Lineaarfunktsioon Üldkuju y=ax+b Funktsiooniks nimetatakse kahe muutuja omavahelist seost, mis on kindlaks määratud mingi matemaatilise eeskirjaga mida nimetatakse funktsiooni valemiks või funktsiooni eeskirjaks. Tõusev Langev sirge axlineaarliige * Kui a on väiksem, kui 0 sirge bvabaliige/algkordinaad on tegu langeva sirgega. alineaarliikme kordaja/sirge tõus y ja xmuutujad Vabaliige näitab punkti kus funktsioonigraafik (sirge) lõikab y telge. Lineaarliikme...
Üldkuju 7.klassis matemaatikas õpid erinevate seoste üldkujusid: Võrdelise seose üldkuju, lineaarfunktsiooni üldkuju, pöördvõrdelise seose üldkuju ning arvu üldkuju. Võrdelist seost esitatakse tavaliselt kujul y=ax .Selle kohta siis mõned näited : y=-5x ; y=10x ; y=1/5x ; y=-2/5x .Lineaarfunktsiooni kirjutame tavaliselt kujul y=ax+b . See on tulnud võrdelisest seosest kuid sellel on juures vabaliige ehk b . Lineaarfunktsiooni üldkujust näiteid : y=2x-3 ; y=2/5x+10 ; y=- 5x+9 ; Pöördvõrdelise seose põhikuju on y=a/x . Näited : -8/x ; 25/x ;6/x . Kahekohalise arvu üldkuju võib kirjutada: a · 10 + b kui ka 10a+b . Samamoodi kolmekohalise arvu üldkuju: a · 102 + b · + c ehk 100a+10b+c . Neljakohalise arvu üldkuju: a · 103 + b · + c · + d ehk 1000a+100b+10c+d . Viiekohalise arvu üldkuju: a · 104 + b · + c · + d · + e ehk 10 000a+1000b+100c+10d+e jne.
Joonesta antud kolmnurk koordinaatteljestikus. Joonesta mediaanid ja leia jooniselt mediaanide lõikepunkti koordinaadid. 16. Joonesta funktsioon y = -2x + 4 graafik. Kirjuta välja graafiku ning koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadid. Leia punkt, mille ordinaat on 6. 17. Joonesta funktsiooni y = x 2 -1 graafik. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja punk, mille abstsiss on -2. 18. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = x + 2 ja ruutfunktsiooni y = -x 2 + 4 graafikud. Tähista lõikepunktid tähtedega ning leia jooniselt nende punktide koordinaadid. 19. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = - x - 2 ja ruutfunktsiooni y = x 2 - 4 graafikud. Tähista lõikepunktid tähtedega ning leia jooniselt nende punktide koordinaadid. 20. Alljärgnev, osaliselt täitmata tabel peab esitama ruutfunktsiooni y = x 2 - 2 x muutujate x ja y vastavate väärtuste paare.
koordinaatide alguspunkti (0;0). 10 3 Graafiku asend koordinaat- · Lineaarfunktsioon 2 teljestikus sõltub võrdeteguri 1 Lineaarfunktsiooni e. lineaarse seose valem: y = ax + b , a 0 väärtusest. Kõrvaloleval joonisel 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 on nelja erineva võrdelise seose lineaarliige vabaliige 1 graafikud: Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge, mis on alati paralleelne vastava
Funktsiooni mõisted Lineaarfunktsiooni graafik on sirge. Lineaarfunktsiooni graafiku joonestamiseks peab teadma vähemalt kahe punkti koordinaate. Funktsiooni y = 3x + 1 graafik ei läbi koordinaatide alguspunkti. Kui sirge läbib punkte (2; 2) ja (5; 2), siis see sirge on paralleelne x-teljega. Kui sirge läbib punkte (3; 4) ja (3; 2007), siis see sirge on risti x-teljega. Funktsiooni y = 4x + 2 graafik ei läbi punkti (2; 10). Parabooli joonestamiseks tuleb välja arvutada rohkem kui kahe punkti koordinaadid.
