5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n
7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk- tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk-
7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk- tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk-
Uhepoolselt pidevad funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pi- devaks punktis a, kui 1. f on m¨a¨aratud argumendi v¨a¨artusel a, st a X, 2. eksisteerib l~oplik vasakpoolne piirv¨a¨artus lim xa- f(x), 3. lim xa- f(x) = f(a). Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Vahemikus ja lõigul pidevad funktsioonid. Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a,b) k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Kui funktsioon f on m¨a¨aratud l~oigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning l~oigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev l~oigul [a,b]. Elementaarfunktsioonide pidevus. k~oik elementaarfunktsioonid on oma m¨aa¨ramispiirkonnas pidevad 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Kui leidub punkt x1 l~oigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult kehtib
nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23
Siis x - x1 > 0. Jagades v~orratuse positiivse arvuga x - x1 saame f(x) - f(x1)/ x - x1 0. V~otame piirv¨a¨artuse: F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 V~orratused n¨aitavad, et f'(x1) 0 ja f'(x1) 0. See on v~oimalik vaid siis, kui f'(x1) = 0. Seega on lemma t~oestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab k¨asitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f'(c) = 0. T~oestus. Kuna f(x) on pidev l~oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x)
j,k = ( 2)j (2j x - k) (j, k Z) leiavad kasutamist signaalide kirjeldamisel. N¨aide 7. Olgu [x] arvu x t¨ aisosa, st suurim t¨aisarv, mis ei u ¨leta arvu x. Nii funktsiooni y = [x] kui ka funktsiooni y = x - [x] m¨a¨aramispiirkond on R ja muu- tumispiirkonnad vastavalt k~oigi t¨ aisarvude hulk Z ja pooll~oik [0; 1) . Skitseerime nende funktsioonide graafikud l~ oigul [-2; 3] : 2 2 y y 1 1 -2 -1 1 x 2 3 -2 -1 1 x 2 3
KT2 Pöördfunktsiooni tuletis on antud funktiooni tuletise pöördväärtus. Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t)
Matemaatiline analüüs I (Vähendatud programmi teooria vastused) Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne g...
1 1 1 -2 1 1 .O.i.u = ln x, du = dx, dv = 3 dx = x-3 dx, v = x-3 dx = x = - 2. x x -2 2x 8. Leida funktsioonide f (x) = -0, 5x2 + 1 ja g(x) = -3 + ex vahele j¨a¨ava kujundi pindala vahemikus x-telje vahele j¨a¨ava kujundi pindala vahemikus x1 = -2 kuni x2 = 1 (1p). Lahendus. V~oib veenduda (joonise abil), et antud l~oigul on f (x) graafik u ¨lalpool g(x) graafikut. Seega 1 1 1 S= [f (x) - g(x)]dx = [(-0, 5x2 + 1) - (-3 + ex )]dx = (-0, 5x2 + 4 - ex )dx =
Seega, kui punkt x = a kuulub elementaarfunktsiooni f(x) määramispiirkonda (st on täidetud pidevuse 1. tingimus), siis on automaatselt täidetud ka pidevuse 2. ja 3. tingimus ning me saame piirväärtuse arvutamisel punktis a kasutada valemit limf(x) = f(a). xa 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul Olgu antud funktsioon f, mis on määratud l~oigul [a, b]. Kui leidub punkt x1 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b]. 17
Arvutame: Seega F(a) = F(b). Ühtlasi on F(x) pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b). Järelikult rahuldab F(x) Rolle'i teoreemi eeldusi. Rolle'i teoreemi põhjal leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et F(c) = 0. Leiame funktsiooni F(x) tuletise: Seega Siit järeldub, et Jagades suurusega g(c), mis eelduse tõttu erineb nullist, saame valemi . Teoreem on tõestatud. Teoreem 3.6 (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f on l~oigul [a, b] pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus. Lagrange'i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. Tõepoolest, võttes Cauchy teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g(c) = 1 ja valemist järeldubki . Lagrange'i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt. Punktidest A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) läbi tõmmatud lõikaja t tõus võrdub suhtega
seega on P = (x1, f(x1)) käänupunkt. Jagades suurusega g(c), mis eelduse tõttu erineb nullist, saame valemi . Teoreem on tõestatud. 32Joone asümptoodi definitsioon: Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = Teoreem 3.6 (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f on l~oigul [a, b] pidev ja vahemikus f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et nullile. Vertikaalasümptoodid
. . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ). Defineerime A ja B vahelise kauguse j¨argmise valemiga: |AB| = (a1 - b1 )2 + (a2 - b2 )2 + . . . + (am - bm )2 . (6.1) ¨ Uhe- kahe- ja kolmem~o~otmelisel juhul v~ordub valemiga (6.1) antud kaugus punk- tide A ja B vahele t~ommatud sirgl~oigu pikkusega. Kauguse omadused. 1. A = B siis ja ainult siis kui |AB| = 0. 2. |AB| = |BA|. 3. |AB| |AC| + |CB|. Parameetrilised jooned ruumis Rm . Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud m funkt- siooni x1 = 1 (t), x2 = 2 (t), . . . , xm = m (t). Vaatleme nende funktsioonide v~orranditest moodustatud s¨ usteemi x1 = 1 (t) x2 = 2 (t) (6.2) ... xm = m (t) , t [T1 , T2 ] . S¨ usteem (6
a, b ∈ R, a ≤ b, et f (X) = [a; b]. T˜oestus. Kuna pidev kujutus kujutab kompaktse hulga kompaktseks ja sidusa hulga sidusaks hulgaks, siis on kujutuse f v¨a¨artuste hulk f (X) kompaktne ja sidus hulk arvteljel, st avaldub teoreemi s˜onastuses n¨aidatud kujul. Teoreemist 8.7 j¨arelduvad vahetult matemaatilise anal¨ uu¨si kursusest tuntud Weierstrasse’i teoreem, mille kohaselt l˜oigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed v¨a¨artused sellel l˜oigul, ja Bolzano-Cauchy teoreem, mille kohaselt l˜oigul pi- dev funktsioon omab iga v¨a¨artust, mis paikneb ekstremaalsete v¨a¨artuste vahel. 8.3 Lineaarne sidusus K¨aesolevas alapunktis t¨ahistagu I k˜oikjal l˜oiku [0; 1], mida vaadeldakse topoloogilise ruumi R alamruumina. ♣♣♣♣♣♣♣♣♣0 ♣q tq 1q ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣✲
annaabi.ee 
