10 32 11 32 12 42 13 46 14 47 15 47 16 48 17 53 18 68 19 70 20 75 21 75 22 79 23 94 24 96 25 99 5.3) 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 10) i xi yi x-xkesk y-ykesk (x-xkesk)2 1 4.3 4.6 1.22 1.44 1.4884 2 2.8 0.7 -0.28 -2.46 0.0784 3 2.2 0.4 -0.88 -2.76 0.7744 4 4.9 8.8 1.82 5.64 3.3124 5 1
Seeriate arvu järgi ( Ns = 14 ) => H0 Käänupunktide arvu järgi (p = 17) => H0 Kuna kõik võrratused kehtivad, võib aegrea mediaankriteeriumi järgi ja käänupunktide kriteeriumi järgi lugeda juhuslikuks. Osa B 10. Leida x ja y seose jaoks korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur. Kontrollida x ja y korreleerimatust t-statistiku ja z-statistiku abil, võttes olulisuse nivooks a = 0.05. (t-statistik on 3,1824 ja z-statisik on 1,9602) i xi yi x-xkesk y-ykesk (x- (y- (x-xkesk)(y-ykesk) xi*yi xkesk)2 ykesk)2 1 5,1 15,3 2,06 6,24 4,24 38,93 12,85 78,03 2 2,8 6,9 -0,24 -2,16 0,06 4,67 0,52 19,32 3 1,1 7,2 -1,94 -1,86 3,76 3,46 3,61 7,92
Käänupitde arvu järgi (p = 20) => H0: 20 = p > (2(N - 2) 1,96 (1,6 N - 2,9) ) / 3 11 Aegrida käänupunktide kriteeriumi järgi saab lugeda juhuslikuks, sest võrratus kehtib. OSA B 10. Valimi B1 ja B2 korrelatsioonitegur ja regresioonimudel koos statistikutega t ja z (x- (y- (x-xkesk)(y- i x y x-xkesk y-ykesk xkesk)^2 ykesk)^2 ykesk) 1 0,8 2,7 -2,08 -4,12 4,3264 16,9744 8,5696 2 4,9 14,4 2,02 7,58 4,0804 57,4564 15,3116 3 1,7 2,5 -1,18 -4,32 1,3924 18,6624 5,0976 4 3,8 9,4 0,92 2,58 0,8464 6,6564 2,3736
47 + 75 68 + 75 48 + k 79 46 - k 94 75 + 96 79 + 99 Käänupunkte ÜL 10. i 1 2 3 4 5 xi 1,2 4,3 4,9 2,8 2,2 yi 1,3 4,6 8,8 0,7 0,4 i x y x-xkesk y-ykesk 1 1,2 1,3 -1,88 -1,86 2 4,3 4,6 1,22 1,44 3 4,9 8,8 1,82 5,64 4 2,8 0,7 -0,28 -2,46 5 2,2 0,4 -0,88 -2,76 keskväärtused 3,08 3,16 Korrelatsioon 0,8608074817 (x-xkesk)^2(y-ykesk)^2(x-xkesk)(y-ykesk) 3,5344 3,4596 3,4968
B2: Korduskatsete sari dispersiooni leidmiseks (mahuga w = 7) 2,7 3,3 2 6,3 4,6 3,9 3 10. Leida x ja y seose jaoks korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur. Kontrollida x ja y korreleerimatust t-statistiku ja z-statistiku abil, võttes olulisuse nivooks α = 0,05. (yi- i xi yi xi-xkesk yi-ykesk (xi-xkesk)2 ykesk)2 (xi-xkesk)(yi-ykesk) 1 2 3,5 -1 1,4 1 1,96 -1,4 2 4 0,1 1 -2 1 4 -2 3 3 1,2 0 -0,9 0 0,81 0 4 1 5,5 -2 3,4 4 11,56 -6,8
(2(N - 2) 1,96 (1,6 N - 2,9) ) / 3 11 Kuna kõik võrratused kehtivad, võib aegrea mediaankriteeriumi järgi ja käänupunktide kriteeriumi järgi lugeda juhuslikuks. Osa B 10. Leida x ja y seose jaoks korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur. Kontrollida t- statistiku ja z-statistiku abil, olulisuse nivoo = 0,05. (x- (y- x- y- xkesk)^ ykesk)^ (x-xkesk)(y- i x y xkesk ykesk 2 2 ykesk) 1 1,2 1,3 -1,88 -1,86 3,5344 3,4596 3,4968 2 4,3 4,6 1,22 1,44 1,4884 2,0736 1,7568 3 4,9 8,8 1,82 5,64 3,3124 31,8096 10,2648 4 2,8 0,7 -0,28 -2,46 0,0784 6,0516 0,6888
