a) millistes punktides on nende väärtused võrdsed; b) milliste argumendi x väärtuste korral on funktsiooni f(x) väärtused suuremad funktsiooni g(x) väärtustest. c) Funktsiooni f(x) väärtus, kui x e sin 3 . 11. (2000) On antud funktsioon f(x) = x ln x x ln 5. 1) Leidke funktsiooni f(x) määramispiirkond, graafiku ja x-telje lõikepunkt ja miinimumpunkti abstsiss. 2) Koostage joone y = f(x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x-telge. 2 sin x 1 12. (2000) On antud funktsioon f ( x) , x (0; ) . sin x 1) Selgitage, kas funktsioon f(x) on määratud lõigul [0 ; ]. 2) Leidke vahemikus ( 0; ) a) Funktsiooni f(x) nullkohad;
puhul on iseloomulik disain, kvaliteet ja luksus, mis on omavahel tasakaalus. Luksushotellis peab olema teenindus tagatud kogu ööpäeva ulatuses; 4 tärni hotell (104 miinimumnõuet ja minimaalselt 380 punkti). Hotelli, mis vastab ärivajadustele ja on rohkete lisateenustega, kus peab olema tagatud teenindus vastuvõtus vähemalt 18 tundi ööpäevas ning telefoni teel kogu ööpäev; 3 tärni hotell (83 miinimumnõuet ja 250 miinimumpunkti) . Hotell, mis vastab kesklassinõuetele. Pakutavatest teenustest peavad olemas olema :pesu pesemine, triikmimine ja pagasiteenus ja tubades peavad olema saadaval joogid; (Oja 2011) Superior nimetus (pooltärni nimeteus) lisatakse vastava kategoorianõute ja punktide enamtäitmisel. Lisaks eelnevale on hotellide tärnide omandamisi reguleerivad õigusaktid Eestis: Järgu andjana tegutsemise õiguse andmise kord ja tingimused ning nõuded järgu
2 Määrake ekstreemumi liik. Vastus:a = 1; x = 1 on miinimumkoht; y = -2 ex y ln x 2 e) Antud on funktsioon x 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond. 2) Lihtsustage funktsiooni avaldist , kasutades logaritmi omadusi . 3) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 4) Arvutage funktsiooni miinimumpunkti koordinaadid. Vastus: 1) 0; ; 2) y ln x x x 2 ; 3) X 0,5; ; X 0; 0,5 4) 0,5; ln 2 0, 75 -2- - 1 f x ln f) Antud on funktsioon x 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond, lihtsustage funktsiooni avaldist
b) Joonisel on esitatud funktsiooni graafik. Leidke funktsiooni graafikult 1) nullkohad 2) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond 3) kasvamis- ja kahanemisvahemikud 4) maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid Vastus: 1) x1= -1,6 x2 = 3,1 2) X+= ( - ; - 1,5 ) U ( 3,1 ; ) X - ( -1,6;3,1 )
Asendame selle võrrandisse 2 = a(0 + 1)(0 - 2) ja saame, et a = -1 ning valemi paraboolile y = -1( x + 1)( x - 2 ) = - x 2 + x + 2 . Joonis 11 Kindlasti on tarvis lahendada tekstist arusaamise oskusele suunatud ülesandeid. Näiteks: leidke ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c kordajad, kui x = 6 on ruutfunktsiooni nullkoht ja vähim väärtus -8 on kohal x = 4. Kas õpilased saavad aru: · et miinimumpunkti koordinaadid on (4;-8); · seega parabool avaneb ülespoole; · kui üks nullkohtadest on kohal 6, siis teine on kohal 2 (sest parabooli telg on x = 4). Nüüd on olemas vajalik info kordajate leidmiseks. Iga võtte omandamiseks tuleb lahendada teatud arv ülesandeid, kuid neid tulebki erinevalt esitada sõnastada. Ringjoonega on tegeldud põhikoolis planimeetria ülesandeid lahendades. Tuletage meelde
1 kahanemisvahemik on ( ; 3) . 3 2) Lõigul 2; 4) omandab kuupfunktsioon vähima väärtuse kas lõigu 2; 4) otspunktides või miinimumpunktis. a) Leiame funktsiooni y x 3 5 x 2 3 x 7 graafiku miinimumpunkti ordinaadi. Kuupfunktsioonil saab olla vaid üks lokaalne minimum. Eelnevast on näha, et kohal x 3 funktsiooni kahanemine läheb üle kasvamiseks, järelikult antud funktsioonil on lokaalne minimum kohal x 3 . Arvutame miinimumpunkti ordinaadi: y(3) = 33 5 3 2 3 3 7 2. b) Arvutame funktsiooni y x 3 5 x 2 3 x 7 väärtused lõigu 2; 4) otspunktides: y ( 2) ( 2) 3 5 ( 2) 2 3 ( 2) 7 27, 3 2
