Kui 0 AB k =1 F=(X(x; y; z); Y(x; y; z); Z(x; y; z)) siis X ( x; y; z )dx +Y ( x; y; z )dy + z ( x; y; z )dz . Ilmutatud AB b kujul: (joon) AB: y=y(x); a x b; dy=ydx Xdx + Ydy = [ X ( x; y ( x )) + Y ( x; y ( x )) y]dx AB a Param. kujul: AB:x=x(t); y=y(t), t , dx=xdt; dy=ydt Xdx + Ydy = [ X ( x(t ); y (t )) x + Y ( x(t ); y (t ) y ]dt . Ruumiline joon: AB:x=x(t); y=y(t); z=z(t); AB t Xdx + Ydy + Zdz = [ X ( x (t ); y (t ); z (t )) x + Y ( x (t ); y (t ); z (t ) y + Z ( x (t ); y (t ); z (t )) z ]dt
1x+2y+3z on kõrgemat järku l.k.s. kui Def: Kui f-ni täismuut avaldub kujul * (kahe liidetava summana) millest esimene on lineaarne x, y ja z suhtes ja teine liidetav on kõrgemat järku l.k.s. x, y, z suhtes siis seda esimest liidetavat nim kolme muutuja f-ni täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse d=/xx+/yy+/zz. Kui =x siis /x=1; /y=0; /z=0 ja dx=1x+0y+0z=x Sõltumatu muutuja x suhtes langevad täisdif ja x-muut kokku. =y(x) ning seega dy(z)=y(z) d=/ xdx+/ ydy+/ zdz. Kui z=(x; y) siis dz=z/xdx+z/ydy. Nüüd kirjutada avaldise * kahe muutuja f-ni jaoks z=z/xx+z/yy+1x+2y; 1x+2y=0 siis zz/xx+z/yy (zdz) ja (x+x; y+y)-(x; y)z/xx+z/yy ja saab valemi: (x+x; y+y) (x; y) +z/ x x+z/ y y Ilmutuamata f-ni osatuletis F(x; y)=0 (1) F-n on pidev ja on olemas pidevad osatuletised Fx; Fy ja et Fy0. F(x+x; y+y)=0 (2) (2)-(1)=F(x+x; y+y)- F(x; y)=0. F=F/xx+F/yy+1x+2y=0. (F/y+2)y=-(F/x+1)x/:(F/y+2)x eeldusel et
.y)N(x0,y)dy=0 või (x0.. .x)M(x,y0)dx+(y0..y)N(x,y)dy=0 10)Tuletise suhtes ilmutamata DV* F(x,y,y')=0*1)y'=f(x,y) või kui ei saa, siis... *2)y=g(x,y')}*3)x=h(y,y')}Lahendame parametriseerides. *Parametriseerimine: F(x,y,y')=0-- >y=g(x,y')*{}x=x*{}y'=p => dy/dx=p => dy=pdx *{}y=g(x,p) => dy=x/ydx+g/pdp}}=>pdx=g/xdx+g/pdp , (p-g/x)dx-g/pdp=0 * Lahendame p suhtes: *{x=f(p,C) {y=g(f(p,C),p) }} => y=g(x,y(x)), kus p=y(x)* Analoogiline teisendus: x=h(y,y') * {y=y*{y'=p => dy=pdx => dy= p(h/ydy+h/pdp) *{x=h(y,p) => dx=h/ydy+h/pdp* Parametriseerimise üldskeem: F(x,y,y')= 0 <->F(x,y,z)=0 *{x=f(u,v) dx =f/udu+fi/vdv*{y=y(u,v) -> dy=y/udu+y/vdv-> y/udu+y/vdv=X(u,v)(f/udu+f/vdv)*{y'=X(u,v) dy=X(u,v)dx*[y/u-X(u,v)f/u]du+[y/v- X(u,v)f/v]dv=0 ehk M(u,v)du+N(u,v)dv=0* Lahendame u või v suhtes: * Vastuseks x,y paar, sõltuvana ainult 1-st parameetrist.NÄIDE: x=h(y,y')* {y=y*{y'=p => dy/dx=p dy=pdx => dx=dy/p *{x=h(y,p) => dx=
y=y(s) Kui eksisteerivad integraalid f(P)dS ja g(P)dS ning f(P) <= g(P), P c D, siis f(P)dS <= g(P)dS. z=z(s) Kui eksisteerib integraal f(P)dS ning leiduvad konstandid m ja M, nii et m<= f(P) <= M, P c D, siis mS D <= f(P)dS s c [a,b], ning X, Y ja Z on pidevad funktsioonid, siis Xdx + Ydy + Zdz = ab(Xcos 1 + Ycos 2 + Zcos 3)ds kus cos 1, cos 2 ja <= MSD. cos 3 on vektori dr = (dx,dy,dz) suunakoosinused. Sirgestuva joone korral kehtivad järgmised väited
∫ M ( x ) dx +∫ N ( y ) dy =C y=v ( x ) u ( x )=e −∫ P ( x ) dx ¿ xdx+ ydy=0 ∫ x dx+∫ y dy=C Kõrgemat järku DV Sümmeetrilisel kujul antud eralduvate muutujatega (n) DV: M1(x)M2(y)dx + N1(x)N2(y)dy = 0 Lihtsam n- järku DV y =f (x) 1) Eraldada muutujad
AB 3) Vedeliku stabiilne tasandiline liikumine 4) Gaasi poolt neelatav soojus 7 5) Voolu ja magneti vaheline toime Seos I ja II l joonintegraalide vahel · · ·2 · 2 Xdx + Ydy = ( X x dt + Y y dt ) = ( X cos + Y sin ) AB II - liiki . joon int . AB AB x + y = ( X cos + Y sin )ds AB I - liiki . joon int · ·