X2KR,parem=47,0 17,0 < 75,38 > 47,0 KR 2 ,vasak < EMP < KR , parem põhihüpotees ei kehti, H 1 : 2 2 2 800 , st 800 ei ole antud valimi korral tõene dispersioon. 4. Punkt 1 noutud hinnangud grupeeritud valemile, gruppide arv k=7, samm h=const ( x max - xmin ) h= k h = (98-0)/7=14 Tabel 2. Grupeeringud interval k l xkesk ni ni*xkesk ni*xkesk^2 ni/n 0,21666 1 0-14 6,46 13 83,98 542,5108 7 0,16666 2 14-28 22,3 10 223 4972,9 7 3 28-42 37,8 6 226,8 8573,04 0,1 0,08333
55 56 56 69 71 71 80 84 92 33 69 55 92 11 12 5 71 55 B1 i 1 2 3 4 5 xi 0,8 4,9 1,7 3,8 3,2 yi 2,7 14,4 2,5 9,4 5,1 B2 0,6 3,4 4,1 0,2 1,4 2,8 1,8 xkesk 2,88 Vx 10,75 4,3264 4,0804 1,3924 0,8464 0,1024 ykesk 6,82 mean variance stdev b usaldusvahemik b1 2,87 0,20 0,4420 0,4837 2,38 3,35 b1 > b => oluline b0 -1,43 2,04 1,4283 1,5631 -3,00 0,13 b0 < b => oluline
võrdseid) väärtusi on variatsioonreas 25% d. Kvartiilid on iseenesest asendikeskmised, mis iseloomustavad tunnuse paiknevust. Alumise ja ülemise kvartiili vahele jäävad pooled d. Kvartiilid on iseenesest asendikeskmised, mis iseloomustavad tunnuse paiknevust. Alumise ja ülemise kvartiili vahele jäävad pooled äht sigma).(dispersio - lad. keeles hajumine). a suurem on tunnuse väärtuste hajuvus. Tavaliselt üle poole tunnuse väärtustest paiknevad lõigus [ x kesk - , xkesk + ] s.t üle poole tun s2 s 5,205444 27,80972 5,273492 0,985763 0,997301 0,99865 61,66177 3902,231 62,46784 e. Suure kogumi korral on mediaaniks statistiliste andmete 50% punkt. mise kvartiili vahele jäävad pooled tunnuse väärtustest. Kvartiilide erinevus näitab tunnuse hajuvust (st kvartiilihaare on ühtlasi hajuvuse
Arvutused (W 3 - W 2) x100% Toorrasva sisaldust X arvutatakse valemiga: X = , kus W1 W1-uuritava proovi mass, g W2-tühja kaalutopsi mass, g W3-topsi mass koos toorrasvaga, g (74,79 - 74,03) X1 = = 27,05% 2,81 (72,43 - 71,63) X2= = 27,97% 2,86 27,05 + 27,97 Xkesk = = 27,51% 2 Pakendil oli märgitud rasvaprotsendiks 24g/100g tootes. Kokkuvõte Katsete tulemusel saadi pakendil olevast numbrist suhteliselt erinev number. Selle põhjuseks võib lugeda mitmeid faktoreid. Võis mõjutada see, et uurisin vaid ligikaudu 3g toodet, kui tootja analüüsis 100g. Samuti võis ainesse sattuda liigne niiskus. Otsustavaks võis osutuda ka mitte piisav heksaani väljaaurustamine
15,97 = 0,95 3 4 5 6 ül10 xi yi (xi-x)^2 3,1 12,1 0,0036 4,9 23,9 3,4596 4,2 16,8 1,3456 1,9 9,2 1,2996 1,1 7,8 3,7636 3,04 13,96 9,872 keskmine keskmine Kokku i Xi Yi Xi-Xkesk Yi-Ykesk (Xi-Xkesk)2 1 4,3 4,6 7,38 1,44 54,46 2 2,8 0,7 5,88 -2,46 34,57 3 2,2 0,4 5,28 -2,76 27,88 4 4,9 8,8 7,98 5,64 63,68 5 1,2 1,3 4,28 -1,86 18,32
