9. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f (x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon y = f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x1, x2, . . . , xn, y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f (x) osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. TÄIENDATUD ! KAHTLANE, GERDI SLAIDILT 11. Tuletada pinna puutujatasandi võrrand kahe- või mitmemuutuja juhul. MINA KIRJUTAKS SAMA, MIS 12. 12. Tuletada pinna normaalsirge võrrand kahe- või mitmemuutuja juhul. Ehk siis kui saate "Tuletada pinna puutujatasandi võrrand kahe- või mitmemuutuja juhul." kirjutaksin Lause 1. osast selle osa 1.7.3 ja 12. küsimuse puhul lause 1.7.4. Kuid ka tõestusest on võimalik midagi ära jätta - see aga suht keeruline, peaks liiga süvendatult lugema... kergem on kirjutada see kogu tõestus maha ja
+muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt. Pidevuse tarvilik ja piisav tingimus. 9. Sõnastada m-muutuja funktsiooni osatuletis. 10. Kahe muutuja funktsiooni osatuletise geomeetriline tähendus. 11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised. 13. Näidata, kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised zxy ja zyx on pidevad punktis P(x, y), siis selles punktis zxy = zyx. 15. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus. +graafik 16. m-muutuja täisdiferentsiaal, m-muutuja funktsiooni diferentseeruvus, kõrgemat järku täisdiferentsiaal. +vihik +tõestus 19
9. Olgu ühemuutuja funktsioon y=f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn). 11. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge ning selle võrrand. Tuletada vastavad võrrandid kahe- või mitmemuutuja juhul. Sirget, mis läbib punkti P(x(to)), y(to), z(to) ja on vektori (x(to), y(to), z(to)) sihiline, nimetatakse joone X(t)=(x(t), y(t), z(t)) puutujaks punktis P. Tasandit, millel asuvad kõik pinna punkti P läbivate joonte puutujad nimetatakse puutujatasandiks punktis P. Normaalsirgeks punktis P nimetatakse punkti P läbivat sirget, mis on
Fy Fz Fz Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad. Ilmutamata funktsiooist saab osatuletist võtta ka kohe. Sel juhul tuleb silmas pidada, missugune muutuja on osatuletise võtmise juures funktsioon, missugune muutuja ja missugune konstant. Mitme muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutuse rakendusi Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon F ( x, y , z ) = 0 ja punkt P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ) . Puutujatasandi võrrand punktis P0: Fx ( P0 )( x - x0 ) + Fy ( P0 )( y - y 0 ) + Fz ( P0 )( z - z 0 ) = 0 . n = ( Fx ( P0 ); Fy ( P0 ); Fz ( P0 ) ) . Puutujatasandi normaal punktis P0: Kui funktsioon ei ole antud ilmutamata kujul, tuleb ta ilmutamata kujule viia (kõik võrrandi liikmed ühele poole). Kui puutujatasandi võrrand satub kujule 0 = 0, siis pole puutujatasand üheselt määratud.
6. Pinna z = f (x, y ) puutujatasand ja normaal Def. Pinna z = f ( x, y ) puutujaks punktis A = (a, b, f (a, b )) nimetatakse sellel pinnal asuva ja punkti A läbiva joone puutujat. Väide. Kui punktis A = (a, b ) leiduvad pidevad osatuletised f x ja f y , siis pinna z = f ( x, y ) puutujad punktis A = (a, b, f (a, b )) asuvad kõik samal tasandil. Seda tasandit nimetatakse pinna z = f ( x, y ) puutujatasandiks punktis A . Puutujatasandi võrrand: Pinna z = f ( x, y ) puutujatasandi võrrand punktis A = (a, b, c ) c = f (a, b ) on (z - c ) = f x (a, b )( x - a ) + f y (a, b )( y - b ) . Tõestus. Olgu antud tasand, mis läbib punkti A = (a, b, c ) c = f (a, b ) ja mille normaal on ( r ~ ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ n = A, B , C , siis A( x - a ) + B ( y - b ) + C ( z - c ) = 0 . Olgu C 0 . ~ ~ ~ ~
3. Kolme muutuja funktsioon (definitsioon, näited). 4. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Tõlgendus – mida näitab osatuletis? Kuidas leida osatuletisi? 5. Ekstreemumid (lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon). 6. Statsionaarne punkt (definitsioon). 7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. 8. Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. 9. Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? 10. Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi (nt veahinnang). 11. Gradient (definitsioon, omadused ja tähistused). 12. Tuletis suvalise ühikvektori suunas (tähistus, leidmine). 13. Kahekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kahekordset integraali? 14. Kahekordse integraali rakendusi. 15. Üleminek polaarkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 16. Kolmekordse integraali omadused
nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks 9. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm 10.Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. Globaalseid miinimume ja masksimume on ainult üks, aga lokaaseid võib olla mitu. Lokaalsete ekstreemumite leidmisel ei pea hakkama leidma statsionaarseid punkte piirkonna D rajal ja rajatippudes, aga globaalsete ekstreemumite leidmisel peab. 11.Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? z−z 0=f x ( x 0 ; y 0 ) ( x−x 0 ) + f y ( x 0 ; y 0 )( y− y 0) Vastavat lineaarset kahe muutuja funktsiooni L ( x , y )=f ( x 0 ; y 0 ) +f x ( x0 ; y 0 ) ( x−x 0 ) + f y (x 0 ; y 0 )( y− y 0 ) nimetatakse orginaalse funktsiooni f(x,y) lineariseerimiseks punktis ( x0 ; y0 ; z0 ) IDEE: 12.Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi
( (B/ A) *y)^2) = A ( (x + ((B/A)*y)^2 + ((AC - B^2) /A2)*(y)^2). Et ( x + (B/A)*y) ^2 0, siis selleks, et suurus säilitaks vektori (x, y) nullist erinevate väärtuste korral märki, peab ((AC - B^2 )/ A^2 ) * (y) ^2 olema mittenegatiivne. Tuletada pinna puutujatasandi vorrand kahe- või mitmemuutuja juhul. Seega AC - B^2 /A^2 > 0, st AC -B^2 > 0. Tõesti, kui suurus AC - B^2 / A^2 on negatiivne, siis ( x + (B/A)*y) ^2 + ( AC - Olgu pind antud võrrandiga = (,), kusjuures (,) on diferentseeruv funktsioon
13. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Täisdiferentsiaali kordajate Ci valemid funktsiooni osatuletiste kaudu (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Funktsiooni argumentide diferentsiaalid ja nende kasutamine täisdiferentsiaali valemis. 14. Tõestada liitfunktsiooni osatuletise valem. 15. Täisdiferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes ja veahinnangutes. 16. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge. Avaldada normaalvektori koordinaadid ja tuletada normaalsirge kanoonilised võrrandid. 17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18. Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Gradient ja gradientväli. Suunatuletise valemi esitus gradiendi kaudu (gradiendi omadus 1). Tõestada, et funktsiooni tuletis on kõige suurem gradiendi suunas. Kolmemuutuja funktsiooni
. . + Cm* xm valemist z = C1* x1 + C2* x2 + . . . + Cm* xm + nim. funktsiooni täisdiferentsiaaliks kohal A ja tähistatakse dz või d. · Tõestus: Ci = xi`(A) z = Ci* xi + g = g'(ai) * xi + (xi) * xi Ci - g`(ai) = ((xi) * xi ) / xi Dxi = 0 * x1 + 0 * x2 + . . . + 0 * xi-1 + 1 * x1 + 0 * xi+1 + . . . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis.
. . + Cm* xm valemist z = C1* x1 + C2* x2 + . . . + Cm* xm + nim. funktsiooni täisdiferentsiaaliks kohal A ja tähistatakse dz või d. · Tõestus: Ci = xi`(A) z = Ci* xi + g = g'(ai) * xi + (xi) * xi Ci - g`(ai) = ((xi) * xi ) / xi Dxi = 0 * x1 + 0 * x2 + . . . + 0 * xi-1 + 1 * x1 + 0 * xi+1 + . . . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis.
‖∝ 𝑥‖ = ∑|∝ 𝑥𝑘2 | = ∑|∝|𝑥𝑘2 = |∝| ∑ 𝑥𝑘2 = |∝|‖𝑥‖ 𝑡→0+ √(𝑡𝑙𝑥 )2 +(𝑡𝑙𝑦 )2 +(𝑡𝑙𝑧 ) 2 pinnale 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) puutujatasandi ja normaali võrranditele vastavalt kuju 𝑧 − 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓𝑦 (𝑎. 𝑏)(𝑦 − 𝑏)
(6.29) xi Kuna (xi )xi ja on k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aikesed suurused xi suhtes protsessis xi 0 siis v~orduse (6.29) parem pool l¨aheneb nullile kui xi 0. Seega peab vasak pool (mis on konstantne) v~orduma nulliga. Seega Ci - g (ai ) = 0 ehk Ci = g (ai ). L~opuks, kuna g (ai ) = fxi (A), saamegi valemi (6.25). Sellega on u ¨laltoodud v¨aide t~oestatud. 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. Tasandit, mille v~orrandiks on (6.32), nimetatakse pinna z = f (x, y) puutu- jatasandiks punktis B = (a, b, f (a, b)). z = f (a, b) + fx (a, b)(x - a) + fy (a, b)(y - b) . (6.32) Pinna z = f (x, y) normaalvektoriks punktis B nimetatakse vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis
