RP 121-T _ p – mitte p _ q – mitte q _ _ [(p → q) ˄ p] →q (kui p siis mitte-q ja eelduseks p siis mitte-q) _ _ _ _ [(p → q) ˄ p] →q _ [(p → q) ˄ p] →? kui alus on eitatud, siis ei saa tuletist teha _ [(p → q) ˄ p] →? alus (p) pole kinnitatud (eitav ja jaatav) _ [(p → q) ˄ p] →? 2. Reegel Modus tollens (eitama, hävitama, purustama) – kui väiksemas eelduses eitatakse tagajärge, siis tuletiseks on aluse eitus. _ _ Valemina: [(p → q) ˄ q] → p _ _ [(p → q) ˄ q] → p _ _ [(p → q) ˄ q] → p _ _ [(p → q) ˄ q] → p kui mitte p siis mitte q, väiksem eeldus q, siis tuletiseks on p. [(p → q) ˄ q] → ? kui on tagajärge kinnitatud. _ _ [(p → q) ˄ q] →
Tingiv süllogism(hüpoteetiline süllogism) – suurem eeldus on kindlasti tingiv väide ning väiksem eeldus võib olla tingiv väide Tingiv-kategooriline – esimene eeldus tingiv väide, teine eeldus kategooriline väide. Kaks viisi: Jaatav moodus – modus ponens. Aluse jaatus viib tagajärje jaatusele P -> q kui vihma sajab, siis on tänav märg. P vihma sajab Q tänav on märg (p->q) & p |- q Eitav moodus – modus tollens. Tagajärje eitus viib aluse eitusele (P -> q) & -q |- -p Tagajärje jaatus AC – tagajärje jaatusest ei saa järeldada ei aluse jaatust ega eitust. Kui alus on tõene, siis on tõene ka tagajärg. Tõeste eelduste korral võib alus olla kas tõene või väär. Aluse eitus DA – aluse eitusest ei saa järeldada ei tagajärje eitust ega ka mitte tagajärje jaatust.
Ruudukujuline ring pole võimalik. Järelikult pole ruudukujulist ringi tegelikult olemas. E1: Kui on olemas, siis on võimalik. E2: Ruudukujuline ring pole võimalik. J: Ruudukujulist ringi pole olemas. Tegemist on Modus tollensiga st argument on kehtiv. Kuna eeldused on tõesed, on argument korrektne. Eeldusi võiks siiski pisut ka sisuliselt kommenteerida (miks nad on tõesed). Ülesande eest 4,75 p. 2. Too näide modus ponens'ist, modus tollens'ist ja hüpoteetilisest süllogismist. (3 x 2 p.) Modus ponens: E: Kui A, siis B. E2: A J: B. E1: Kui talvel on lumi, siis kõik lapsed suusatavad. E2: Talvel on lumi. J: Kõik lapsed suusatavad. Modus tollens: E: Kui A, siis B. E2: Ei pea paika, et B. J: Ei pea paika, et A. E1: Kui kassil on hea olla, siis ta nurrub. E2: Kass ei nurru. J: Kassil ei ole hea olla. Hüpoteetiline süllogism: E1: Kui A, siis B. E2: Kui B, siis C. J: Kui A, siis C. E1: Kui lund sajab, siis on külm.
