2) Panen saadud y värtuse sellesse võrrandisse, millest ei avaldanud, saan x väärtuse. 3) Panen saadud x väärtuse y avaldisse ja avaldan y väärtuse. Defineerimine: Defineerimiseks nimetatakse mõistele selgituse andmist. Mõiste definitsioon annab täpse vastuse küsimusele: „Mis on?“ või „Mida nimetatakse?“. Mõistete defineerimisel kasutatakse algmõisteid. Algmõisted- mõisted, mida ei defineerita. Need on näiteks: punkt, sirge, tasand, arv, ruum, suurus. Teoreem: Teoreemiks nimetatakse lauset, mida saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil. Laused, mid kasutatakse põhjendamisel peavad olema enne põhjendataud, välja arvatud aksioomid. Aksioom- lause, mida loetakse tõeseks ilma põhjendamata. Teoreemi eeldus ja väide: Teoreemis eristatakse kahte osa: 1) eeldus- ütleb, mis on antud või teada 2) väide- ütleb, mida on vaja tõestada või põhjendada. Kui teoreem on kirjutatud kui, siis vormis, siis eeldus algab sõnaga kui ja võide algab sõnaga
Ühend on kahe hulga kõik elemendid kokkupandult. A = {a; b; c; d; e} B = {c; d; e; f} Hulkade A ja B ühend on a, b, c, d, e ja f. Defineerimine Defineerimine on mõiste lahti seletamine võimalikult täpselt ja lühidalt. Algmõiste Ei defineerita, aga teame. Mõisted Defineerime algmõiste abil. Teoreem Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede abil, siis nimetatakse seda lauset teoreemiks. Lauseid, mida pole küll keegi tõestanud, kuid mille tõesuses pole põhjust kahelda, nimetatakse aksioomideks. Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse tõestamiseks. Teoreemi eeldus ja väide Teoreemis saab eristada kaht osa eeldust ja väidet. Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või mis on teada. Väide aga ütleb, mida saab eeldusest järeldada ehk mida on tarvis tõestada. Näide. Kui-siis vormis on sõnastatud teoreem kui naturaalarv lõppeb nulliga, siis see arv jagub viiega
8) Tõukejõudude töö laengutevaheline kauguse suurenemisel on a) Positiivne b) Negatiivne c) Null 9) Kui kehale mõjub ainult üks jõud, mis teeb negatiivset tööd, siis keha kineetiline energia a) Kasvab b) Kahaneb c) Ei muutu 10) Seadus, mis väidab, et tehtav töö on alati väiksem kui soojusmasinale antav energia, nimetatakse a) Energia jäävuse seaduseks b) Töö-energia teoreemiks c) Termodünaamika esimeseks seaduseks d) Termodünaamika teiseks seaduseks 11) Milline lause on vale? a) Aine koosneb osakestest b) Osakesed on pidevas liikumises c) Osakeste vahel mõjuvad vastastikused jõud d) Osakesed liiguvad ühesuguste kiirustega 12) Bitt on a) Virtuaalne osake, mis vahendab tugevat vastastikmõju b) Negatiivse entroopia mõõtühik c) Virtuaalse reaalsuse kvant d) Mälupesa oleku tõenäosus
Mõisteid mida ei ole vaja defineerida ning nende tõesuse üle ei saa vaielda nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted on näiteks: punkt, sirge, tasand, ruum jne. Mõitet defineeritakse mõiste eritunnuse kaudu. Näiteks ruudu definitsiooni: ruut on nelinurk, mille kõik nurgad ja küljed on võrdsed eritunnus on nelinurk. 3.teoreem, pöördteoreem, teoreemi eeldus ja väide. Kui mingi lause tõesust saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil, siis seda lauset nimetatakse teoreemiks. Teoreemi tõesuse põhjandamist nimetatakse tõestamiseks. Näide: Aksioomideks nimetatakse tõdesid, millele tugineb teoreem. Teoreemis esitatud väite õigsust tõestatakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest lähtudes. Teoreemi eeldus ütleb mis on antud või teada. Teoreemi väide ütleb, mida on tarvis tõestada. Teoreemi eelduse ja väite äravahetamisel tekib esiagse teoreemi pöördlause. Kui teoreemi pöördlause on tõene on tegu pöördteoreemiga
algmõisteteks. Algmõisted näiteks punkt, sirge, tasand, ruum jne. Kas järgmised mõisted on korrektsed? Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust tõmmatud lõiku. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. 3 Teoreem Kui mingi lause tõesust saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil, siis seda lauset nimetatakse teoreemiks. Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse tõestamiseks. Lauseid, mida pole küll keegi tõestanud, kuid mille tõesuses pole põhjust kahelda, nimetatakse aksioomideks. Aksioomi Iga kaht erinevat punkti läbib ainult üks d: sirge. Iga sirglõiku on võimalik lõpmatult 4 pikendada. Teoreemi eeldus ja väide Eelduses pannakse kirja see, mis on teada