joonestamiseks vaja kahte punkti võrdelise seose korral on sirge y = ax tõusuks võrdetegur a Võrdelise seose graafik kui a (võrdetegur) on positiivne (a > 0), läbib sirge koordinaattasandi I ja III veerandit kui a on negatiivne (a < 0), läbib graafik koordinaattasandi II ja IV veerandit kui a on võrdne nulliga (a = 0), on graafik sirge ja lange kokku koordinaattasandiku x-teljega Võrdeline seos ja lineaarne seos võrdeline seos on lineaarfunktsiooni alaliik/erijuht, mistõttu on ka iga võrdelise seose graafik sirge võrdelise seose korral läbib graafik alati koordinaatide alguspunkti, aga lineaarfunktsiooni korral ei pruugi graafik seda aga teha y = 2x x=2 x=1 a=y:x y=4 kui x = 1 ja y = 2, siis a = 2 : 1 = 2 kui x = 2 ja y = 4, siis a= 4 : 2 = 2 y=2 x ja y suhe on konstantne (muutumatu)
4.8 PÖÖRDVÕRDELISE SEOSE GRRAFIK. GRAAFIKUKS ON HÜPERBOOL. KUIDAS TEHA: 1) Koostame tabeli, kus y = ja anname x-ile väärtuse. 2) Joonistan kordinaatteljestiku. 4.9 LINEAARFUNKTSIOON Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax+ b nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Avaldis ax on lineaarliige. Arv b on vabaliige, b väärtus vastab argumendi (x) väärtusele 0. Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). 4.10 LINEAARFUNKTSIOONI GRAAFIK. Graafikuks on sirge mis läbib punkti b. Lineaarfunksiooni y = ax + b graafik on võrdelise seose y = ax graafikuga paralleelne sirge, mis lõikab y-telge punktis (0;b). Kui b > 0, siis see sirge lõikab y- telge b ühikut ülalpool kordinaatide aluspunkti, ja kui b < 0, siis |b| ühikut allpool kordinaatide aluspunkti. 4.11 ÜHE TUNDMATUGA LINEAARVÕRRANDI JA
Kui mitu protsenti hinnetest ei ületa moodi? Tehke hinnete jaotusele vastav tulpdiagramm. 2 7. (11 p). Joonestage ühte teljestikku funktsioonide y = x2 3x 4 ja y = - x + 3 3 graafikud. Leidke ruutfunktsiooni nullkohad ja graafiku haripunkti koordi- naadid. Missugustes punktides lõikab lineaarfunktsiooni graafik koordinaattelgi? 8. (11 p) Silindrikujulise anuma läbimõõt on 56 cm ja kõrgus 120 cm. Kas sellesse anumasse saab valada 5 ämbritäit vett, kui ämbri maht on 9 liitrit? Kui kõrgele sel juhul vesi anumas tõuseb ja kui mitu protsenti anumast on veel täitmata? © Allar Veelmaa 2008 PÕHIKOOLI MATEMAATIKA PROOVIEKSAMI ÜLESANDED 2008.a. 1. (7 p.) Lihtsustage avaldis (3a + b)(3a b) (2b + 3a)2 12ab ja arvutage selle täpne
0 ei antud arv vastavate väärtuste korrutis kuulu määramis ning x ja jääv. piirkonda. Kui arv y on a>o, siis graafik on muutujad. 1 ja 3 veerandis, kui a<0, siis 2 ja 4 veerandis. Lineaarfunktsioon: Y=ax+b, Lineaarfunktsiooni Graafikuks on kus a ja b väljendab valem y=ax+b, sirge. 0 kuulub on antud kus ax on lineaarliige ja b määramispiirkonda. arvud on vabaliige ehk Sirge ei läbi alati 0 ning x ja algordinaat. punkti. Sirge läbib y on y teljel punkti b. muutujad.
Joone võrrand Lineaarfunktsioon Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax+ b nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Avaldis ax on lineaarliige. Arv b on vabaliige, b väärtus vastab argumendi (x) väärtusele 0. Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks.
6. (8 p) Ottomari hinded on 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 5, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 5, 3, 1, 3, 5, 3, 3 ja 1. Leidke keskmine hinne ja hinnete mood. Kui mitu protsenti hinnetest ei ületa moodi? Tehke hinnete jaotusele vastav tulpdiagramm. 7. (11 p). Joonestage ühte teljestikku funktsioonide y = x2 3x 4 ja 233yx=-+ graafikud. Leidke ruutfunktsiooni nullkohad ja graafiku haripunkti koordi- naadid. Missugustes punktides lõikab lineaarfunktsiooni graafik koordinaattelgi? 8. (11 p) Silindrikujulise anuma läbimõõt on 56 cm ja kõrgus 120 cm. Kas sellesse anumasse saab valada 5 ämbritäit vett, kui ämbri maht on 9 liitrit? Kui kõrgele sel juhul vesi anumas tõuseb ja kui mitu protsenti anumast on veel täitmata?