Siiski keskmine muutv kulu (AVC) madalam. Firma küll kahjumis, aga katab ära keskmise muutuva kulu. Firma jätkab kahjumiga tootmist. P2 hind läheb veel madalamaks. Hind katab täpselt ära muutuva kulu miinimumi sulgemispunkt. P1 hind veel alla, katastroof juba. Hind ei kata isegi muutuvat kulu firma lõpetab lühiperioodil tootmise, kahjumiks jääb firmale püsikulu. Sulgemispunkt hind katab ära muutuva kulu miinimumi (AVC miinimumpunkti). Firma peab otsustama, kas jätkab tootmist või lõpetab. Firma saab palgad ära maksta ja materjalid ära osta tootmiseks. Pakkumiskõver Tasuvuspunkt hind on täpselt nii kõrge, et katab ära keskmise kulu. Nullmajanduskasum pikal perioodil ei saa firma majanduskasumit. Pikal perioodil ei saa mitte ükski täieliku konkurentsituru firma töötada kahjumiga. Kui ei saa majanduskasumit, siis on nullmajanduskasum. LOENG 7. MITTETÄIELIK KONKURENTS 1. Monopol
2! Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. 1)Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. 2)Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist järku tuletised kriitilises punktis, siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka teise tuletise märgi abil. Joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti ümbruses nõgus, (ülespoole kaarduv) ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti ümbruses kumer (allapoole kaarduv). Graafik on nõgus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne, ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne. 31.Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb.
(a, b) korral. Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist järku tuletised kriitilises punktis, siis saab lokaalsete ekstreemumite Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või olemasolu kontrollida ka teise tuletise märgi abil. Joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti vahemikus (a, b). ümbruses nõgus, (ülespoole kaarduv) ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti ümbruses kumer (allapoole kaarduv). Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama Graafik on nõgus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne, ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne.
punktiks. Olgu funktsioon f pidev kriitilises punktis a ja diferentseeruv vahemikes (a, a) ning (a, a+), >0. Siis kehtivad väited 10 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "+" "-", siis on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. (maksimumpunkti läbides läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks). 20 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "-" "+", siis on funktsioonil f punktis s a lokaalne miinimum. (miinimumpunkti läbides läheb funktsiooni kahamine üle kasvamiseks). 30 Kui punkti a läbimisel f (x) märk ei muutu, siis punktis a ekstreemumit ei ole. 20. Joone kumerus ja nõgusus2, käänupunktid . Joone asümptoodid. Kumerus ja nõgusus: Joont y = f (x) nimetatakse kumeraks (nõgusaks) vahemikus (a,b), kui selle joone puutuja on igas punktis P =(x, f(x)), x(a,b), ülalpool (allpool) joont. Teoreem . Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b).
2 (2 x -1) ( 5 - x ) -5,5 1 2 B-3 Leia võrrandi = 8 x lahend või lahendite summa. 4 B-4 Arvuta 81 2 - 54 5 3 6 38 + 12 10 6 16 B-5 On antud y = f ( x ) graafik. Leia mitu miinimumpunkti on sellel graafikul ja miks on just need miinimumkohad. 24 Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium B-6 Leia antud funktsiooni f ( x ) = 4 x 3 - 5 x 2 - 8 x + 1 lõigule [ -1;1] jääva suurima ja vähima täisarvulise väärtuse summa. x
4 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II). Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist j.arku tuletised kriitilises punktis, siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka teise tuletise m.argi abil. Paneme t.ahele, et joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti .umbruses n~ogus, so .ulespoole kaarduv ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti .umbruses kumer, so allapoole kaarduv. . Ulej.argmise paragrahvi teoreemis 4.5 me t~oestame, et graafik on n~ogus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne. 31. Nogusa ja kumera joone definitsioonid. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb.