5 dy ex 10. Lahendada diferentsiaalv~orrand y = , kui y(0) = 1 (2p). dx y Lahendus. dy ex = dx y ydy = ex dx ydy = ex dx y2 = ex + C1 2 y2 = 2ex + 2C1 = 2ex + C y = ± 2ex + C
, u1>u2>u3>... n . Xdx +Ydy +Zdz x0 y0 , . ,
19 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 4. Üldine teist liiki joonintegraal. Greeni valem Def. Funktsioonide X = X ( x, y ) ja Y = Y ( x, y ) (x, y ) D üldiseks teist liiki joonintegraaliks nimetatakse teist liiki joonintegraalide summat Xdx + Ydy = Xdx + Ydy . AB AB AB Def. Piirkonda D , mis on nii x-telje kui ka y-telje sihis kõvertrapets, nimetatakse lihtsaks piirkonnaks. Teoreem 9 (Greeni valem). Kui funktsioonid X (x, y ) , Y ( x, y ) , X y , Yx on pidevad lihtsas piirkonnas D , mille rajajoon on L , siis kehtib valem Xdx + Ydy = (Y
Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx Xy)dxdy, kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus: Kõigepealt näitame, et: dx= - ydxdy 1. Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st D={(x,y)} (a x b) ( (x) (x))}. Rajajoont läbime positiivses suunas. Saame: dx = dx + dx + dx + dx = = (x, (x))dx + 0 + (x,(x))dx + 0 = = - X(x,(x)) X(x, (x)))dx. Siis dx = - ydxdy. 2
Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone Г osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont Г ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Г on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx – Xy)dxdy, kusjuures rajajoont Г läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus: Kõigepealt näitame, et: dx= - ydxdy 1. Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st D={(x,y)} ( ׀a x b) ˄ ( (x) (x))}. Rajajoont Г läbime positiivses suunas. Saame: dx = dx + dx + dx + dx =
yC=(1/mAB)ʃAByp(x,y,z)ds zC=(1/mAB)ʃABzp(x,y,z)ds Tasandilise kujundi pindala: Kui piirkond D on märgitud joonega L, mis antud võrrnditega x=x(t) ja y=y(t), tЄ[α;β], siis pindala saab valemitest: S=§xdy ; S=-§ydx ; S=1/2§xdy-ydx Muutuva jõu poolt kõverjoonel tehtud töö: Liikugu punkt P(x,y,z) massiga m mööda joont AB jõu F toimel, mis selle punkti liikumisel muutub nii suuruse kui sihi poolest. F=[X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z)] Jõu F poolt tehtud töö: W=mʃABXdx+Ydy+Zdz 15. I liiki pindintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide Olgu R3 antud pind Ω(pind, kus igas pt-s on võimalik leida puutujatasand ja normaal) Jagame pinna Ω n siledaks osaks Δσ1, Δσ2, … Δσn, kus ΔSi tähistab tüki Δσi pindala. Olgu pinnal antud funktsioon f(P)=f(x,y,z). Moodustame integraalsumma: VALEM, kus PiЄΔσi. Olgu λi osapiirkonna Δσi diameeter. DEF. Kui sellel summal on olemas maxλi→0 korral piirväärtus sõltumata
Arvutame kõigepealt sisemise integraali 1 2x x 2 xy dy. 1 2x x 2 2 x Selles integraalis on integreerimismuutujaks y, kusjuures muutujat x vaatleme konstandina 1 2x x 2 xy x 1 2x x 2 x y2 1 2x x 2 dy ydy 2 1 2x x2 2 x 2 x 1 2x x2 2 x 1 2x x 2 2 2 x 2 1 2x x 1 2x x2
täisdiferentsiaaliks. dz= z x x + z y y = z x dx + z y dy . Täisdiferentsiaali kasutatakse näiteks ' ' ' ' ligikaudsel arvutamisel. Osatuletise kasutamine ligikaudsel arvutamisel- asendan ligikaudsed arvud arvudega, millega on kergem tehteid teostada ning erinevused panen kirja muuduna. Seejärel kasutan valemit. z x' x + z 'y y = z x' dx + z 'y dy . Ja võtan arvesse asjaolu , et xdx ja ydy. Gradiendi mõiste, tema tähendus- Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetatakse vektorit ' ' grad z = ( z x ; z y ) . Kehtib analoogselt ka kolme ja enama sõltumatu muutuja korral. Konkreetses punktis saame gradiendiks arvvektori, mis näitab funktsiooni kõige kiirema kasvu suunda(mis suunas liikudes jõuame nn. paremale nivoojoonele), gradient on risti nivoojoonega. Funktsiooni tuletis ühikvektori suunas- Funktsiooni z = f(x, y) tuletiseks ühikvektori