järeldus on hüpoteetilised(tingivad) väited (või materiaalne implikatsioon). TINGIV-KATEGOORILINE SÜLLOGISM ehk hüpoteetilis-kategooriline süllogism on kahe eeldusega tingiv süllogism, mille üks eeldus on tingiv väide ning teine eeldus ja järeldused on atributiivsed lihtväited. Sellel on vaid kaks korrektset moodust, mis tagavad tõese järelduse juhul , kui eeldused on tõesed. Need on jaatav moodus(modus ponens) ja eitav moodus(modus tollens) 1) MODUS PONENS 2) MODUS TOLLENS LIIGITAV SÜLLOGISM(välistav-disjunktiivne)nimetatakse süllogismi, kus üks või mõlemad eeldused on liigitatavad, alternatiivi väljendavad väited. Tavaliselt käsitletakse liigitava süllogismina liigitav-kategoorilist süllogismi, mille esimene eeldus on liigitav väide ning teine eeldus on kategooriline väide. 1) MODUS PONENDO TOLLENS 2) MODUS TOLLENDO PONENS DISJUNKTIIVNE SÜLLOGISM on süllogism, mille esimene eeldus on disjunktiivne
Armastav egoistideta ühiskond: ! ∀x ∀y (x ≠ y → Axy) (kristlik ideaal) On õnnetuid armastajaid:! ! ! ∃x ∃y (Axy & ¬Ayx) Kõik on egoistid:! ! ! ! ∀x ∀y (x = y → Axy)! ehk ∀x Axx Leidub egoiste:!! ! ! ! ∃x Axx 22. LOOMULIKU TULETUSE PÕHIIDEED JA TÄHTSAIMAD REEGLID. MP – modus ponens. ! ! p –> q. on p. järelikult on q. MT – modus tollens.! ! p –> q. on mitte-q. järelikult on mitte-p. HS – hüpoteetiline süllogism! p –> q. q –> r. järelikult p –> r. DS – disjunktiivne! ! ! p v q. on mitte-p. järelikult on q. ja vastupidi. CD – konstruktiivne dilemma! (p –> q) & (r –> s). on p v r. järelikult on ka q v s. Abs – absorptsioon ! ! p –> q. järelikult p –> (p & q). Simp – lihtsustusreegel! ! p & q. järelikult on p. ja järelikult on q. Conj – konjunktsioonireegel! on p, on q
! ! x y Axy (Romeo ja Julia) Armastav egoistideta ühiskond: ! x y (x y Axy) (kristlik ideaal) On õnnetuid armastajaid:! ! ! x y (Axy & ¬Ayx) Kõik on egoistid:! ! ! ! x y (x = y Axy)! ehk x Axx Leidub egoiste:!! ! ! ! x Axx 22. LOOMULIKU TULETUSE PÕHIIDEED JA TÄHTSAIMAD REEGLID. MP modus ponens. ! ! p > q. on p. järelikult on q. MT modus tollens.! ! p > q. on mitte-q. järelikult on mitte-p. HS hüpoteetiline süllogism! p > q. q > r. järelikult p > r. DS disjunktiivne! ! ! p v q. on mitte-p. järelikult on q. ja vastupidi. CD konstruktiivne dilemma! (p > q) & (r > s). on p v r. järelikult on ka q v s. Abs absorptsioon ! ! p > q. järelikult p > (p & q). Simp lihtsustusreegel! ! p & q. järelikult on p. ja järelikult on q. Conj konjunktsioonireegel! on p, on q
5. Atributiivse lihtväitena termin on alati piiritletud, kui ta esineb… Eitava väite predikaadina 6. Disjunktsioonitehte eitus on … Selle operandide eituste konjunktsioon. 7. Traditsioonilisele arutlusele „üldiselt üksikule“ vastab klassikalises loogikas … Üldisuskvantori eemaldamine. 8. Olgu antud süllogism: „Kui kana ei mune, siis ta ei kaaguta. Kana kaagutab, seega ta muneb.“ Millise süllogismi moodusega on tegu? Kehtiv modus tollens 9. Milline allpool toodud operaatoritest on aleetilises loogikas üks kahest peamisest operaatorist? Võimalikkuse operaator 10.Milline järgnevatest väidetest on väär? Alamtuletuste sees ei tohi olla täiendavaid alamtulemusi. Tingimuslik tõestus sisaldab alamtuletusi. Väljaspool alamtuletust ei tohi kasutada alamtuletuse sammude vahetulemeid. Väljaspool alamtuletust tohib kasutada alamtuletuse lõppjäreldust
eelduseks on X ning järelduseks on Y. • Kui lähtume nüüd valemitest X ning XÉY, siis on nendest valemitest tuletatud valemiks valem Y. Reegli modus ponens ehk lühemalt MP kohast tuletussammu esitatakse järgmise kirjutisega: X XÉY Y Selgitus: õigest eeldusest ja õigest järeldamisest tuleneb õige järeldus Mõned tuletusreeglid. Modus tollens. Reegel modus tollens paneb paika veel ühe lubatud viisi, kuidas lähtudes mingitest ühtedest valemitest on võimalik saada teisi (esimestest tuletatud) valemeid: • Kõigepealt peavad meil olema valemid, mille tähised olgu vastavalt X ning Y • Moodustame valemi XÉY, mis esitab niisugust järeldamist, mille eelduseks on X ning järelduseks on Y. • Kui lähtume nüüd valemitest XÉY ning ØY, siis on nendest valemitest tuletatud valemiks valem ØX.
