks, esimese rea järgi): a11 a12 a13 a a 23 a a 23 a a 22
M.Latõnina Näiteks A 23 = - M 23 ( 2 + 3 = 5 , paarituarvuline ), A 24 = M24 (2 + 4=6 , paarisarvuline). 10. omadus( determinandi arendusteoreem) : Determinant võrdub suvalise rea (veeru) elementide ja nende elementide vastavate alamdeterminantide korrutiste summaga: determinandi D mistahes reanumbri i korral kehtib (arendis i-rea järgi) n D = aij Aij = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain j =1 ja mis tahes veerunumbri j korral (arendis j-veeru järgi) n D = aij Aij = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + + a nj Anj i =1 Näiteks kolmandat järku maatriksi determinandi võib arvutada nii (arendame, näiteks, esimese rea järgi): a11 a12 a13
. . , am} on ette antud vektorsüsteem ja 1, 2, . . . , m R on otsitavad, nimetatakse vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} poolt määratud vektorvõrrandiks. Iga sellist otsitavate väärtuste komplekti 1, 2, . . . , m, mille korral eelpooltoodud võrdus paika peab, nimetatakse selle vektorvõrrandi lahendiks. Vektorvõrrandi 0 lahend lahendikomplekt 1=0, 2=0... m =0 Vektorsüsteemi alamsüsteem Vektorsüsteemi {ai1 , ai2 , . . . , aik} nimetame vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} alamsüsteemiks. Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus (sõltumatus) Vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} nimetame lineaarselt sõltuvaks (lineaarselt sõltumatuks), kui vektorvõrrandil 1a1+ 2a2 + ... + mam on rohkem kui 1 lahend (on ainult 1 lahend) ?Tulemused lineaarse sõltuvuse kohta väikese elementide arvuga vektorsüsteemides
devad. Topoloogia T saadakse j¨argnevalt. K˜oigepealt peab topoloogiasse T kuuluma projektsiooni πj pidevuse t˜ottu iga Aj ∈ Tj ja j ∈ I korral hulk πj−1 (Aj ) = Aj × Xi = i∈I{j} = { (xi )i∈I | xj ∈ Aj ; xi ∈ Xi , kui i = j } kui lahtise hulga t¨aielik originaal. Et topoloogia T peab olema kinnine l˜oplike u ¨hisosade v˜otmise suhtes, siis iga n ∈ N; i1 , . . . , in ∈ I ja Ai1 ∈ Ti1 , . . . , Ain ∈ Tin korral peavad topoloogiasse T kuuluma ka hulgad πi−1 1 (Ai1 ) ∩ . . . ∩ πi−1 n (Ain ) = 5.5 Otsekorrutis 51 = Ai1 × . . . × Ain × Xi =
Maatriksit, millel on m rida ja n veergu, nimetatakse m × n dimensionaalseks ehk m × n mõõtmeliseks maatriksiks. Sellise maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n ... ... ... ... ... ... ai1 ai2 ... aij ... ain ... ... ... ... ... ... am1 am2 ... amj ... amn Maatriksi dimensiooni märgitakse ka tähekombinatsiooniga dim. Näiteks, kui dim A = 2 × 3, siis maatriksil A on 2 rida ja 3 veergu. Kui ridade arv ja veergude arv on võrdsed, m = n, on tegemist ruutmaatriksiga. Näiteks järgmised maatriksid on ruutmaatriksid:
".%%)1*
& '') 9:$%"&&(MM
!GTT$E&P&$"T$EU$%3N&& F($";@.%-&!;7(G%%)1:
P
& U$%3&&K( F4HI4JK%%),)
&&E+&@-<%?<(&5B%%*1
!"#$%"&'()%*+,-.)%/0+&(),2&''O F;(58?"#L%48#@87%E&5%M;(-"(.%
#8?@587%5(8$"#(..%%:1+:= % N&!&%M8;"(#.%%'<(2&&
#8?@587%.(7(-?"&#%%>A+*)2%*>2%% & '''
% *A &587%.?8L(%%)1:2%)1>2%)1*
6:AI1:/N>416&7B.06A.7A7&&?, &5$"#87%5(8.&#"#L%%AA+)/)
E0:6=01AC:/&;7&V14N!:5646&&,'
#(($%%)> X+V+%D&&'(-
#(($+5($@-?"&#%?<(&5B%%):+)>2%% X:L01A2&T09@4I1&&(
annaabi.ee 
