Pöördmaat leidm- Ruutmaatriksil A= ||aij|| Rn×nleidub pöördm siis, kui tema detem ei =0 Ruutm nim regulaarseks, kui tema deter ei ole null. Vastasel juhul nim ruutm singulaarseks. Funkt nim eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe väärtuse. Argument-sõltumatu muutuja. Funkt väärtus-argumendi väärt järgi leitud sõltuva muutuja vastavad väärt. Paarisfunk-rahuldab tingimust f(x)=f(-x), sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu-f(-x)=-f(x), 0 punkti suhtes sümmeetr. Ühene f-1le värtusele vastavusse seatud 1 väärtus nt y=2x-3. Mitmene-vastavusse seatud mitu väärtust, nt 1, vahemik 1;-1, x-le vastab y
Ruutmaatriksit nim diagonaal maatriksisks kui selle maatriksi kõik väljas pool peadiagonaali painknevad elemendid on võrdsed nulliga . Sellist diagonaalimaatriksit mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed nim skalaarmaatriksiks; S()= ·E; S()·I=(·E)= T=·ET=·T. Ruutmaatriksit mille determinant |A|0 nim regulaarseks maatriksiks. Ruutmaatriksit mille determinant on samaselt 0(|A|=0) nim singulaarseks maatriksiks. Regulaarne maatriks on regulaarse pöördmaatriksi P regulaarse maatrikisi A pöördmaatriks, A-1 on samuti regulaarne. |A -1|=1/|A|; singulaarsel maatriksil pole pöördmaatriksit . AT on saadud A selle ridade ja veergud ümber vahetamise teel, A T nim A transponeeritud maatriksiks (AT)T=A. Ruutmaatriksit A nim sümmeetriliseks maatriksiks kui ta rahuldab tingimust AT=A. Ruutmaatriksit A nim kaldsümmeetriliseks maatriksiks kui ta rahuldab tingimust A T=-A
korral tingimusi aij=aji. Arve aij nim ruutvormi kordajateks ja xi xj ruutvormi muutujad; ruutvormi F kordajatest a ij saame moodustada (mxn) järku sümmeetrilise ruutmaatriksi A, AT(aij)=aij=A, F=xT·A·x . Ruutvormi üleminekut ühelt muutujalt uuele muutujale nim kooridnaatide teisendamiseks. Koordinaatide teisendus mida esindab regulaarse maatriks C nim ka regulaarseks teisenduseks. Koordinaatide teisendus mida esindab singulaarne maatriks nim ka singulaarseks teisenduseks. Iga ruutvormi saab muutujate regulaarse teisenduse tulemusena viia kannoonilisele kujule, seejuures ilmneb ka et ruutvormi kannooniline kuju ei ole üheselt määratud. Iga ruutvormi saab muutujate regulaarse teisenduse teel viia kannoonilisele kujule, ilmneb et kannooniline kuju pole üheselt määratud.
Omadus 10. Kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis det( AB) = (det A) (det B) 4. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E, kus E on sobivat järku ühikmaatriks. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Pöördmaatriksi elementide 1 ~ leidmise eeskiri: A -1 = A. det A 5. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks.
