ka 6 loengut topoloogia p˜ohim˜oistetest. K¨aesolev loengukons- pekt ongi nende kuue loengu u ¨mbert¨o¨otatud ja t¨aiendatud variant. Vormistatud on see eesm¨argiga, et tulevikus on se- minaride jaoks allikmaterjal, kust vajaduse korral tutvuda v˜oi tuletada meelde vajaminevaid topoloogia m˜oisteid. Autor 1 TOPOLOOGILINE RUUM 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon Olgu X mis tahes hulk ja P(X) tema k˜oigi alamhulkade hulk. Definitsioon 1.1 Hulga X alamhulkade hulka T ⊂ P(X) nimetatakse topoloogiaks hulgal X, kui T rahuldab j¨argmisi tingimusi: 10 ∅ ∈ T , X ∈ T ; 20 mis tahes koguses hulgast T v˜oetud hulga X alamhulkade ¨hend kuulub samuti hulka T (st T on kinnine u u ¨hendi v˜otmise suhtes); 30 l˜opliku arvu hulgast T v˜oetud hulga X alamhulkade u ¨his-
vastavusse elemendi hulgast Y R, siis ¨oeldakse, et on antud funktsioon hulgal X. Funktsioone t¨ahistatakse matemaatikas f ,g,h,...,',jne. f (x) = avaldis x-ist f (x) = x + 1. Funktsiooni esitusviisid I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1 I Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon.
Komistamiie töövaheidite ja juhtmete taha. Komistamise peamiie põhjus oi töökoha puudulik korrashoid. Tavaliselt ei kujuidata töökohti iii, et seal oi võimalik komistamist vältida. Komistamist põhjustavad esemed jäetakse siiia töö tegemise ajal. Kõige ohtlikumad oigi ootamatud takistused liikumisteel. Õiietusjuhtumite korral oi võimalikud väga rasked tagajärjed. Libisemis- ja kukkumisoht Liiiud Korralik allapaiu tibudel, muidu võivad tibud libiseda ja eid määrida ja vigastada. II
Arvhulkade vahel valitseb seos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . . imaginaar¨ uhik: i2 = −1 Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨ uhik, nimetatakse kompleksarvuks. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja t¨ahistatakse Re(z) = a, arvu b nimetatakse imaginaarosaks ja t¨ahistatakse Im(z) = b. K˜oigi kompleksarvude hulk t¨ahistatakse s¨umboliga C. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvude ajaloost Itaalia matemaatikud Gerolamo Cardano (1501 - 1576) ja Niccolo Fontana Tartaglia (1499/1500 - 1557) uurisid kuupv˜orrandi ax3 + bx + c = 0 lahendamist. Teist ja kolmandat j¨
kalds¨ ¨ ummeetrilised. Uhikmaatriks on s¨ ummeetriline, sest E = E. Samas n-j¨arku nullmaatriks on samaaegselt nii s¨ummeetriline kui ka kalds¨um- meetriline, sest = ja = -. Definitsioon 1.11. K~ oikv~ oimalike m~ o~otmetega maatriksite hulka t¨ a- histame M at abil. K~ oigi (m, n)-j¨ arku maatriksite hulka t¨ahistame aga M at(m, n) abil. 8 1.2. Maatriksite liitmine, selle omadused Enne, kui anname maatriksite liitmise m~oiste, p¨o¨ordume korraks tagasi meile tuntud reaalarvude hulga R juurde. Selles hulgas on antud liitmine ja korrutamine. Tegelikult on reaalarvude liitmine ja korrutamine u ¨hesuguse
ummeetriline, sest E = E. Samas n-j¨arku nullmaatriks θ on samaaegselt nii s¨ ummeetriline kui ka kalds¨um- meetriline, sest θ = θ ja θ = −θ. Definitsioon 1.11. K˜ oikv˜ oimalike m˜ o˜otmetega maatriksite hulka t¨ a- histame M at abil. K˜ oigi (m, n)-j¨ arku maatriksite hulka t¨ahistame aga M at(m, n) abil. 8 1.2. Maatriksite liitmine, selle omadused Enne, kui anname maatriksite liitmise m˜oiste, p¨o¨ordume korraks tagasi meile tuntud reaalarvude hulga R juurde. Selles hulgas on antud liitmine ja korrutamine. Tegelikult on reaalarvude liitmine ja korrutamine u ¨hesuguse
