a2 b2 c2 = a2 b2 c2 , a2 b2 c2 = a2 b2 c2 , a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 5. funktsioon kasvamise ja kahanemise omadused 1 Iga u ¨lesanne annab 4 punkti. 1 2 6. Funktsioonil y = f (x) on punktis x0 lokaalne miinimum, kui y ordub (x4 + 5x2 )3 ) 7. Millega v~ a b x 8. Kujundi pindala S v~ ordub b ·S = - a f (x) - g(x)dx y = f (x)
b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0). Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ). Defineerime A ja B vahelise kauguse j¨argmise valemiga: |AB| = (a1 - b1 )2 + (a2 - b2 )2 + . . . + (am - bm )2 . (6.1) ¨ Uhe- kahe- ja kolmem~o~otmelisel juhul v~ordub valemiga (6.1) antud kaugus punk- tide A ja B vahele t~ommatud sirgl~oigu pikkusega. Kauguse omadused. 1. A = B siis ja ainult siis kui |AB| = 0. 2. |AB| = |BA|. 3. |AB| |AC| + |CB|. Parameetrilised jooned ruumis Rm . Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud m funkt- siooni x1 = 1 (t), x2 = 2 (t), . . . , xm = m (t). Vaatleme nende funktsioonide v~orranditest moodustatud s¨ usteemi x1 = 1 (t)
Selle v~orduse paremal poolel olev tuletis f'(c) on nullist suurem, kuna me eeldasime f'(x) positiivsust vahemikus (a,b). Nullist suurem on ka vahe x2 - x1, kuna me valisime punktid x1 ja x2 selliselt, et x1 < x2. Seega on valemi parem pool nullist suurem. Saame f(x2)-f(x1) > 0. Sellest j¨areldubki soovitud v~orratus f(x1) < f(x2). V¨aide 2 t~oestatakse analoogiliselt. 30. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Funktsiooni argumendi v¨a¨artusi, mille korral tuletis v~ordub nulliga v~oi l~oplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks (t¨apsemini: esimest j¨arku kriitilisteks punktideks). Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus . Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused . I - Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt.
a 0 k=1 Avades summa m¨argi all sulud ja kasutades asjaolu, et summa ei s~oltu liide- tavate j¨arjekorrast, saame n n I = lim f (k )xk + g(k )xk . 0 k=1 k=1 Summa piirv¨aa¨rtus v~ordub piirv¨a¨artuste summaga, seega n n I = lim f (k )xk + lim g(k )xk , 0 0 k=1 k=1 2 mille liidetavad on m¨a¨aratud integraali definitsiooni kohaselt vastavalt v~ordu- se (5
Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg- mist mittenegatiivset reaalarvu: { a kui a 0 |a| = -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja l~ opmatuste u ¨ mbrused. Reaalarvu a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on u ¨mbruse raadius. Arv x kuulub arvu a u¨mbrusesse (a - , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < .
Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg- mist mittenegatiivset reaalarvu: a kui a0 |a| = -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja l~ opmatuste u ¨ mbrused. Reaalarvu a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on u ¨mbruse raadius. Arv x kuulub arvu a u¨mbrusesse (a - , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < .
mahukad. Mugavam on arvutada determinante allj¨argnevate oma- duste abil. Enne aga defineerime kolmnurkse determinandi. 3.1 Kolmnurkne determinant ¨ Utleme, et determinant on kolmnurksel kujul ehk kolmnurkne, kui tema peadiagonaalist allpool (¨ ulalpool) asetsevad elemendid on nullid. 3.2 Determinantide omadusi Teoreem 2. Determinantidel on j¨ argmised omadused. 1) Kolmnurkne determinant v~ ordub peadiagonaali elementide korrutisega. 2) Kui determinandis on kaks u ¨hesugust rida (veergu), siis on determinant null. 3) Determinant ei muutu, kui tema read kirjutada u ¨mber veer- gudena (loomulikus j¨ arjestuses). 4) Vahetame determinandis kaks rida (veergu). Tulemus v~ ordub esialgse determinandi vastandarvuga. 6 I. Determinandid
Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Viia kompleksarv z u ¨le trigonomeetrilisele kujule: √ 1 z = −3 − 3i 2 z = 6i 3 z = −1 − i Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kordamisk¨usimused 1 Kompleksarvu algebraline kuju. Geomeetriline t˜olgendus. Moodul. Kaaskompleks. 2 ordub z · z¯ ? Olgu z = a + bi. Millega v˜ 3 Tehted kompleksarvudega. 4 Olgu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Kas z1 + z2 = z1 + z2 ? Kas z1 · z2 = z1 · z2 5 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. 6 Lahendage v˜orrandid x2 + 2x + 5 = 0 2x2 − 2x + 1 = 0 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl
n+1 1 1 st n + 1 > ehk n > - 1 Reaalarvu a t¨aisosa t¨ahistatakse [a]. Seda t¨ahistust kasutades saame j¨areldada, 1 et k~oik jada liikmed, mis j¨argnevad liikmele indeksuga N = - 1, on 1-le l¨ahemal kui . Asjaolu, et antud jada piirv¨a¨artus v~ordub 1-ga, kirjutatakse n lim = 1. n n + 1 ¨ Uldisemalt, kui jada (1.1) piirv¨a¨artus on b, siis kirjutatakse lim yn = b. n Jada piirv¨a¨artuse leidmisel on seega k¨usimus p¨ ustitatud u ¨htemoodi: mis-