Eeldused suurem, ja väiksem Järeldus Keskmine termin M M asukoht määrab ära süllogismi figuuri. Reeglid: · Kahe eitavad põhjal ei teha järeldust · Kahe osalise eeldise põhjal ei saa teha järeldust · Kui üks eeldustest on osaline, siis ka järeldus peab olema osaline · Kui üks eeldustest on eitav, peab järeldus eitama · Eeldused peavad olema jaatavad 1. Modus ponense põhjuse jaatamiselt tagajärje jaatamisele {(p nool q)^p} nool q 2. Modus tollens- tagajärje eitamiselt aluse eitamisele a. [(p nool q)^q kaetud] nool p kaetud Induktiivne järeldus. Ühtivusmeetod. Kui mingi põhjus igalpool ühtib,siis on ta põhjus. Erinevusmeetod. Kui a kaob siis nähtus kaob , a on põhjus. Jääkide meetod - kui mingi asi jääb üle, siis on ta põhjus.
Mallest) või et Mersu on auto (kui suuremas eelduses räägitakse autost ja väiksemas Mersust) või seda, et kinoskäimine on millegi tegemine (kui suuremas eelduses räägitakse millegi tegemisest ja väiksemas kinoskäimisest). · Tehke selgeks, millega neljast võimalikust variandist on tegemist. Kahel juhul süllogism töötab: siis kui esineb aluse jaatus (modus ponens) või tagajärje eitus (modus tollens). Kahel juhul süllogism ei tööta: siis kui esineb tagajärje jaatus või aluse eitus. NB! Eitava lause jaatus on seesama eitav lause ning eitava lause eitus on jaatav lause! · Kui süllogism ei tööta, siis midagi järeldada ei saa. Kui süllogism töötab, siis peab täiendava eelduse korral teostama arutelu üldiselt üksikule või osalisele. 22_fl_vi-x
,,väide” ja ,,propositsioon” kasutatakse sünonüümidena, kuigi silmas peetakse alati objekti, mis on tõene või väär, st propositsiooni. Kuna lauseloogikas on tavaks rääkida pigem lausetest kui väidetest, siis järgime seda tava ka lauseloogikal põhinevat tuletussüsteemi käsitledes. Tabel 9.1. Tuletusreeglid. Eeldused on eraldatud komadega, järeldus tuletusmärgiga. 1. Modus ponens (MP) p → q, p ⊢ q. 2. Modus tollens (MT) p → q, ¬q ⊢ ¬p. 3. Hüpoteetiline süllogism (HS) p → q, q → r ⊢ p → r. 4. Disjunktiivne süllogism (DS) p ∨ q, ¬p ⊢ q; p ∨ q, ¬q, ⊢ p. 5. Konstruktiivne dilemma (CD) (p → q) & (r → s), p ∨ r ⊢ q ∨ s. 6. Neeldumine (Abs) p → q ⊢ p → (p & q). 7. Lihtsustusreegel (Simp) p & q ⊢ p; p & q ⊢ q. 8. Konjunktsioonireegel (Conj) p, q ⊢ p & q. 9. Lisamisreegel (Add) p ⊢ p ∨ q.