5,0 0,2 3,0 1,2 2,0 3,5 Korduskatsete sari dispersiooni määramiseks mahuga 7 arvu. Valim B2, w = 7 3,3 2,0 4,6 3,9 3,0 2,7 6,3 10. Küsimus Leida x ja y seose jaoks korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur. Kontrollida x ja y korreleerimatust t- statistiku ja z-statistiku abil, võttes olulisuse nivooks = 0.05. Leian mudeli parameetrite hinnangud (t-statistik on 3,1824 ja z-statisik on 1,9602) i xi yi xi-xkesk yi-ykesk (xi-xkesk)2 (yi-ykesk)2 (xi-xkesk)(y-ykesk) xi*yi 1 4 0,1 1 -2 1 4 -2 0,4 2 1 5,5 -2 3,4 4 11,56 -6,8 5,5 3 5 0,2 2 -1,9 4 3,61 -3,8 1
17 53 0,68 17 70 18 68 0,72 18 75 19 70 0,76 19 79 20 75 0,8 20 94 21 75 0,84 21 96 22 79 0,88 99 23 94 0,92 xkesk 46,20 24 96 0,96 Sx2 867,9167 25 99 1 Sx 29,46043 46,2 Me 46 46,2 R 99 36,415 t, N-1 1,711 13,843 Xkesk usal 36,11934
2229,72 95 1 95 9025 84 2325,16 96 1 96 9216 84 2522,04 98 1 98 9604 84 49942,1 60 2867 186937 84 1. Keskväärtuse, dispersiooni, standarthälbe, mediaani, moodi ja haarde hinnangud Keskväärtus xkesk =(xini)/n=2867/60=47,78 Dispersioon Dx=(ni(xi-xk)2)/n=49942,184/60=832,4 Standarthälbe S=Dx=832,4=28,85 Scor=(n/(n-1))*S)= =(60/(60-1))*28,85=29,09 Me=(45+46)/2=45,5 Mo=71 esines 3 korda Haare xmax-xmin=98-0=98 2. Keskväärtuse, dispersiooni ja standardhälbe usaldusvahemikud eeldusel, et põhikogumi jaotuseks on normaaljaotus ja olulisuse nivooks P = 95 %. Tõene keskväärtus on =0,05, P=95% korral t=1,96 : 47,78-1,96(29,09/60) < < 47,78+1,96(29,09/60) 40,41 < < 55,14
10.4 Kontrollida mudeli sobivust d = 1- = = 0,98 = = = 46,92 = = = 2740,86 Järeldus: Mudel sobib, sest d 0,7 10.5 Leida mudeli poolt prognoositava väljundi usaldusvahemikud, kui y=min, y=kesk ja y=max. 10.6 Osa D. Juhuslike suuruste modelleerimine 11. Monte-Carlo meetod Keskaväärtus Xkesk= 53,07 Standardhälve Sc= 26,39 = = + X -6 0.53;0.82;0.69;0.79;0.77;0.47;0.46;0.25;0.29;0.16;0.10;0.38 5.86 X1=5,86-6=-0.14 Z1=25,44*(-0,14)+47,12=43,55 0.31;0.72;0.71;0.61;0.65;0.32;0.24,0.34;0.10;0.35;0.17;0.73;0 5,26 X2=5,26-6=-0,75 Z2=25,44*(-0,75)+47,13= 28.05 0,70;0.43;0.55;0.35;0.54;0.46;0.23;0.02;0.70;00.25;0.12;0.16 4.52 X3=4,52-6=-1,48 Z3=25,44*(-1,48)+47,13=9,47 0,30;0.76;0.28;0.61;0.93;0.89;0.29;0.33;0.53;0.84;0.48;0.71 6,95 X4=6,95-6=0,95 Y4=25,44*(-0,28)+47,13=71,29 0,20;0
7 18,067 18,137 18,029 18,06 18,041 8 18,151 18,09 18,116 18,083 18,102 9 18,096 18,063 18,143 18,131 18,16 10 18,086 18,166 18,089 18,125 18,117 SUM 181,113 180,917 180,94 181,053 181,012 Keskmise hälbe B11 B12 B13 B14 B15 18,1113 18,0917 18,094 18,1053 18,1012 (xi-xkesk)^2 0,00011 0,000081 0,00004489 0,00002116 0,00000025 Leian B keskväärtuseintervallhä Keskmine hälve 18,1007 Min 18,027 Studenti tabelist kriitiline t (=0, Standardhälve 0,00720639 Max 18,166 B intervallhälve tõenäosustasemel P=0.95 Normaaljaotusele vastav mõõtetulemus