y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a. Siis f'(a) = lim xa f(x) - f(a)/ x a = lim xa y /x= lim x0 y /x . Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. T~oestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on m¨a¨aratud punktis a, siis on t¨aidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus. J¨a¨ab veel n¨aidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb t~oestada, et lim xa f(x) eksisteerib ja v~ordub arvuga f(a). Kuid see j¨areldub j¨argmisest v~orduste reast: lim xa f(x) = lim xa [f(x) - f(a)] + f(a)= lim xa f(x) - f(a)/ x a * lim xa (x - a) + f(a) = f'(a) · 0 + f(a) = f(a). Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on dife- rentseeruv hulgas D. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1) C' = 0, C - konstant, 2) (xa)' = a x a-1 ,
kusjuures n~ouame, et m < n ja et reaindeksid on fikseeritud kasvavas j¨arjekorras. Olgu nendeks ridadeks i1 , i2 , . . . , im , kusjuures, nagu ¨oeldud, i1 < i2 < . . . < im . Moodustame nendele ridadele toetuvad k~oikv~ oimalikud m m m-j¨arku miinorid. Neid on Cn t¨ ukki. Siin Cn on kombinantsioonide arv n elemendist m kaupa. Teoreem 4.2 (Laplace'i teoreem). Maatriksi X determinant |X| v~ordub k~ oigi selliste korrutiste, mille u ¨heks teguriks on fikseeritud ridadele i1 , i2 , . . . , im toetuv m-j¨ arku miinor ja teiseks teguriks tema algebraline t¨aiend, summaga, s.o. |X| = Mm An-m , (4.5) 37 kus summa tuleb v~otta u ¨le k~
kusjuures n˜ouame, et m < n ja et reaindeksid on fikseeritud kasvavas j¨arjekorras. Olgu nendeks ridadeks i1 , i2 , . . . , im , kusjuures, nagu ¨oeldud, i1 < i2 < . . . < im . Moodustame nendele ridadele toetuvad k˜oikv˜ oimalikud m m m-j¨arku miinorid. Neid on Cn t¨ ukki. Siin Cn on kombinantsioonide arv n elemendist m kaupa. Teoreem 4.2 (Laplace’i teoreem). Maatriksi X determinant |X| v˜ordub k˜ oigi selliste korrutiste, mille u ¨heks teguriks on fikseeritud ridadele i1 , i2 , . . . , im toetuv m-j¨ arku miinor ja teiseks teguriks tema algebraline t¨aiend, summaga, s.o. |X| = Mm An−m , (4.5) 37 kus summa tuleb v˜otta u ¨le k˜
y = tan x (X = (- + k, + k) Y = R T = ) kZ 2 2 ning y = cot x (X = (k, (k + 1)) Y = R T = ). kZ Antud ~oppevahendis on trigonomeetriliste funktsioonide argumendid antud radiaanides. Tuletame meelde, et u ¨ks radiaan on kesknurk, millele vastava ringjoone kaare pikkus v~ordub selle ringjoone raadiusega. Seega on t¨aisnurga suurus /2 radiaani. N¨aide 5. Skitseerime funktsioonide sin x ja cos x graafikud l~oigul [-2; 2] , kusju- ures sin x graafiku skitseerime peene joonega 1.2 1 0.8 y 0.6
suures osas vastav s~onavara ning ka m~oisted kaasaegses keeles kas lihtsalt puuduvad v~oi on t¨ahtsusetud. N¨aiteks m~oiste `ohverdamine' on ilmselgelt t¨anap¨aeval marginaalse v~oi ehk elitaarse sisuga, Shirakawa esitatud kanji et¨umoloogias kumab ohverdamine oma erinevates varjundites pea k~oikjalt l¨abi. Ilmselt tunneks t¨anap¨aeva inimene ennast ohvrianuma ees samav~ord kohatult kui vanakirja oraaklid kas arvutit v~oi pangaautomaati silmitsedes. 47 Eestindamine v~ordub siin u ¨mberpanekuga t¨anap¨aevasesse keelde, mis v~oiks sama h¨asti olla ka inglise keel. 82 L~ opps~ ona K¨aesoleva t¨oo¨ tulemused v~otaksin kokku kolme punktina: 1. Vaadeldud s~onastikud reeglina ei esita kanji m¨arkide morfoloogilis- semantilisi seoseid k¨ ullaldase p~ohjalikkusega. Morfoloogilised sele-
eest. Bornhöe viimase ajaloolise jutustuse «V ür s t G a b r i e l i » südmustik toimub XVI sajandi teisel poolel Liivi sõa pävil. Jutustuse kangelane, noor vene vüst Gabriel Sagorski, on ema poolt eestlane ja esinebki tegevuse algul eesti talupojana. Teose sü .eeliseks teljeks on Gabrieli armastus aadlipreili Agnese vastu, keda viimase isa, mõsameeste peajik Mönikhusen, tahab anda naiseks rü utel Risbiterile. Mitmesuguste keerukate olukordade tõtu lahutatuna oma armastatust, pö ordub Gabriel tagasi Ivan IV väede juurde, kogub enese über väosa eesti talupoegadest, millega tekitab mõsameestele raskeid kaotusi ja võab vene sõavä koosseisus osa Tallinna piiramisest 1577. a. Päast rohkeid ohtlikke seiklusi õnestub Gabrielil vabastada ka Agnes Pirita kloostrist, kus neiu on sattunud sadistliku abtissi meelevalla alla. «Vüst Gabriel» kinnitab ajaloolisa tõpäasusega, et orjastatud eesti talurahva väjaastumised feodaalide vastu jäkuvad ka hilisematel sajanditel
annaabi.ee 
