Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
§1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis
Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse
m-mõõtmeliseks ruumiks.
Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m
vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1
m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m .
Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks .
Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu r > 0 .
{ }
Def. Hulka B( A, r ) = P R m : d (P, A) Def. Hulka B ( A, r ) = {P R m : d (P, A) r} nimetatakse kinniseks keraks ruumis R m .
Punkti A nimetatakse kera keskpunktiks ning reaalarvu r kera raadiuseks .
R 1 = R - arvsirge d (P, Q ) = x - y B( A, r ) = (a - r , a + r ) - vahemik
R 2 - koordinaattasand d (P , Q ) = (x1 - y1 )2 + (x 2 - y 2 )2 B( A, r ) = {P R 2 : d 2 (P, A) Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu > 0 .
Def. Punkti A R m ümbruseks nimetatakse hulka U ( A) = B( A, ) .
Öeldakse ka punkti -ümbrus ning kirjutatakse U ( A) .
Def. Punkti P R m nimetatakse hulga D R m sisepunktiks, kui leidub ümbrus U (P ) D .
Def. Punkti Q R m nimetatakse hulga D R m rajapunktiks, kui iga selle punkti ümbrus
U (Q ) sisaldab nii hulka D kuuluvaid kui ka sinna mittekuuluvaid punkte.
Def. Hulga D R m rajaks D nimetatakse selle hulga kõigi rajapunktide hulka.
Raja nimetatakse sirgel rajapunktideks, tasandil rajajooneks ning ruumis rajapinnaks.
Def. Hulka D R m nimetatakse lahtiseks, kui kõik tema punktid on sisepunktid.
Def. Hulka D R m nimetatakse kinniseks, kui see hulk sisaldab kõiki oma rajapunkte.
Näited: 1) D = (a, b ) = {x : a lahtine 2) D = [a, b] = {x : a x b} D = {a, b} D hulk D on kinnine 3) D = [a, b ) = {x : a x 1 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2. Mitme muutuja (m-muutuja) funktsiooni mõiste
Def. Kui hulga D R m igale punktile P = ( x1 ,..., x m ) on vastavusse seatud kindel reaalarv z ,
siis öeldakse, et hulgal D on määratud m-muutuja funktsioon f .
Kirjutame: z = f (P ) või z = f ( x1 ,..., x m )
Hulka D nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks.
Funktsiooni z = f (P ) loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse punktide P hulka, mille
korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet.
Def. M-muutuja funktsiooni f graafikuks nimetatakse hulka {
( f ) = ( x1 ,..., x m , z ) R m +1 : ( x1 ,..., x m ) R m , z = f ( x1 ,..., x m ) . } 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus
Olgu antud funktsioon z = f (P ) = f (x1 ,..., x m ) P D ja punkt A D D .
Def. Arvu nimetatakse funktsiooni z = f (P ) piirväärtuseks punktis A , kui iga arvu > 0
korral leidub niisugune arv ( ) > 0 nii, et kehtib võrratus
f (P ) - Kirjutame: lim f (P ) = või lim f (x1 ,..., x m ) = või f (P ) kui P A P A x1 ,..., xm a1 ,..., am
4. Mitme muutuja funktsiooni pidevus
Olgu antud funktsioon z = f (P ) P D R m ja punkt A D D .
Def. Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse pidevaks punktis A , kui lim f (P ) = f ( A) ning P A
pidevaks hulgas D , kui ta on pidev selles hulga igas punktis P D .
Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse pidevaks kõikjal, kui ta on pidev hulgas R m .
Def. Mitme muutuja funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest
rakendades lõpliku arvu aritmeetilisi tehteid ja liitfunktsiooni moodustamisi, nimetatakse
mitme muutuja elementaarfunktsiooniks.
Väide. Kõik mitme muutuja elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad .
Def. Punkti A D D nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks, kui funktsioon pole pidev
n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille
Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y) täisdiferentsiaaliks.
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2
(lk 4-7) 5. Telgede suhtes regulaarsed piirkonnad. Piirkond D on koordinaattelje suhtes regulaarne kui ta on regulaarne nii x-telje kui ka y-telje suhtes. (NB! kirjutan ainult y- telje suhtes sest, x-telje suhtes on regulaarsus analoogne) Piirkonda D nim. regulaarseks y-telje suhtes, kui iga sirge, mis on paraleelne y-teljega, lõikab piirkonna D rajajoont maksimaalselt kahes punktis. Kui D on kinnine y-telje suhtes regulaarne piirkond , siis leiduvad arvud a ja b ning funktsioonid 1(x) ja 2(x) nii, et kehtivad seosed ab ja 1(x) 2(x) ning piirkond D on antud võrratusega D: a x b, 1(x) y 2(x) 6. Kahekordse integraali teisendamine kaksikintegraaliks koordinaattelje suhtes regulaarse piirkonna korral. Tuletada vastav valem. (lk 8-9) 7. Ruumala arvutamine kahekordse integraali abil. Olgu antud funktsioon (x,y) 0. Vaatleme pinna z = (x,y) ja tasandi z=0 vahel paiknevat keha Q ruumalaga V
3) D=D1D2, kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte i =1 c Olgu piirkond D regulaarne y-telje suhtes. Siis leiduvad arvud a ja b, kus i =1 cab, ja funktsioonid (x) (x), nii et 1 2 i =piirkond
MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2
un=f(n), siis positiivne rida u ( n) ja päratu integraal f ( x ) dx n=0 a koonduvad (hajuvad) samaaegselt Astmerida Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f n(x)=anxn, kujul a ( n ) ( x-c )n=a ( 0 ) + a ( 1 ) ( x-c)+a ( 2 ) (x-c)2+ ...+a ( m ) (x-c ) m+... n=0 Astmerea Astmerea koonduvusvahemikuks nimetatakse vahemikku (a-R, a+R), kus koonduvusraadius suurus R on koonduvusraadius Astmerea Astmerea koonduvuspiirkonnaks nimetatakse hulka X={x R: rida koonduvuspiirkond a ( n ) ( x-c )n koondub}
Kõik kommentaarid