Leidke keskmine hinne ja hinnete mood. Kui mitu protsenti hinnetest on suuremad moodist? Tehke hinnete jaotusele vastav sektordiagramm. 2 7. (11 p). Joonestage ühte teljestikku funktsioonide y = x 2x 3 ja 223yx=-+ graafikud. Leidke ruutfunktsiooni nullkohad ja graafiku haripunkt. Missugustes punktides lõikab lineaarfunktsiooni graafik koordinaattelgi? 8. (11 p) Silindrikujulise anuma läbimõõt on 56 cm ja kõrgus 20 cm. Kas sellesse anumasse saab valada 7 ämbritäit vett, kui ämbri maht on 9 liitrit? Kui palju värvi kulub selle anuma külgpinna värvimiseks, kui värvi kulu 1 m² kohta on 250 grammi? Vastus andke kümnendiku täpsusega.
Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgale X vastavusse sõltuva muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y (Funktsioon on seos kahe muutuja vahel, kus ühe muutuja igale väärtusele vastab üks kindel teise muutuja väärtus). Võrdelise seose valemiks on y = ax ja tunnuseks a = y/x. Graafikuks on sirgjoon, mis läbib punkte (0;0) ning (1;a). Pöördvõrdelise seose valemiks on y = a/x, kus x 0 ja tunnuseks a = xy. Graafikuks on hüperbool. Lineaarfunktsiooni valemiks on y = ax + b ning graafikuks sirgjoon, mis läbib punkte (0;b) ning (1;a+b). Funktsiooni määramispiirkond (X) on sõltumatu muutuja e. argumendi x väärtuste e. funktsiooni väärtuste hulk. Funktsiooni muutumispiirkond (Y) on sõltuva muutuja y väärtuste hulk. Funktsiooni esitusviisideks on valem e. analüütiline esitus, graafik, tabel, arvupaarid ning nooldiagramm. Argumendi väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on 0 nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks (X0).
a1 - esimene liige an - n-es liige ehk üldliige d aritmeetilise jada vahe n liikmete arv Sn - liikmete summa q - geomeetrilise jada tegur Aritmeetiline jada Aritmeetiline jada on jada, mille teisest liikmest alates iga liikme ja talle eelneva liikme vahe on jääv. Aritmeetiline jada on jada, mille iga liige alates teisest on võrdne talle eelneva liikme ja jääva arvu summaga. Arvu mida me juurde liidame nimetame me vaheks. d=0 konstantne jada Aritmeetiline jada on vaadeldav lineaarfunktsiooni väärtuste jadana, kui argumendile anda täisarvulisi väärtusi alates 1'st. y=x+2 xe{1;2;3;...} Aritmeetilise jada omadus: Iga liige alates teisest on võrdne oma naaberliigete aritmeetilise keskmisega. a2=(a1+a3)/2 Aritmeetilise jada üldliikme valem an=a1+(n-1)d Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa: esimesed n-liiget ehk jada lõige: a1;a2;a3;...;an Sn- esimese n-liikme summa ehk jada lõike summa Sn=a1+an n 2 Sn=2a1+(n-1)d n 2 Geomeetriline jada
B: CF=4400, c=15, p=30, C=30q-(15+4400)=15q-4400 Leiame q väärtuse, kus mõlema variandi kulud on võrdsed: 18q-5500=15q-4400 3q=1100, q=366,6667 V: tootmismahtude juures alates 367 tk on kasulikum variant B. Ülesanne 6. p = 10000 - q Missugune müügilolevate pirnide arv viib tükihinna 4 kroonini? p = 10000 - q ( )2, p2=10000-q, q=9984 V: tükihinna viib 4 kroonini 9984 pirni müügilolek. Ülesanne 14. c=100, CF=100000, q=100 tootmiskulude lineaarfunktsiooni avaldis : C(q)=100q+100000 C(100)= 100·100+100000=110 000 1 000 000kr eest saab valmistada 11 000 eset. 1 000 000=100q+100 000 , q=11 000 Ülesanne 29. A: CF=4 000 000, c=5 B: CF=2 000 000, c=7 p=20 CA=5q+4 000 000 CF=7q+2 000 000 Leiame q väärtuse, kus mõlema variandi kulud on võrdsed: 5q+4000000=7q+2000000 2q=2 000 000, q=1 000 000 V: Variant A on kasulikum, kui tootmismaht on üle 1 000 000 ühiku. Protsentarvutused Ülesanne 1. 1 kuu kokkuhoid on (11250-12%)-15%=8415kr