1. Kahe muutuja funktsioon ja selle osatuletise rakendused: ekstreemumi leidmine, pinna puutuvtasapind ja normaal, näiteid Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit
need on vastavalt pinna z f x, y ja tasandite x a ja y b lõikumisel tekkinud joonte l x ja l y puutujate tõusud z x tan , z y tan . Funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaaliks dz või df nimetatakse avaldist dz f x x, y dx f y x, y dy Funktsiooni, millel on täisdiferentsiaal, nimetatakse diferentseeruvaks. Nagu jooniselt näha, kujutab funktsiooni z f x, y täisdiferentsiaal geomeetriliselt funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi (z-koordinaadi) muutu üleminekul punktist P x, y punkti P 1 x x, y y. Näide 4. Funktsiooni z x 2 sin y osatuletised on z x 2x sin y y const z y x 2 cos y x const ja täisdiferentsiaal dz 2x sin y dx x 2 cos y dy. Selle väärtus punktis 2, 4 kui x 0, 01 ja y 100 on
s x y z s z z u u u u Gradient grad z = i+ j grad u = i+ j+ k = grad u x y x y z s max Puutujatasandi võrrand Fx( x x0 ) + Fy ( y y 0 ) + Fz( z z 0 ) = 0 x x0 y y 0 z z 0 Normaali võrrand = = Fx Fy Fz 1 Joone kõverus Kõverusraadius R= k
s x y z s z z u u u u Gradient grad z = i+ j grad u = i+ j+ k = grad u x y x y z s max Puutujatasandi võrrand Fx( x x0 ) + Fy ( y y 0 ) + Fz( z z 0 ) = 0 x x0 y y 0 z z 0 Normaali võrrand = = Fx Fy Fz 1 Joone kõverus Kõverusraadius R= k
x ' f ( x; y + y ) - f ( x; y ) Analoogselt y järgi lim y 0 y . Geomeetriliselt näitab osatuletis x järgi pinna (funktsiooni z=f(x;y) graafiku) puutujatasandi tõus x-telje sihis. Osatuletis z x' võrdub arvuliselt pinna z = f (x, y) ja tasapinna y = const lõikejoone puutuja tõusunurga tangensiga. Kõrgemat järku osatuletis- Olles arvutanud osatuletise , saame leida ka kõrgemat järku osatuletisi , 2z Teist järku osatuletist x järgi tähistame kas z xx'' , z x'' 2 , z x 2 , , tavaliselt eelistame teisena esitatud
y on konstantne (muutumatu) ja seejärel arvutame funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte (sisu sama, mis ühe muutuja korral). f ( x; y + y ) - f ( x; y ) lim y Tuletis y järgi analoogiliselt y 0 . Geomeetriliselt näitab osatuletis x järgi pinna (funktsiooni z = f (x;y) graafiku) puutujatasandi tõusu x telje sihis. Kõrgemat järku osatuletis. Arvutades osatuletised osatuletistest saame teist (ja kõrgemat) järku osatuletised. Teist järku '' 2z z xx , z x'' 2 , z x 2 , 2 osatuletist x järgi tähistame kas x , tavaliselt eelistame teisena esitatud kirjapilti. Segaosatuletiseks nimetame teist (või kõrgemat) järku osatuletist, kus tuletis on võetud
Et grad u = , , ja r? = { x?, y?, z?} x y z Siis me saime tulemuseks, et ? ? grad u r? = 0 grad u r? Järelikult on gradient risti joone L puutujaga punktis P( x 0 , y 0 , z 0 ) . Et joon L oli suvaline joon nivoopinnal, mis läbis punkti P, siis on gradient risti kõigi selliste joonte puutujatega. Järelikult on gradient risti ka puutujatasandiga ning nivoopinnaga. M.O.T.T. Nüüd saame kirjutada pinna puutujatasandi ning normaali võrrandid. Olgu pind esitatud ilmutamata funktsiooni kujul F ( x, y , z ) = 0 Teoreemi 12.1 kohaselt võima puutetasandi normaalvektoriks võtta F F F n = grad F = , , x P y P z P Seega puutetasandi võrrand on F F F ( x - x0 ) + ( y - y0 ) + ( z - z 0 ) = 0 (12.1) x P y P z P ja normaali võrrandid kanoonilisel kujul
Algkoonuste ühine moodustaja OP on suhtelise liikumise telg. Hambumistasandi ja sfääri lõikumisel tekkiv suurring (vastab hambumissirgele) on tähistatud tähtedega M1PKM2. Hambumistasand on aluskoonuste ühine puutujatasand. Puude toimub piki moodustajaid OM1 ja OM2. Peadekoonused piiravad hambumistasandi aktiivosa (sektor aOb ning silinderrataste hambumissirge aktiivosale vastab suurringi kaar ab. Algkoonuste ühise puutujatasandi asendit näitab suurringi kaar t-t. Hambumistasand ja puutujatasand moodustavad omavahel hambumisnurga w . 4.7.2. Koonusrattad. Koonusülekanded. Silinderekvivalentülekanded Koonushambumise kvantitatiivne uurimine sfäärilise geomeetria abil on üsna keerukas. Seetõttu kasutatakse kvaliteedinäitajate, interferentsivõimaluste jms. uurimisel Tredholdi lähendusmeetodit, kus sfääri pinnal esinevate sfääriliste evolventprofiilide
annaabi.ee 