seetõttu ka keskmised kulud ühe toodanguühiku kohta alanevad). ATC kõvera langus (langeb järsemalt kui AVC kõver, mis nähtub nende kahe kõvera vahe vähenemisest) tuleneb osaliselt ka AFC vähenemisest. U-kujuliseks muutuvad MC, ATC ja AVC kõverad kahanevuse seaduse tõttu. Kui pikal perioodil saab firma muuta kõikide sisendite mahtu, siis loogiliselt peaks kapitali suurendamine nihutama ATC miinimumpunkti paremale Pärast kapitali suurendamist on ATC kõver nihkunud paremale. Liikumine piki ATC kõverat toimub aga lühiperioodil, kui muudetakse tööressurssi. Ka pikal perioodil on ATC kõver lõppkokkuvõttes U-kujuline, põhjuseks on madalate tootmismahtude juures kasvav mastaabiefekt ning teatud tootmistaseme juures domineerima hakkav kahanev mastaabiefekt. TURUTÜÜBID Täpsemalt on turg mehhanism (institutsioon), mis viib kindlal ajal ning kindlas kohas kokku tootja ja
C – säilituskulu, väljendatuna protsendina lao keskmisest väärtusest V – tooteühiku ostuhind koos transpordikulu ja muude tarne käigus makstavate kuludega Seega valemis TSC = QCV/2 + DS /Q on esimene pool: Keskmine laovaru Q/2 x tooteühiku ostuhind V x säilituskulu % osakaal C … ja teine pool: aasta jooksul tehtud tellimuste arv D / Q * tellimiskulu per tellimus S 20% koguse muutust muudab kogukulusid vaid 3% võrra – see on mudeli eelis: U-kõver on miinimumpunkti ümbruses lame 95. Tellimispunkti määramine Laoartikli varu täiendamise otsus tehakse siis, kui tellimispunktini väheneb varu jääk, mitte laosaldo, kuna: • Olemasolev varu ehk laosaldo (on hand inventory) – kogus, mida arvestussüsteem näitab laos olevat, ei saa kunagi olla negatiivne • Vaba varu (available inventory) – laosaldo miinus reserveeritud klientide tellimused, firmasisesed ümberpaigutamised, järeltellimused.
Joonisel 17 näidati, et ATC kõver on U-kujuline ja teatud toodangu mahuni jõudes hakkab ATC kasvama kahanevuse seaduse tõttu. Kahanevuse seadus toimib teatavasti siis, kui suurendatakse ühe tootmisressursi kasutamist, samal ajal teise tootmisressursi mahtu hoitakse püsivana (konstantsena). Aga kui pikal perioodil saab firma muuta kõikide sisendite mahtu, siis loogiliselt peaks kapitali suurendamine nihutama ATC miinimumpunkti paremale. 37 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com © Indrek Saar 2010 C ATC0 ATC1 Q Joonis 18. Keskmised kogukulu kõverad lühiperioodil erineva kapitali mahu korral
Joonis 4.3: y = 3 (x3 - 8)2 Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist j¨arku tuletised kriitilises punk- tis, siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka teise tuletise m¨argi abil. Paneme t¨ahele, et joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik 91 miinimumpunkti u ¨mbruses n~ogus, so u ¨lespoole kaarduv ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti u ¨ argmise para- ¨mbruses kumer, so allapoole kaarduv. Ulej¨ grahvi teoreemis 4.5 me t~oestame, et graafik on n~ogus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne. Seega v~oime s~ onastada j¨argmise teoreemi. Teoreem 4.4 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II)
2 Joonis 4.3: y= 3 (x3 - 8)2 Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist j¨arku tuletised kriitilises punk- tis, siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka teise tuletise m¨argi abil. Paneme t¨ahele, et joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik 91 miinimumpunkti u ¨mbruses n~ogus, so u ¨lespoole kaarduv ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti u ¨ argmise para- ¨mbruses kumer, so allapoole kaarduv. Ulej¨ grahvi teoreemis 4.5 me t~oestame, et graafik on n~ogus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne. Seega v~oime s~onastada j¨argmise teoreemi. Teoreem 4.4 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II)
annaabi.ee 