kaheks osaks jaganud. Ringjooneks nimetatakse niisuguste punktide hulka, mis asuvad võrdsel kaugusel ühest punktist. Rombiks nimetatakse nelinurka, mille kõik küljed on võrdsed. Ruutjuure võtmine on kahega astendamise pöördtehe. Igal mittenegatiivsel reaalarvul on üks aritmeetiline ruutjuur. Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand, mis on teisaldatav kujule kus a 0. Ruutvõrrandi lahendivalem on . Lineaarliige lineaarfunktsiooni valemis y=ax+b olev liige ax on lineaarliige. Ruutliige ruutfunktsiooni valemi y=ax²+bx+c olev ax² on ruutliige. Vabaliige lineaarfunktsiooni valemis y=ax+b olev b on vabaliige. Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed. Rööpküliku omadused: 1) rööpküliku vastasnurgad on võrdsed. 2) rööpküliku vastasküljed on võrdsed. 3) rööpküliku lähisnurkade summa on 180 kraadi. 4) rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist.
Jagatise (9x2y-15xy3): (-3xy) väärtus on a) 3x-5y2;b) 3x3y2+5x2y4;c) 3x+5y2; d)-27x3y2+45x2y3; e)-x3y2+5x2y3. VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! Hulkade K= ja L={Mihkel; Karl; Maali} ühend on a) {Mihkel; Karl; Maali}; b) {Maali}; c) {Karl; Maali}; d) tühi hulk; e) hulk M. Hulkade A={1; 3; 7; 11} ja B={1; 2; 3; 11} ühisosa on a) {1; 3; 7}; b) {1;3;7;11}; c) {1; 3; 11}; d) {1; 2; 3; 7; 11};e) . Lineaarfunktsiooni graafikuks on a) hüperbool; b) sirge; c) parabool; d) ringjoon; e) punkt Ruutfunktsiooni graafikuks on a) sirge; b) hüperbool; c) punkt; d) ringjoon; e) parabool Positiivse diskriminandiga võrrandil a) on kaks erinevat lahendit; b) ei ole lahendeid; c) on kaks võrdset lahendit; d) on lõpmata palju lahendeid Negatiivse diskriminandiga võrrandil a) on kaks võrdset lahendit; b) on lõpmata palju lahendeid; c) ei ole lahendeid; d) on kaks lahendit Ruutvõrrandil ax2+bx=0 on alati
Muutumispiirkonnaks on logaritmfunktsiooni muutumispiirkond: Y = (-; + ). Pöördfunktsiooni arvutuseeskirja saamiseks avaldame võrrandist y = log(1 - x) muutuja x: y = log(1 - x) 10 y = 1 - x x = 1- 10 y x = f -1 ( y ) = 1 - 10 y Pöördfunktsiooni määramispiirkond: Y = (-; + ). Pöördfunktsiooni muutumispiirkond: X = (-; 1). Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 a, b - antud arvud Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge. y 2 y=a 0 x+ > b, a b, a <0 ax + y= 0 1 2 x
Seda jäävat suhet (jagatist) nimetatakse nende suuruste võrdeteguriks. Võrdeliste suuruste vahelist sõltuvust nimetatakse võrdeliseks seoseks. Võrdelise seose valem on y = ax, kus a on antud arv. Võrdelise seose graafikuks on sirge, mis läbib koordinaatide alguspunkti Kui a on positiivne, siis on sirge esimeses ja kolmandas veerandis, kui a on negatiivne, siis teises ja neljandas. 33. Lineaarfunktsioon ja selle graafik. Lineaarfunktsiooni üldkuju y = ax + b (0,b)(1,a) Graafikuks on sirge. 34. Pöördvõrdeline seos ja selle graafik. a y x Pöördvõrdeline seos, ülkduju • Hüperbool 35. Võrre, võrde põhiomadus, võrdekujuline võrrand. Võrre on tõene võrdus, mille mõlemad pooled on jagatised (võrdsed). Võrdus on avaldis, mis võib olla tõene või väär. Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut. Põhiomadus: Siseliikmete korrutis on võrdne välisliikmete korrutisega.
