1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised
seob vastutustunne Eesti eest. Kodanikuna peame iseenesestmoistetavaks, et riik hoolib ja kaitseb meid, loob turvatunde. Nagu naiteks see, et sojavae teenistusse voetakse ainult kodanikke. Samas on meil hasti palju kodanikkest noormehi kes, kas lihtsalt viilivad sellest voi hoopis leiavad aega tegeleda alkoholiga, narkootikumidega ja muuga. Aga kas see tagab meile kindlat ja tugevat riigikaitset, vahe usutav. Selleparast oeldakse et rahvas on korgeim voimukandja, kuna valida saavad ainult kodanikud. Kas oskame naha end kodanikuna moistes riik? Tundub kuidagi kauge ja korge, meist valjaspool asuv.Kodanik tahab oigustatult teada, miks sunnivad uhed voi teised poliitilised otsused, et neid siis hinnata. Hindamiskriteeriumiks votame kas positsiooni, heaolu tousu voi languse lahtuvalt iseendast. Kaugeleulatuvamaid hinnanguid on raskem teha, sest need pole veel kaega katsutavad
Funktsiooni m˜oiste Definitsioon 1 Kui on antud eeskiri, mis hulga X R igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Y R, siis ¨oeldakse, et on antud funktsioon hulgal X. Funktsioone t¨ahistatakse matemaatikas f ,g,h,...,',jne. f (x) = avaldis x-ist f (x) = x + 1. Funktsiooni esitusviisid I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud.
Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaosaks. J¨a¨akliikme v~oib v¨aikese x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C - konstant, 5. d(u/ v)= (vdu-udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1).
kui koik umbrusesse ¨ UK (0) = (-K , K ) mingi K > 0 korral. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 14 / 25 Funktsioon Funktsioon Definitsioon (Funktsioon) Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y ¨ hulgast Y , siis oeldakse, et hulgal X on ma¨ aratud ¨ (uhene) ¨ funktsioon f f ¨ ja seda vastavust tahistatakse kas y = f (x) (x X ) voi ~ x - y . Hulka X nimetatakse funktsiooni f ma¨ aramispiirkonnaks
a11 a12 ... a1n a11 a12 . . . a1n a21 a22 ... a2n a21 a22 . . . a2n det A := det . .. := .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann Determinandi det A ridade ja veergude all m~oeldakse maatriksi A ustkriipse | · | nimetame determinandi m¨arkideks. ridu ja veerge. P¨ I. Determinandid 3 1.8 Miinor ja alamdeterminant Maatriksi A = (aij ) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse de- terminanti, mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j- inda veeru eemaldamisel. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk al- aiendiks nimetatakse arvu Aij := (-1)i+j Mij . Suurust gebraliseks t¨
liiki.) 15. Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid. Uhepoolselt pidevad funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pi- devaks punktis a, kui 1. f on m¨a¨aratud argumendi v¨a¨artusel a, st a X, 2. eksisteerib l~oplik vasakpoolne piirv¨a¨artus lim xa- f(x), 3. lim xa- f(x) = f(a). Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Vahemikus ja lõigul pidevad funktsioonid. Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a,b) k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Kui funktsioon f on m¨a¨aratud l~oigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning l~oigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev l~oigul [a,b]. Elementaarfunktsioonide pidevus. k~oik elementaarfunktsioonid on oma m¨aa¨ramispiirkonnas pidevad 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul.