Märk U tähendab ,,ühend" Märk V tähendab sidesõna ,, või" 2. DEFINEERIMINE * Defineerimine Küsimusele vastamine on mõistele definitsiooni andmine. * Algmõiste Mõiste alguses olev mõiste. * Definitsioon Annab täpse ja lühikese vastuse küsimusele ,,Mida nim?Mis on...? 3. TEOREEM * Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede abil, siis nimetatakse seda teoreemiks. * Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse teoreemi tõestamiseks. * Tõestamist mitte vajavaid lauseid nimetatakse aktsioomideks. * Paralleelide aktsioom Väljaspool sirget olevat punkti läbib ainult üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. * Teoreemis saab eristada kaht osa eeldust ja väidet. Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või mis on teada. Väide aga ütleb, mida saab
- ühisosa märk - sidesõna ,,ja" - ühendi märk - sidesõna ,,või" - 2. Defineerimine Defineerimiseks nimetatakse mõiste seletust või küsimusele vastuse andmist. Algmõisteid ei defineerita, me teame selle nende tähendust. Algmõisted on näiteks punktihulk, punkt, sirge, tasand, hulk jne. Mõisteid defineerime algmõistete abil. Definitsiooniks nimetatakse mõiste täpset ja lühidat selgitust. Eristatakse algmõistet (üldtunnust) ja eritunnust. 3. Teoreem Teoreemiks nimetatakse mingi lause tõestust matemaatikas varem tuntud tõdede abil. Teoreemi tõestamist nimetatakse teoreemi tõestuse põhjendamist Aktsioomideks nimetatakse varem teada olevaid tõdesid. Teoreemi eelduseks nimetatakse lauset, mis on antud või on teada. Teoreemi väiteks nimetatakse lauset, mida saab eeldusest järeldada ehk mida on tarvis tõestada. Tähistades teoreemi eeldust tähega p ja väidet tähega q, siis teoreemi üldkuju on p q (lausest p järeldub q) - järeldusmärk
Kokkulepe 2. Osa valemeid loetakse põhjendatuteks lähtuvalt mingitest teistest valemitest, kui on olemas selgelt ja rangelt fikseeritud viisid – reeglipärased tuletussammud – kuidas ühtedest valemitest lähtudes, liigutakse teisteni, lõpetades põhjendatava valemiga. Kui seejuures alustatakse põhjendamist aksioomidest ja ainult aksioomidest, siis kõneldakse tõestamisest ning tõestamist esitavatest tõestustest. Iga valemit, millel on tõestus nimetatakse teoreemiks. Märkus. Vahel lepitakse kokku kõnelda, et iga aksioom on ühtlasi iseenda tõestus. Mõned tuletusreeglid. Modus ponens. Reegel modus ponens paneb paika ühe lubatud viisi, kuidas lähtudes mingitest ühtedest valemitest on võimalik saada teisi (esimestest tuletatud) valemeid: • Kõigepealt peavad meil olema valemid, mille tähised olgu vastavalt X ning Y • Moodustame valemi XÉY, mis esitab niisugust järeldamist, mille eelduseks on X ning järelduseks on Y
selle üksuse sisse Välismõjude probleemi saab lahendada ka omandiõiguste ümberkorraldamisega Kui omandiõigusi ümber korraldada ei saa, on võimalik sõlmida ressursi kasutamise kokkulepe o Väidet, et välismõjude korral saavad osapooled alati kokku tulla ning välismõju kuidagi sisemiseks muuta ja tagada efektiivsus, nimetatakse Coase’i teoreemiks Miks erasektori lahendused ei toimi? Paljud mõjud on seotud ühiselt kasutatavate hüvistega (puhas vesi ja õhk) o Vabatahtlikult efektiivse lahenduseni jõudmist takistab täieliku informatsiooni puudumine Välismõjude muutumise sisestamiseks on seotud arvestatavate kulutustega o Valitsust võib sellisel juhul pidada vahendiks, mille abil vähendada välismõjudega kaasnevaid heaolukadusid
enese) muutumisega. Füüsikalist suurust, mis võrdub poolega keha massi ja selle kiiruse ruudu korrutisest, nimetatakse keha kineetiliseks energiaks . Resultantjõu töö on võrdne keha kineetilise energia muuduga A = Ek2 - Ek1. Seda väidet nimetatakse kineetilise energia teoreemiks. Kineetilise energia teoreem kehtib ka üldjuhul, kui keha liigub muutuva jõu mõjul, mille suund ei lange kokku nihke suunaga. Kineetiline energia on liikumise energia. Kui keha massiga m liigub kiirusega , siis tema kineetiline energia on võrdne tööga, mida peab tegema paigalseisvale kehale rakendatud jõud, et anda kehale see kiirus .