2) sirge paikneb kogu koordinaattasandi ulatuses. Kui õpilane ühendab teljestikku märgitud punktid omavahel, siis sel juhul on joonisel lõik, mitte sirge. Joonisel 9 on näide ühest tüüpilisest ,,vildakast" joonisest. Lisaks sirge asemel joonestatud lõigule on siin joonise autor Joonis 9 jätnud ka teljed tähistamata. 3. Lineaarfunktsioon ja selle graafik Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax + b, kus a ja b on konstandid, nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Lineaarfunktsiooni puhul on kindlasti vaja õpilastele selgitada arvude a ja b tähendust. Võttes valemis y = ax + b argumendi x väärtuseks arvu 0, saame tulemuseks y = a0 + b = b, arv b on funktsiooni algväärtus (ehk vabaliige), st väärtus, mis vastab argumendi väärtu sele 0. Geomeetriliselt tähendab see punkti, kus sirge läbib ordinaattelge: (0; b). Keerulisem on selgitada arvu a tähendust ning sageli jäetakse see üldse tegemata. Vaatleme ühte näidet:
Ka ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust jääb reaalarvuks. Kuid kinnine juurimise suhtes ei ole · Tehetega seotud omadused kehtivad. 5. Arvuhulkade vahelised kuuluvusseosed- · Iga naturaalarv on ühtlasi täisarv · Mõned täisarvud ei ole naturaalarvud · Iga täisarv on ratsionaalarv · Iga ratsionaalarv pole täisarv · Mõni ratsionaalarv on naturaalarv · Iga naturaalarv on ratsionaalarv 6. Lineaarfunktsiooni graafik, omadused · Funktsiooni, mis avaldub kujul y=ax+b, nimetatakse lineaarfunktsiooniks. · Uurime graafikut (X;Y; kasvamine, kahanemine, a ja b tähendus). Näitame a tähenduse (y2-y1)/(x2-x1). · Funktsioon y=2x+1 · Näidake, et kasvab kogu määramispiirkonnas, kui a>0 · k y= 7. x Pöördvõrdeline sõltuvuse graafik, omadused- · Sõltuvust, mis avaldub kujul , nimetatakse pöördvõrdeliseks
Matemaatikas kasutame me skalaarkorrutist vektorite vahelise nurga leidmiseks. Laias kursuses lahendame kolmnurka vektoreid ja skalaarkorrutist kasutades. Sirgete teema ei ole gümnaasiumis uudiseks, sest lineaarfunktsiooniga tegeldi juba põhikoolis. Võibki alustada sirgete joonestamisest etteantud valemi järgi. Näiteks y1 = 2 x - 3 , y 2 = 0,5 x + 1 ja 2 x + 4 y = -8 asuvad joonisel 4. Joonestamisega koos saab meelde tuletada lineaarfunktsiooni liikmete nimed ja kordajate tähendused. Joonis 4 Järgmisena laseksin õpilastel joonestada sirgeid erinevate andmete põhjal. Näiteks: a) antud on kaks punkti A(-4;3) ja B(2;-4); b) antud on punkt C(3;4) ja sirge tõus 1; c) antud on punkt D(2;-3) ja sirge tõusunurk 60 o ; r d) antud on punkt E(-4;-2) ja sihivektor s = (3;1) ; e) antud on punkt F(5;2) ja on teada, et sirge on paralleelne y-teljega;
99 2 99 2 -100y y´+2x y´=-100x -2xy | : (-2) 18 99 2 2 55y y´-x yy´=55+xy 99 2 2 y´(55y -x y)=55+xy 2 99 2 y´=(55+xy )/55y -x y 25. Funktsiooni diferentsiaal, diferentsiaali omadused, tuua näiteid diferentsiaali kasutamisest ligikaudsel arvutamsel. Diferentsiaal ehk tuletis on funktsiooni lähendava lineaarfunktsiooni muut vaadeldava punkti ümbruses. Avaldub kujul df=f´(x), kus f´(x) kohal x nim piirväärtuseks. f´(x) = lim y/x = lim f(x+x-f(x)/ x x-0 x-0 Omadus: kui funktsioonil y=f(x) on tuletis punktsi x=x , siis ütlen, et funktsioon on 0 diferentseeruv punktis x , kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas 0