Ymin=1 => Y^min=0,1 10 Ymax=50 => Y^max=84,8 Ykesk=25,2 1 2 S yi = 2 2 + X i n X i 2 2 S y min = 1,55 2 S y max = 1,43 1 S ykesk = 2 = 0,48 2 n Usalduspiirkond: Y^I +/- Syi2t(k;) t(k;)=2,776 xmin=> 0,1+/-4,30 xmax==> 48,8+/-3,97 xkesk=25,2+/-1,33 Osa D juhuslike suuruste modelleerimine 11 11. Monte-Carlo meetod F(x)=ri Xi=(i=1....12) ri-6 Z1 = Scor * xi+ x 0,91 0,49 0,91 0,45 0,23 0,68 0,74 0,92 0,76 0,86 0,46 0,16 7,57 7,57 Xi=(i=1....12) ri-6=1,57 Z1=27,68 * 1,57+52,12= 95,57 0,69 0,07 0,49 0,41 0,38 0,87 0,63 0,79 0,19 0,76 0,35 0,58 6,21 Xi=(i=1....12) ri-6=0,21 Z2=27,68 * 0,21+52,12= 57,93
muutub ühe ühiku võrra. Üldine võte regressioonikordaja tõlgendamiseks diferentseerida regressioonimudeli mõlemaid pooli a 1=dY/dX Kordaja näitab ligikaudselt, mitu ühikut muutub keskmiselt Y, kui muutuja X muutub ühe ühiku võrra. · Kui kordaja on positiivne, siis X kasvades muutuja Y kasvab. · Kui kordaja on aga negatiivne, siis X kasvades muutuja Y kahaneb. Lineaarse mudeli keskmine elastsus E=a1*Xkesk/Ykesk · Xkesk ja Ykesk on vastavalt muutujate X ja Y keskmised väärtused. · Lineaarse mudeli regressioonikordaja ja elastsuskoefitsent ei lange kokku. Elastsuskoefitsent Majandusprotsessi uurimiseks on vaja võrrelda omavahel üksteisest sõltuvaid suurusi, mida mõõdetakse erinevate mõõtühikutega. Selliseks suuruseks, mis ei sõltu võrreldavate suuruste mõõtühikutest, on protsentides mõõdetav elastsus. Astmefunktsioon Astmefunktsioon Y=a0*Xa1*e ei ole lineaarne muutujate suhtes.
x i 2 n i 3.497725 xkesk 5.04225 xmax yi Linear (yi) y+tkr*sy y-tkr*sy yi Linear (yi) y+tkr*sy y-tkr*sy 24235 2,5238 31,429 57 3,14 2,57 2,5238 3,14 6231,429 73,15 11,4644 t 0 1 2 3 4 5 6 x 59 26 71 76 46 48 94
väiksem argumentväärtusest x: F(x) = P (X < x). o Tihedusfunktsioon... f(x) määratud kui jaotusfunktsiooni tuletis f(x)=(d/dx)*F(x) Hüdroloogias kõige sagedamini esinev jaotus on normaaljaotus. See eeldab, et protsessil on mingi “normaalne” keskmine tase, mille ümber varieerub suurem osa väärtustest. Standardiseeritud normaaljaotus: Tähistus N (0,1); Parameetriteks μ (xkesk)= 0 (keskväärtus) ja σ (S)= 1 (standardhälve). Standardiseerimine - erinevatel skaaladel mõõdetud suuruseid saab võrrelda omavahel. Tunnuse z jaoks võib vahemike osakaale hinnata juba standardse jaotusfunktsiooni Φ(t) abil. Standartne jaotusfunktsioon: Φ(0) 0.5 50% pooled kõigist standardiseeritud normaaljaotusele alluva üldkogumi väärtustest on väiksemad kui 0 (ja pooled suuremad kui 0) Φ(-0.674) 0
annaabi.ee 