Definitsioon 3 Hulka X nimetatakse kinniseks, kui ta sisaldub kõik oma piirpunktid, s.t. kui kõik jada {xn } punktid kuuluvad hulka X ( x1 ,K, xn ,K X ) ja x0 on selle jada piirpunkt ( lim xn = x0 ), siis n siit järeldub, et x0 ka kuulub hulka X ( x0 X ). Hulk X on kompaktne siis ja ainult siis, kui X on kinnine ja tõkestatud. Seda väidet nimetatakse Lebesque teoreemiks. Olgu K kõikide närvivõrgu sisendite hulk. Ta on tõkestatud ja kinnine. Seega hulk K on kompaktne. Matemaatiliselt, närvivõrk realiseerib kujutuse f : K Rm . (2.1) Närvivõrgu ülesanne seisneb funktsiooni f lähendamises (aproksimeerimises). Matemaatilisest analüüsist on tuntud Weierstrassi teoreem, mis väidab, et lõigus [a, b] pidev funktsioon f on
Definitsioon 3 Hulka X nimetatakse kinniseks, kui ta sisaldub kõik oma piirpunktid, s.t. kui kõik jada {xn } punktid kuuluvad hulka X ( x1 ,K, xn ,K X ) ja x0 on selle jada piirpunkt ( lim xn = x0 ), siis n siit järeldub, et x0 ka kuulub hulka X ( x0 X ). Hulk X on kompaktne siis ja ainult siis, kui X on kinnine ja tõkestatud. Seda väidet nimetatakse Lebesque teoreemiks. Olgu K kõikide närvivõrgu sisendite hulk. Ta on tõkestatud ja kinnine. Seega hulk K on kompaktne. Matemaatiliselt, närvivõrk realiseerib kujutuse f : K Rm . (2.1) Närvivõrgu ülesanne seisneb funktsiooni f lähendamises (aproksimeerimises). Matemaatilisest analüüsist on tuntud Weierstrassi teoreem, mis väidab, et lõigus [a, b] pidev funktsioon f on
Kui vedelik ei ole kokkusurutav, s.o. tema tihedus on kõikjal ühesugune ning muutuda ei saa, siis vedeliku hulk kahe lõike S1 ja S2 vahel muutumatuks. (joon.2) Siit järeldub, et ajaühikus lõikeid S 1 ja S2 läbinud vedelikuruumalad peavad olema võrdsed: S1v1=S2v2. Ülaltoodud arutluskäik on rakendatav suvalise lõigetepaari S 1 ja S2 puhul. Järelikult peab kokkusurumatu vedeliku korral suurus Sv olema ühesugune sama voolutoru mistahes lõikes: Sv=const. Saadud tul. nim. joa pidevuse teoreemiks. Valemist Sv=const järeldub, et muutuva ristlõikega voolutorus liiguvad mittekokkusurutava vedeliku osakesed kiirenevalt. Horisontaalses voolutorus saab see kiirendus olla tingitud ainult rõhu muutumisest piki voolutoru: nendes kohtades, kus kiirus on väiksem, peab rõhk olema suurem ja vastu-pidi. §38. Bernoulli võrrand. Vedeliku iga osakese energia koosneb kin. energiast ning pot.energiast Maa raskusväljas. En. juurdekasv avaldub: E=((Vv22/2)+Vgh2)-((Vv12/2)+Vgh1)
korrapäraseid hulktahukaid väide, mis pole sugugi silmanähtav. Selle teoreemi tuletatavus eeltoodud aksioomidest on seda hämmastavam, et osa aksioome (3-5) on väga üldise iseloomuga, mitte eriomase geomeetrilise sisuga.] [Carnap: Paralleelide postulaadi ümber palju vaieldud, kuni XIX saj.-ni vaid sel teemal, kas ta on aksioomina vajalik. Paljud matemaatikud uskusid, et ta võib saada teistest aksioomidest tuletatud teoreemiks. Tegelikult olid kõik need katsed loogiliselt vigased ja põhinesid kantiaanlikul intuitsioonil, mille järgi geomeetria aksioomid selged ja lihtsad pidid olema õiged. (Kanti aprioorne süntees. Carnap eitab sünteetilisi formaalseid ehk sünteetilisi aprioorseid väiteid.)] [6]Rene Descartes (1596-1650) [7]D. üritas maailma kõiksuse haarata ühte ühtsesse teadusesse. Universaalteaduse ainsaks lähtealuseks sobis tema arvates vaid inimlik mõistus (ratio).