fikseeritud soojusliku oleku korral reeperpunktid. Nii tegi omal ajal Celsius (1701-1744, Rootsi). Termomeetriliseks kehaks valis ta teatud hulga elavhõbedat anumas, mis oli ühendatud peenikese klaastoruga, temperatuuriliseks parameetriks elavhõbedasamba pikkuse l selles torus, reeperpunktideks jää sulamispunkti ja vee keemispunkti vastavalt väärtused 0 ja 100, ning pikkuse l ja temperatuuri t vaheliseks sõltuvuseks lineaarfunktsiooni: l = a t +b . Pannes sellesse seosesse sisse temperatuuri väärtused reeperpunktides, saame võrrandi- süsteemi, mille lahendamisel saame eeskirja temperatuuri arvutamiseks: l - ls t =100 . (5.2) lk - ls Siin ls, lk ja l on elavhõbedasamba pikkused vastavalt jää sulamistemperatuuril, vee
354 Integreerimine tuletise abil integraal ja tuletis Leitud seosest saame ka üsna lihtsa viisi integreerimiseks – meil on vaja lihtsalt ära arvata vastav algfunktsioon ehk tunda tuletisi! Tõepoolest, näiteks integraali peatükis käsitletud integraali leidmiseks piisab teadmisest, et lineaarfunktsiooni üheks algfunktsiooniks on . Seejärel võime kirjutada . Või näiteks, kuna siinusfunktsiooni tuletiseks on koosinusfunktsioon, võiksime kir- jutada: . Seda on muidugi võimalik näha ka graafikult, teades koosinusfunktsiooni süm- meetrilisust ja meenutades, et -telje alla jääv pindala näitab negatiivset kogu- muutu:
Seet~ottu kasu- tatakse pol¨ unomiaalset l¨ahendamist inseneriteadustes u ¨sna palju. §3.6 k¨asitlesime f (x) funktsiooni lineaarset l¨ahendit punkti x = a u ¨mbruses, mis avaldub valemiga P1 (x) = f (a) + f (a)(x - a). Funktsioon P1 (x) koos oma tuletisega langeb punktis x = a kokku funktsiooniga f (x), st P1 (a) = f (a) , P1 (a) = f (a). Lineaarfunktsiooni ehk esimese astme pol¨ unoomi P1 (x) graafik on sirge. T¨apse- malt on tegemist funktsiooni y = f (x) graafiku puutujaga punktis A = (a, f (a)). Seega asendatakse k~overjoon puutepunkti u ¨ mbruses ligikaudselt sirgjoonega. Taoline l¨ahend s¨ailitab esialgse funktsiooni f (x) v¨a¨artuse f (a) ja graafiku t~ousu ehk liikumissuuna punktis A. Lineaarse l¨ahendamisega l¨aheb kaotsi joone "k~overus". Seet~ottu tekib k¨ usi-
Seet~ottu kasu- tatakse pol¨ unomiaalset l¨ahendamist inseneriteadustes u ¨sna palju. §3.6 k¨asitlesime f (x) funktsiooni lineaarset l¨ahendit punkti x = a u ¨mbruses, mis avaldub valemiga P1 (x) = f (a) + f (a)(x - a). Funktsioon P1 (x) koos oma tuletisega langeb punktis x = a kokku funktsiooniga f (x), st P1 (a) = f (a) , P1 (a) = f (a). Lineaarfunktsiooni ehk esimese astme pol¨ unoomi P1 (x) graafik on sirge. T¨apse- malt on tegemist funktsiooni y = f (x) graafiku puutujaga punktis A = (a, f (a)). Seega asendatakse k~overjoon puutepunkti u ¨mbruses ligikaudselt sirgjoonega. Taoline l¨ahend s¨ailitab esialgse funktsiooni f (x) v¨a¨artuse f (a) ja graafiku t~ousu ehk liikumissuuna punktis A. Lineaarse l¨ahendamisega l¨aheb kaotsi joone "k~overus". Seet~ottu tekib k¨ usi-
annaabi.ee 