,,väide" ja ,,propositsioon" kasutatakse sünonüümidena, kuigi silmas peetakse alati objekti, mis on tõene või väär, st propositsiooni. Kuna lauseloogikas on tavaks rääkida pigem lausetest kui väidetest, siis järgime seda tava ka lauseloogikal põhinevat tuletussüsteemi käsitledes. Tabel 9.1. Tuletusreeglid. Eeldused on eraldatud komadega, järeldus tuletusmärgiga. 1. Modus ponens (MP) p q, p q. 2. Modus tollens (MT) p q, ¬q ¬p. 3. Hüpoteetiline süllogism (HS) p q, q r p r. 4. Disjunktiivne süllogism (DS) p q, ¬p q; p q, ¬q, p. 5. Konstruktiivne dilemma (CD) (p q) & (r s), p r q s. 6. Neeldumine (Abs) p q p (p & q). 7. Lihtsustusreegel (Simp) p & q p; p & q q. 8. Konjunktsioonireegel (Conj) p, q p & q. 9. Lisamisreegel (Add) p p q. 1
Jaotab teaduse arengu 5 perioodi: paradigma eelne, normaalne, kriisi, revolutsiooniline ja revolutsiooni järgne periood. K. Popper on internalistide esindaja. K.Popper sai tuntuks oma teadusteoreetiliste töödega. Oma "Uurimise loogikas" käsitleb ta põhjalikult induktsiooni tunnetuslikke võimalusi. Koos Humiga eitab ta võimalust nagu võiks paljudest juhtumitest tuletada mingit seadust. Induktiivne otsus ei ole loogiliselt paratamatu. Küll on aga deduktiivne lähenemine "modus tollens" puhul kehtiv. Kui p tuletatav t-st (p järelduslause lausete süsteemist t), ja p vale, siis on ka t vale. Seega ei sõltu loodusteaduste ja metafüüsika erinevus mitte induktiivsest lähenemisest, vaid selles, kas antud lausete empiiriline falsifitseerimine (ümberlükkamine) on põhimõtteliselt võimalik. Mingi teooria sisu on kahekordselt määratletav: Loogiline sisu on kõigi lausete hulk, mis on antud teooriast
F T F T F T F F T T T F F T T F F F T T F T T T F T F T There is a case where all premises are true but the conclusion is false. Therefore, the argument is not valid. Valid forms Modus Tollens P→Q ¬Q ¬P Example: If it rains, then I’ll take my umbrella But I do not take my umbrella Therefore, It does not rain. Invalid forms Affirming the Consequent P→Q Q P Example: If it rains, then I’ll take my umbrella But I’ll take my umbrella Therefore, It rains. Denying the Antecendent P→Q ¬P ¬Q Example: If it rains, then I’ll take my umbrella But It doesn’t rain Therefore, I will not take my umbrella. Interlude: A logical paradox
- Eelduste sisu ei mõjuta järeldamise tulemusi Teooriad on loond Braine ja Rips. - Inimesed talletavad mälus infot propositsioonide kujul - Et tuletada sellest mida nad teavad, järeldusi, kasutavad nad mentaalset loogikat ehk loogika reegleid nt modus ponens - Propositsioonid millest järeldatakse, peavad olema esitatud eelduste vormis, reegli abil tuletatakse järelds - Modus tollens tüüpi järeldusi on raske teha, kuna järeldamisel on vaja kasutada erinevaid reegleid Järeldamise vead on 3 tüüpi: (Braine) - Arusaamise vead – ülesande eeldusi mõistetakse valesti või lisatakse sinna infot juurde. Eeldatakse et antud on kogu vajalik info. (Väide: kui ilm on soe, siis kalad ujuvad. Kalad ujuvad. Järeldus: Ilm on soe) - Heuristilised vead – uuritakse kuidas lahendatakse erinevaid järeldamise astmeid nõudvaid ülesandeid
annaabi.ee 