üksteisele samapotentsiaalipinnad). Elektrivälja tugevuse ühikuks SI süsteemis on volt meetri kohta (V/m), potentsiaali ühikuks on volt (V). Ühikud: (volt meetri kohta) (volt) Elektrivälja kohta kehtivad kaks teoreemi: · Elektriväljad on sõltumatud; laengule mõjub summaarne väli. · Elektrivälja tugevuse voog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sisse jäävate laengute summaga. Viimast nimetatakse Gaussi teoreemiks; pideva ruumlaengu korral on võrrandi paremas pooles summa asemel integraal. Fundamentaalfüüsikas peetakse Gaussi teoreemi üheks olulisemaks, kuna ta seob jõuväljade valemite pöördruutsõltuvuse (ingl. inverse square relation, tähendab, et kaugmõju väheneb allikast eemaldumisel võrdeliselt kauguse ruuduga, valemina ) füüsikalise ruumi kolmemõõtmelisusega. Gaussi teoreem.
üksteisele samapotentsiaalipinnad). Elektrivälja tugevuse ühikuks SI süsteemis on volt meetri kohta (V/m), potentsiaali ühikuks on volt (V). Ühikud: (volt meetri kohta) (volt) Elektrivälja kohta kehtivad kaks teoreemi: · Elektriväljad on sõltumatud; laengule mõjub summaarne väli. · Elektrivälja tugevuse voog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sisse jäävate laengute summaga. Viimast nimetatakse Gaussi teoreemiks; pideva ruumlaengu korral on võrrandi paremas pooles summa asemel integraal. Fundamentaalfüüsikas peetakse Gaussi teoreemi üheks olulisemaks, kuna ta seob jõuväljade valemite pöördruutsõltuvuse (ingl. inverse square relation, tähendab, et kaugmõju väheneb allikast eemaldumisel võrdeliselt kauguse ruuduga, valemina ) füüsikalise ruumi kolmemõõtmelisusega. Gaussi teoreem.
täisarvu suhtena kujus [lk 87] või miks kehtivad teatavad matemaatilised suurväi- ted ehk teoreemid: trigonomeetria peatükis jõuame nii siinus- [lk 222] kui ka koosi- nusteoreemini [lk 224]. Esimene tõestus tuleb aga esile juba järgmises alapeatükis. Teoreem Teoreem on ehk matemaatika kõige austusväärsem žanr. Teoreemiks nimetatakse väidet koos matemaatiliselt täpse tõestusega. Õigupoolest julgetakse enamasti teoreemiks nimetada ainult piisavalt ägedaid väiteid koos oma ägedate tõestus- tega. Teoreemile antakse tihti ka tema avastaja nimi – kuigi peab tunnistama, et paljudel nimelistel teoreemidel pole nimeandjaga siiski suurt pistmist. 46 Üks kuulus teoreem on järgmine.
Elektrivälja kohta kehtivad kaks teoreemi: Elektrivälja tugevuse ühikuks SI süsteemis on volt meetri kohta (V/m), potentsiaali ühikuks on volt (V). · Elektriväljad on sõltumatud; laengule mõjub summaarne väli. 59 · Elektrivälja tugevuse voog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sisse jäävate laengute summaga. Viimast nimetatakse Gaussi teoreemiks; pideva ruumlaengu korral on võrrandi paremas pooles summa asemel integraal. Fundamentaalfüüsikas peetakse Gaussi teoreemi üheks olulisemaks, kuna ta seob jõuväljade valemite pöördruutsõltuvuse (ingl. inverse square relation, tähendab, et kaugmõju väheneb allikast eemaldumisel võrdeliselt kauguse ruuduga, valemina ) füüsikalise ruumi kolmemõõtmelisusega. Gaussi teoreem.
annaabi.ee 