determinandiga. 5. Kui determinandis on kaks ¨uhesugust rida (veergu), siis on determinant null. 6 Pöördmaatriks Olgu A n-järku maatriks. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist n-järku maatriksit B, mis rahuldab tingimust AB = E = BA, kus E on n-järku ühikmaatriks. Kui maatriksi A pöördmaatriks eksisteerib, siis pöördmaatriksit tähistame A-1. Regulaarne maatriks Me nimetame n-järku maatriksit A regulaarseks (singulaarseks), kui |A| 6= 0 (|A| = 0) Pöördmaatriksi omadused. 1. Kui n-järku maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis nii maatriks A kui ka tema pöördmaatriks on regulaarsed. 2. Maatriksi ja pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud, s.t. |A| · |A−1| = 1 3. Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt. 4. Regulaarsete n-j¨arku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)−1 = B−1A−1 5
ühikmaatriksiks. Ühikmaatriks on korrutamisel neutraalne AE=EA=A Adjungeeritud maatriks Aik maatriksi A elemendi aik alamdeterminant. Leiame maatriksi (Aik) ja transporeerime selle. Saame A=(Aki) ja niisugune maatriks kannab maatriksi A adjengeeritud maatriksi nime. Regulaarne maatriks Maatriksit, mille determinant erineb nullist nim regulaarseks ehk kõdumata maatriksiks. Maatriksit, mille determinant võrdub nulliga, nim singulaarseks ehk kõdunud maatriksiks. Pöördmaatriks A = 1/ A A kus A on maatriksi A determinant nim maatriksi A pöördmaatriksiks. Maatriksil A on olemas pöördmaatriks A parajasti siis kui ta on regulaarne st kui A0. Maatriksi korrutamisel tema pöördmaatriksiga ühikmaatriksi so AA = A A =E Tehted ristkülikmaatriksitega Arvutusoperatsioonid ruutmaatriksitega on ülekantavad ka teatavatele ristkülikmaatriksitele. 1. A=B, kui aik=bik 2
(M1(x)/M2(x))dx+(N2(y)/N1(y))dy=0(ehk eraldatud muutujatega DV) 12.DV iseärased punktid, nende tüübid- Def.- Olgu DV M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 kordajad M(x,y) ja N(x,y) pidevalt diferentseeruvad piirkonnas D. Punkti (x0,y0)D nim DV iseäraseks punktiks, kui M(x0,y0)=0 ja N(x0,y0)=0. Võrrandi ydx=xdy (=const0) punktid: lahendiks y=C|x|, x=0 iseärane punkt (0,0).*<0 sadulpunkt; >0 sõlmpunkt , ka o<<113.DV iseärane lahend I järku dv iseäraseks e. singulaarseks lahendiks nim. lahendit, mille igat punkti läbib sellega samas sihis mingi teine lahent(ning puutepunkti üheski ümbruses need kaks lahendit ei lange kokku). Iseärase lahendi olemasolu on seotud Cauchy teoreemi tingimuste mittetäidetusega. *Üheparameetriline jooneparv (x,y,c)=0.*Lahendiparve (x,y,c)=0 mähisjoon on võrrandi M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 lahendiks. 6.Homogeenne DV-Def.- Funktsiooni F(x,y) nim. -astme homogeenseks funkt-ks kui kehtib seos F(tx,ty)=tF(x,y) iga t>0 ja (x,y)D korral
väärtuseks sama tulemuse. Arendus rea järgi Arendus veergu järgi Mulle tundub, et det teooria põhivalem on 5. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu. Pöördmaatriksi ja regulaarsuse seos. Pöördmaatriksi omadused Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks Maatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse, selllist maatriksit mille korral A*A-1 = A-1*A = E, kus E on sööbivat järku ühikmaatrkis (AGA 1. A on ruutmaatriks ja det A pole võrdu 0-ga) Elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu Leiame det A: Pärast .................... Maatriksit nimetatakse regulaarse maatriksi pöördmaatriksiks, kui = = , kus on ühikmaatriks 6. Lihtsamad maatriksvõrrandid. A*X=B lahendus: X = A-1*B või