"n 6N" ei ole tarvilik v¨ aite "n 3N" t~oesuseks, n¨aiteks "9 / 6N", kuid "9 3N". T¨ahistus AB (0.2.3) on l¨uhikirjapilt v¨aitele "laused A ja B on loogiliselt samav¨ a¨arsed ", st kui lause A on t~oene, siis ka B on t~oene, ja vastupidi, kui lause B on t~oene, siis on t~oene ka A. V¨aidet (0.2.3) v~oib kirja panna ka kujul (A B) (B A) . Veel ¨oeldakse v¨ aite (0.2.3) korral, et tingimus A on tarvilik ja piisav v¨aite B t~oesuseks ehk v¨aide B on t~oene parajasti siis (siis ja ainult siis), kui on t~oene v¨aide A. N¨aiteks v¨aide ((n 3N) (n 2N)) (n 6N) ehk l¨ uhidalt n 3N n 2N n 6N (0.2.4) on (0.2.3) t¨ uu¨pi. V¨ aidet (0.2.4) v~
valises punktis c (-; ) kaheks, c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx, - - c ning tekkinud liidetavatest esimene on l~opatu alumise rajaga p¨aratu integraal ja teine l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratu integraal. Definitsioon 3. Kui v~ordustes (5.8) v~oi (5.9) esinev piirv¨a¨artus on l~oplik, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal koondub, kui piirv¨a¨artus on l~opmatu v~oi piirv¨a¨artust ei ole olemas, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. N¨ aide 7. Olgu a > 0. Uurime, milliste v¨a¨artuste korral p¨aratu integraal dx koondub ja milliste v¨a¨artuste korral hajub. a x Leiame N dx dx
. . , bn , saame x ∈]a; b[⊂ Ai iga i korral. J¨arelikult x ∈]a; b[⊂ A = ∩ni=1 Ai . Kuna x oli valitud mis tahes elemendina hulgast A, siis hulga T definit- siooni kohaselt A = ∩ni=1 Ai ∈ T . Seega T rahuldab ka lahtistele hulkadele esitatavat n˜ouet 30 ja (R, T ) on topoloogi- line ruum. Saadud topoloogiat T nimetatakse loomulikuks topoloogiaks reaalarvude hulgal R. Kui ei ole ¨oeldud midagi muud, siis r¨a¨akides reaalarvude hulgast R kui topoloogili- sest ruumist, m˜oeldakse teda ruumina loomuliku topoloogia suhtes. Teoreem 1.1 Kui Ti , kus i ∈ I (I - indeksite hulk), on topoloogiad hulgal X, siis ka ∩i∈I Ti on topoloogia hulgal X. T˜oestus. Olgu Ti , i ∈ I, topoloogiad hulgal X ja T = ∩i∈I Ti . N¨aitame, et T on topoloogia hulgal X. Kuna hulgad 8 1 TOPOLOOGILINE RUUM Ti rahuldavad definitsiooni 1.1 n˜oudeid 10 − 30 (v˜otta seal T = Ti ), siis ∅ ∈ Ti ja X ∈ Ti iga i korral ja seet˜ottu ∅ ∈ T
Vas- tavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argu- mendi x v¨ a¨ artusele oma m¨a¨aramispiirkonnast vastavusse u ¨he kindla y v¨a¨artuse. Vaatleme n¨ uu¨d teatud kitsamat erijuhtu. Nimelt eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨a¨ artuse f (x) kaudu u ¨heselt m¨a¨aratud. See t¨ahendab, et iga y kor- ral hulgast Y leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis ¨oeldakse, et funktsioon f on u ¨ks¨ ¨ uhese funktsiooni korral uhene. Uks¨ on v~orrand y = f (x) muutuja x suhtes u ¨heselt lahenduv. N¨aiteks kuupfunktsioon y = x3 on u ¨ks¨uhene. Iga y korral leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult u ¨he arvu (so 2) kuup, arv -27 on ainult u ¨he arvu (so -3) kuup jne. Lahendades v~orrandi y = x3 muutuja