8 Järeldusalgoritmi lihtsustatud erikujud 17 R y max (32) r R yF ( y)dy r =1 r ( y) ydy y min r Cr S r y = Ycog ( F ( y )) = Y = = r =1 , F ( y)dy
2 grad E p = -i kx = -Fel . Tsentraalse raskusjõu väljas kasutame potentsiaalse energia jaoks valemit (5.30a). Sellest koordinaadi x järgi tuletist arvutades kasutame liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja: E p dE p r = . x dr x Et r x r 2 = x 2 + y 2 + z 2 rdr = xdx + ydy + zdz = . x r Teiselt poolt E p GMm = . x r2 Kolme viimast valemit arvutades saame raskusjõu avaldise ( ) GMm GMm Fg = - 3 i x + j y + k z = - 3 r , r r 10 tema moodul võrdub GMm
funktsiooni väärtust y ja võrdub nulliga. F(x,y)=0 järelikult väikeste -de korral kehtib Siis leidub vähemalt üks selline punkt c (a,b), et Võtame mõlema poole tuletise, eeldades, et y on x-i funktsioon. ydy ; y=f(x+ x)-f(x) ; dy=y'(x)* x=f(x)* x f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a) Lagrange'i või lõpliku muudu valem X2y+sinxy=0 f(x+ x)-f(x)f'(x)*x ; f(x+ x)f(x)+f'(x)*x Tõestus: Vaatleme järgmist funktsiooni
L a Kaks viimast võrdust kokku liites saame b F ( x, y )dx + G ( x, y )dy = [ F ((t ),(t )) ' (t ) + G ((t ),(t )) ' (t )]dt L a 27. Kahekordse- ja joonintegraali vaheline seos. Greeni valem Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greeni valem lXdx+Ydy=ll(Yx-Xy)dxdy=ll(dY/dX-dX/dY)dxdy D D kusjuures piirkonna D rajajoont läbitakse positiivses suunas, st liikudes mööda rajajoont jääb piirkond D vasakule. Joonintegraal tuleb võtta positiivses suunas. Olgu xy-tasandil antud regulaarne piirkond D, mis on piiratud kinnise kontuuriga L. Olgu piirkonnas D antud funktsioonid F ja G. Leiduvad arvud ab, ja funktsioonid f1(x)f2(x), nii et piirkond D on antud võrratustega axb ja f1(x)yf2(x).
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005 4. Tuletada Maa ellipsoidi meridiaani raadiuse valem. dx dx Jooniselt saame Md ,siit avaldades M sin d sin Loeme koordinaatide alguse Maa keskpunktis olevaks ja kirjutame ellipsi võrrandi kanoonilisel kujul: x2 y 2 2 xdx 2 ydy dy b2 x 1 Diferentseerides saame 2 0 ,ning a 2 b2 a2 b dx a 2 y dy b2 x b2 x Jooniselt cot ,millest cot 2 ,siit y 2 tan dx a y a x 2 x b tan
OH#,-L ?###
|F##3,i#z
:pYU##d#{#yJZJbn#
,6#fU{t{H##pF#A#wOaS#,rLp##s#
%B#?J##VH!-nc+0,L|#{p
W}OQK*#####due*csq9X6#z~#(_P###-
`Bgs##or(#;#Ve[Pd'## #=#U|#q
>#dc#c#]#>+Fr?#hgq_9#}Dg{VdCu
$V#gBq#p 0 SES7hJ c#&
%w=G4A#a76GOiL##@d
c#=~t#gF#o7^=nZ.k- yi$o$rEG|##:.#$
+#9# V6#@M'9#R(d#H')#`#7#
NW,F|.I@-BK###*Y#U1#e[E#
∂E p r r r grad E p = − i = −i kx = − Fel . ∂x Tsentraalse raskusjõu väljas kasutame potentsiaalse energia jaoks valemit (5.30a). Sellest koordinaadi x järgi tuletist arvutades kasutame liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja: ∂E p dE p ∂r = . ∂x dr ∂x Et ∂r x r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ⇒ rdr = xdx + ydy + zdz ⇒ = . ∂x r Arvutades valemist (5.30a) tuletise kauguse r järgi, saame dE p GMm = . dr r2 Kolme viimast valemit arvutades saame raskusjõu avaldise ( ) r GMm r r r GMm r Fg = − 3 i x + j y + k z = − 3 r , r r tema moodul võrdub GMm Fg = 2 , r mis langeb kokku Newtoni gravitatsiooniseadusega. Märkus
annaabi.ee 