deks (j) osutab veergu (veeruindeks), kus element aij asetseb. Ar- vupaari k × n := (k, n) nimetatakse maatriksi A j¨ arguks. Selguse huvides v~oib maatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt (aij )k × n . Kui k = n, siis ¨oeldakse, et A on ruutmaatriks. Ruutmaatriksi j¨arguks nimetame lihtsalt selle maatriksi ridade (ehk veergude) ar- vu. Elementide j¨arjendit a11 , a22 , . . . nimetatakse (ruut)maatriksi A peadiagonaaliks. K~oigi k × n-j¨arku reaalarvuliste elementidega maatriksite hul- ka t¨ahistame edaspidi Matk × n := Matk × n (R). 1.2 Aritmeetilised vektorid ¨ Uherealisi ja u ¨heveerulisi maatrikseid nimetatakse ka (aritmeeti- listeks) vektoriteks. Aritmeetiliste vektorite elemente nimetatakse tavaliselt vektori koordinaatideks ehk komponentideks. Aritmeetiliste vektorite hulgadeks on seega Mat1 × n ja Matk × 1 . Maatriksi ridadest moodustatud u ¨herealisi maatrikseid nime-
59. Kasutads lisaekraani'fulefada paaniidi TB( ja tasandi ,)' ldike kaksvaad ning l6ike oigi- aaIVon. ,t 57. opHep- 'ry erH paHe pvl| > !1
J¨argnevalt on graafikute skitseerimiseks kasutatud p~ohiliselt paketti SWP, vaid m~onin- gatel erijuhtudel on kasutatud TE X-is kirjutatud programme. M~oiste "funktsioon" asemel kasutatakse ka m~oistet "kujutus." Hulka f (X) nimeta- takse hulga X kujutiseks kujutamisel funktsiooniga f. Kui anal¨ uu¨tiliselt esitatud funkt- siooni y = f (x) korral ei ole funktsiooni m¨a¨aramispiirkond fikseeritud, siis funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks X loetakse k~ oigi nende argumendi x v¨a¨artuste hulka, mille korral 8 antud eeskiri y = f (x) omab m~otet. Olgu edaspidi lihtsuse m~ottes Y = f (X). Funktsiooni defineerimisel k~ oneldakse hulga X elemendile hulga Y elemendi vas- tavusse seadmisest, kuid ei fikseerita vastavusse seadmise viisi, mille abil vastavus re- aliseeritakse. Enam levinud funktsiooni esitusviisid on:
25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f'(c) = 0. T~oestus. Kuna f(x) on pidev l~oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas l~oigu [a,b] otspunktis v~oi vahemikus (a,b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes
Samas mitte¨ uhtlase liikumise korral on ka kiirus muutuv suurus. Seega v~oib konkreetne suurus olla u ¨hes protsessis j¨a¨av kuid teises protsessis muutuv. Nii matemaatikas kui f¨ uu ¨sikas on olemas ka suurusi, mis igas olukorras on j¨a¨avad. Neid suurusi nimetatakse absoluutseteks konstantideks. Absoluutsed konstan- did on n¨aiteks ringjoone u¨mberm~ o~odu ja l¨abim~o~odu suhe , valguse kiirus c jne. Muutumispiirkonna m~ oiste. Muutuva suuruse k~oigi v~oimalike v¨a¨artuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. N¨aiteks keha tempe- ratuur v~oib teoreetiliselt omada k~oiki v¨a¨artusi, mis on suuremad v~oi v~ordsemad kui absoluutne miinimum -273.15 C. Seega on temperatuuri muutumispiirkond l~opmatu pooll~oik [-273.15; ). 3 Funktsiooni m~ oiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk u
Seega v~oib konkreetne suurus olla u ¨hes protsessis j¨a¨av kuid teises protsessis muutuv. Nii matemaatikas kui f¨ uu ¨sikas on olemas ka suurusi, mis igas olukorras on j¨a¨avad. Neid suurusi nimetatakse absoluutseteks konstantideks. Absoluutsed konstan- did on n¨aiteks ringjoone u ¨mberm~o~odu ja l¨abim~o~odu suhe , valguse kiirus c jne. Muutumispiirkonna m~ oiste. Muutuva suuruse k~oigi v~oimalike v¨a¨artuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. N¨aiteks keha tempe- ratuur v~oib teoreetiliselt omada k~oiki v¨a¨artusi, mis on suuremad v~oi v~ordsemad kui absoluutne miinimum -273.15 C. Seega on temperatuuri muutumispiirkond l~ opmatu pooll~oik [-273.15; ). 3 Funktsiooni m~ oiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks
. . , xm ), . . . , un = n (x1 , x2 , . . . , xm ) argumendist P = (x1 , x2 , . . . , xm ) s~oltuvad m-muutuja funktsioonid ja z = F (u1 , u2 , . . . , un ) argumendist (u1 , u2 , . . . , un ) s~oltuv n-muutuja funktsioon. Vaatleme liitfunktsiooni z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) = F 1 (x1 , x2 , . . . , xm ), 2 (x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , n (x1 , x2 , . . . , xm ) . Eeldame et liitfunktsiooni f komponentidel 1 , . . . , n ja F eksisteerivad osat- uletised k~oigi argumentide suhtes mingis vaadeldavas punktis. Fikseerime funktsiooni f argumendi xi ja vaatleme f osatuletist selle argu- f mendi suhtes, st x i . Selle osatuletise jaoks kehtib j¨argmine valem komponen- tide 1 , . . . , n ja F osatuletiste kaudu: n f F 1 F 2 F n F j
Tagasiasendus t = x + x2 + 2x + 3 annab tulemuseks dx = ln |x + 1 + x2 + 2x + 3| + C. x2 + 2x + 3 9.2.2. Euleri teine asendus Kui integraalis (9.15) a < 0 siis peab ruutkolmliige ax2 + bx + c rahuldama tingimust b2 - 4ac 0, sest vastasel korral ruutkolmliikmel nullkohad puuduksid, st ax2 + bx + c < 0 k~oigi x v¨a¨artuste korral ja ruutjuur ei omaks m~otet. Seega on ruutkolmliikmel olemas reaalsed nullkohad x1 ja x2 , st ax2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x2 ). Integraali (9.15) ratsionaliseerimiseks kasutatakse Euleri teist asendust ax2 + bx + c = t(x - ), (9.17) kus on u ¨ks nullkohtadest x1 v~oi x2 . Oletame konkreetsuse m~ottes, et = x1 . T~ostes v~orduse (9
misega kinnistas Qin algselt sakraalsetele ja rituaalikesksetele m¨arkidele profaneeritud t¨ahenduse. V¨aikse u ¨markirja m¨ argid on t¨anap¨aevalgi laialdaselt kasutusel, eelk~oige pitsatites , siit nende u ¨ldlevinud nimetamine pitsatkirjaks. Standardiseeritud u ¨markirjam¨arkide teke t¨ahendas ka kalligraafia s¨ undi-- tekkis teadlik soov m¨arke kaunilt, k~oigi reeglite kohaselt, kirjutada. Vanakirja puhul oli primaarseks m¨arkide sakraalne sisu, mitte niiv~ord kirjutise vorm. Totalitaarse Qin valitsuskestvus j¨ai paraku l¨ uhikeseks ning uus u ¨markiri kaotas kiiresti oma positsiooni p¨arast d¨ unastia varisemist, Han-valitsus peatas m¨ arkide kasutamise koheselt ning j¨argmiseks levinuimaks kirja-
jälkuses! paisuma. Ta tahtis juba ümber pöörata ja oma teed edasi minna, kui ta korraga selja tagant rasket kätt oma õlale tundis langevat. Järsku ümber pöörates nägi ta enese ees laia näoga sõjameest seisvat, kes temale täie õllekannu nina alla pistis: «Säh joo, külamees! Sa oled tubli poiss, kellest minu süda rõõmu tunneb. Nägin, kuidas sa metsas neli junkrut hüppama panid.» «Kas seesama oigi hüüti mitmest küljest. «Seesama neh!» tõendas laia näoga sõjamees. «Kahju, et ma oma silmaga ei näinud, kuidas ta Risbiteri hobuse seljast maha pühkis. See nali on vähemasti vaadi õlle vääriline.» «Paras Risbiterile!» hüüdsid hääled ümberringi ja igast küljest pakuti Gabrielile juua. Gabriel võttis pooltahtmatult ühe kannu ja jõi. Nüüd ei pääsenud ta enam sõjameeste seltsist. Reda sunniti istuma ja näitama, «mis mees ta on» 246
annaabi.ee 