Olgu antud funktsioon y = f (x). Vas- tavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argu- mendi x v¨a¨artusele oma m¨a¨aramispiirkonnast vastavusse u ¨he kindla y v¨a¨artuse. Vaatleme n¨ uu¨d teatud kitsamat erijuhtu. Nimelt eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨a¨artuse f (x) kaudu u ¨heselt m¨a¨aratud. See t¨ahendab, et iga y kor- ral hulgast Y leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis ¨oeldakse, et funktsioon f on u ¨ks¨ ¨ uhese funktsiooni korral uhene. Uks¨ on v~orrand y = f (x) muutuja x suhtes u ¨heselt lahenduv. N¨aiteks kuupfunktsioon y = x3 on u ¨ks¨uhene. Iga y korral leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult u ¨he arvu (so 2) kuup, arv -27 on ainult u ¨he arvu (so -3) kuup jne. Lahendades v~orrandi y = x3 muutuja
x suhtes. Ilmutatud kujul on k~oik p~ohilised elementaarfunktsioonid: ruut- funktsioon y = x2 - 2x + 3, trigonomeetrilised funktsioonid, eksponent- ja logaritmfunktsioonid jne. Enne kui asuda funktsiooni ilmutatud kuju ja parameetrilise esitusviisi juurde, peab funktsiooni m~oistet laiendama. Edaspidi loeme muutuja y muu- tuja x funktsiooniks ka juhul, kui igale x v¨a¨artusele vastab kaks y v¨a¨artust, kolm y v¨a¨artust, ... , l~opmatult palju muutuja y v¨a¨artusi. Esimesel juhul ¨oeldakse, et funktsioon on kahene, teisel juhul - funktsioon on kolmene, ... , funktsioon on l~opmatult mitmene. 2 N¨ aide 1.3. Ilmutamata kujul on funktsioon x2 + y 2 = r2 , kus r on positiivne konstant. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga koordinaatide alguses, raadiusega r. Selle funktsiooni ilmutamiseks, st tei- y y1
xy y n k 1 k k Pn (x, y) = f (a, b)(x - a)k-i (y - b)i . (6.61) k! i=0 i xk-i y i k=0 25) Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ja statsionaarsed punktid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. ¨ Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) < f (P1 ). ¨ Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) > f (P1 ).
................. am1 am2 . . . amn Maatriksid 1 1 7 A= , B = (1 -2 3 ) , C = 4 , D = (10) (1.3) 2 5 -1 on vastavalt (2, 2)-maatriks ehk teist j¨arku maatriks, (1, 3)-maatriks, (3, 1)- maatriks ja (1, 1)-maatriks ehk esimest j¨arku maatriks. Maatriksite B ja C kohta ¨oeldakse ka, et nad on vastavalt u ¨herealine ja u ¨heveeruline maatriks. Definitsioon 1.5. Ruutmaatriksit 1 0 0... 0 0 1 0... 0 E = 0 0 1... 0 ..............
am1 am2 . . . amn Maatriksid 1 1 7 A= , B = (1 −2 3 ) , C = 4 , D = (10) (1.3) 2 5 −1 on vastavalt (2, 2)-maatriks ehk teist j¨arku maatriks, (1, 3)-maatriks, (3, 1)- maatriks ja (1, 1)-maatriks ehk esimest j¨arku maatriks. Maatriksite B ja C kohta ¨oeldakse ka, et nad on vastavalt u ¨herealine ja u ¨heveeruline maatriks. Definitsioon 1.5. Ruutmaatriksit 1 0 0... 0 0 1 0... 0 E = 0 0 1... 0 ....
lapist koos k¨aega . Nee- tunud, hiljem tuhmi kuuval- duse vana kuju on , mis gust. M¨argile lisati kuu saa- kujutab needusest vabastava des kuju. seletas vaimuga tootem looma m¨arki ajaarvamisega, kuu esi- 181 mese p¨aevaga . Surnud kuu kohta ¨oeldakse . / ¡ Kujutab £4 ¢luustikku, esineb n¨ aiteks kasutus `juhi' t¨ ahenduses m¨argis. Et¨ umoloogiliselt seo- on laen homofoonist , mil-
annaabi.ee 