Teoreem. Kui matrx on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt.Tõestus: olgu B ja C mõlemad maatriksi A pöördmtx, st AB=I=BA ja AC=I=CA, siis mtxkorrutise assotsiatiivsuse tõttu B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C Olgu A ruutmtx. Kui mtx-l A eksisteerib pöördmtx, siis nim mtx regulaarseks ja pöördmtxit tähistatakse A-1. AA-1=I=A-1A. Kui ruutmtxi A korral ei ole võimalik leida sellist mtx B, et AB=I=BA, siis nim mtx A singulaarseks. Omadused: 1)iga regulaarse mtx korral kehtib (A-1)-1=A 2)ühikmtx on iseenda pöördmtx I-1=I 3)kui A ja B on sama järku regulaarsed ruutmtxid siis on regulaarne ka AB kusjuures (AB)-1=B-1A-1. 4)Kui mtx A on regulaarne ja c=/0, siis on regulaarne ka cA, kusjuures (cA)-1=c-1A-1 5)kui A on regulaarne, siis on regulaarne ka AT, kusjuures (AT)-1=(A-1)T 6)Determinantide korral kehtib võrdu lAllA-1l=1. Leidmine: pöördmtx leidmiseks on 2 võimalust
0 0 K A 0 0 K 1 Analoogselt tõestatakse võrdus BA = E . Ongi näidatud, et B = A-1 . Sellega on teoreem tõestatud. Def. 2. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Teoreemi 2 kohaselt leidub pöördmaatriks ainult regulaarsetel ruutmaatriksitel. 5.Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Afiinses ruumis pole võimalik arvutada nn. meetrilisi suurusi: vektori pikkust, punktide vahelist kaugust, vektorite vahelist nurka jne. Meetriliste suuruste sissetoomiseks kasutatakse skalaarkorrutise mõistet, mille üldine definitsioon on järgmine. Def. 1
Kasutusele tuleb Crameri valem. X1=x1(maatriks)/kogumaatriks Crameri valemit ei kasuta ükski arvutiprogramm, sest see võib anda väga suure vea. Gaussi meetodis saab arvutusvigade vähendamiseks valida juhtelemendiks maksimaalse absoluutväärtusega arvu (antud veerus kui ka kogu süsteemis). Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit. Pöördmaatriks on olemas vaid regulaarsel maatriksil. Def: Ruutmaatriksit A nim regulaarseks kui selle determinant ei võrdu 0ga ja singulaarseks kui võrdub 0. Def: Regulaarse maatriksi A pöördmaatriks A-1 peab rahuldama võrrandit A*A-1=A-1*A=E, kus E on vastavat järku ühikmaatriks. Lahendskeem: (A!E)- >Gaussi teisend->(E!A-1). N: 248 -2 0 2 468 2. Leontjevi staatiline mudel 1 2 lõpptoodang y kogutoodang x 1 100=x11 160=x12 240 500 2 275 40 85 400 sisemine tarbimine
TEOREEM MAATRIKSITE KORRUTAMISE DETERMINANDIST: *Sama järku ruutmaatriksite korrutise determinant võrdub nende maatriksite determinantide korrutisega X,Y Mat(n,n) => |XY|=|X||Y| *kehtivad valemid: |XYT|=|X||Y| ja |XTY| =|X||Y| PÖÖRDMAATRIKS: Pöördmaatriks Me nimetame n-järku maatriksi A pöördmaatriksiks sellist n-järku maatriksit X, mis rahuldab kahte maatriks võrrandit: AX=E ja XA = E Regulaarne (Singulaarne) maatriks - Me nimetame n-järku maatriksit Y regulaarseks (singulaarseks), kui |Y| 0, (|Y |= 0). OMADUSED: *Kui n-järku maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis nii maatriks A kui ka tema pöördmaatriks on regulaarsed *Maatriksi ja tema pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud *Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis ainult üks. * Regulaarsete n-järku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)-1 = B-1A-1. * Maatriksi A-1 pöördmaatriksiks on maatriks A, s. t.(A- 1)-1 = A. *Ühikmaatriksi E pöördmaatriks on ta ise, s. t. E-1 = E
ERILAHEND Diferentsiaalvõrrandi F(x, y, y')= 0 erilahendiks nimetatakse funktsiooni y=y(x), mis saadakse üldlahendist y=(x,c) konstandi c fikseerimisel. y`=a Erilahend: v(t)= v0 + at (saadakse yldlahendist C + at, kui C = v0) Diferentsiaalvõrrandil on lõpmata palju erilahendeid. SINGULAARNE LAHEND Diferentsiaalvõrrandil võib olla ka lahend, mis ei ole erilahend. Sellist lahendit nimetatakse singulaarseks lahendiks. Võrrandi (y`)2= 4y üldlahend avaldub y=(x + C)2 Aga selle võrrandi lahendiks on ka funktsioon y = 0, kuna (0`)2 = 0 = 4*0 see lahend ei ole aga antud võrrandi erilahend, sest ta ei ole saadav üldlahendist ühegi C väärtuse korral. Seega y = 0 on võrrandi singulaarne lahend. 1 46. Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Kirjeldada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamist.
siks sellist n-j¨ arku maatriksit X, mis rahuldab kahte maatriksv~ orrandit AX = E, XA = E. (6.1) Meil on praegu t¨aiesti selgusetu, silmas pidades viimast definitsiooni, kas iga n-j¨arku maatriks A omab p¨o¨ordmaatriksit ja kui omab, siis mitu. Definitsioon 6.2. Me nimetame n-j¨ arku maatriksit Y regulaarseks (singulaarseks), kui |Y | = 0 (|Y | = 0). T~oestame kolm omadust, mis veidike toovad selgust maatriksi p¨o¨ordmaat- riksi olemasolu kohta. Omadus 6.1. Kui n-j¨ arku maatriksil A leidub p¨ o¨ ordmaatriks, siis nii maatriks A kui ka tema p¨oo ¨rdmaatriks on regulaarsed. T~oestus. Me eeldasime, et maatriksil A on olemas p¨o¨ordmaatriks. T¨ahistame teda t¨ahega B
siks sellist n-j¨ arku maatriksit X, mis rahuldab kahte maatriksv˜ orrandit AX = E, XA = E. (6.1) Meil on praegu t¨aiesti selgusetu, silmas pidades viimast definitsiooni, kas iga n-j¨arku maatriks A omab p¨o¨ordmaatriksit ja kui omab, siis mitu. Definitsioon 6.2. Me nimetame n-j¨ arku maatriksit Y regulaarseks (singulaarseks), kui |Y | = 0 (|Y | = 0). T˜oestame kolm omadust, mis veidike toovad selgust maatriksi p¨o¨ordmaat- riksi olemasolu kohta. Omadus 6.1. Kui n-j¨ arku maatriksil A leidub p¨ o¨ ordmaatriks, siis nii maatriks A kui ka tema p¨oo ¨rdmaatriks on regulaarsed. T˜oestus. Me eeldasime, et maatriksil A on olemas p¨o¨ordmaatriks. T¨ahistame teda t¨ahega B
1.Regulaarsed ja singulaarsed maatriksid. Olgu A n-järguline ruutmaatriks: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A= . ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn Definitsioon 1 .Ruutmaatriks A on regulaarne , kui = det A 0, vastasel juhul ( = 0) maatriksit nimetatakse singulaarseks. ~ Definitsioon 2. Maatriksi A adjungeeritud maatriksiks A (või A* ) nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksist AT selle maatriksi kõikide elementide asendamisel nende elementide alamdeterminantidega: A* = (Aij)T = (Aji ). A11 A21 An1 A A22 An 2 A = 12
1.Regulaarsed ja singulaarsed maatriksid. Olgu A n-järguline ruutmaatriks: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A= . ... ... ... ... a a ... a n1 n2 nn Definitsioon 1 .Ruutmaatriks A on regulaarne , kui = det A 0, vastasel juhul ( = 0) maatriksit nimetatakse singulaarseks. ~ Definitsioon 2. Maatriksi A adjungeeritud maatriksiks A (või A* ) nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksist AT selle maatriksi kõikide elementide asendamisel nende elementide alamdeterminantidega: A* = (Aij)T = (Aji ). A11 A21 An1 A A A A = 12 22 n 2
B = I B = (CA)B = C(AB) = C I = C 14 II. Maatriksarvutus 5.2 Po ¨o ¨ratavus Maatriksit nimetatakse p¨ o¨ oratavaks ehk regulaarseks, kui tal lei- dub p¨oo¨rdmaatriks. P¨o¨oratava maatriksi A (ainsat) p¨o¨ordmaatrik- sit t¨ahistatakse A-1 := A1 , s.t AA-1 = I = A-1 A Mittep¨o¨oratavat maatriksit nimetatakse singulaarseks. 5.3 Po ¨o ¨rdmaatriksi omadusi P¨oo¨rdmaatriksi omadusi kirjeldame kokkuv~otvalt j¨argmiselt. Teoreem 14. Olgu maatriksid A, B ning arv R sellised, et allpool esinevad tehted on m¨ a¨aratud. Siis 1) I-1 = I 2) (A-1 )-1 = A 3) (AB)-1 = B -1 A-1 4) (A)-1 = -1 A-1 5) (AT )-1 = (A-1 )T 6) det A · det A-1 = 1 T~ oestus. T~oestame n¨aiteks omaduse 3). Arvutame
annaabi.ee 
