Näidata, et reaalarvude jaoks saame kauguse defineerida absoluutväärtuse abil (st d(u, või lim xn = a v) := |v − u| (u, v ∈ R) rahuldab meetrika aksioome). n→∞ Elementi b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x korral, mis täidab tingimust x ∈ Uδ(a) kehtib f(x) ∈ Uε(b). Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui limn→∞ xn = a ja limn→∞ xn = b, siis a = b. Konstantse jada piirväärtus on see konstant. Iga ulalt tõkestatud monotoonselt kasvav jada koondub. 3. Koonduva jada piirväärtuse ühesuse tõestus. Iga koonduv jada on tõkestatud. Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui limn→∞ xn = a ja limn→∞ xn = b, siis a = b. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß’i teoreem
*Kasvav: *def.1 suurus x:x1,x2,x3...xn=f(n)...on tõkestamatult kasvav, kui igale pos arvule M, leidub niisugune indeks N IN, mille korral |xn|>M, n>N; arvtelg (xN+2, -M, x1, 0,x2,M,xN+1), Lause: tõkestamatult kasvav suurus x, siis tema pöörväärtus 1/x tõkestamatult kahanev ja vastupidi 7. Muutuva suuruse piirväärtus Suurus x: x1,x2,x3...,xn,..=> def. Arv a on suuruse xn piirväärtus protsessis, kus n läheneb sel korral, kui xn-a on tõkestamatult kahanev suurus, limn-> xn=a, xn-a= n *Kui suurusel piirväärtus on olemas, siis kehtib seos, et xn- a on tõkestamatult kahanev , siis saame xn=a+ n tõkestamatult kah suurus *Kui meil see vahe on tõkes kah siis iga puhul leidub N IN, mille korral | xn-a|< , n>N; arvtelg(x1,0,a- ,xN+1(üles),a,a+ ,x2(üles)) .*Järeldus 1)tõk kah suuruse piirväärtus on 0: limn-> n=0 2)tõk kasvava suuruse piirväärtus on võrdne : limn-> xn= 3)konstandi piirväärtus on tema ise 8. Laused piirv. Kohta Lause 1
x = g(x) Hariliku iteratsioonimeetodi korral arvutatakse lahendid järgmise eeskirja põhjal: xn = g(xn-1), (2) st x1 = g(x0), x2 = g(x1), jne. Harilik iteratsioonimeetod on ühesammuline meetod. Uurime meetodi viga: Olgu x* võrrandi (1) täpne lahend, st x* = g(x*). Lähendi xn tõeline viga on |xn – x*|. Kui Limn→∞|xn – x*| = 0, Siis koondub lähend xn täpseks lahendiks x*, st xn → x*. Oluline tingimus sellise koondumies jaoks on: |g’(x)| ≤ q ≤ 1. (3) Teoreem: Leidugu võrrandi (1) lahendit x* sisaldav vahemik (a, b), milles on täidetud võrratus (3). Olgu funktsioon g(x) selline, et ∀x ∈ (a, b) korral g(x) ∈ (a, b). Olgu x0 ∈ (a, b). Siis koondub hariliku iteratsioonimeetodiga arvutatud lähendite jada xn täpseks lahendiks x*
.xm), hulka D nim funi w=f(x1,x2,...xm) määramispiirkonnaks, suurusi x1,x2,...xm nim funi
argumentideks (funil on m argumenti)
Def.4 Punkti ARm ümbruseks nim iga lahtist kera S(a,r) (erijuhud: m=2 A ümbruseks lahtine ring S(a,r), m=1 A ümbruseks
sümmeetriline vahemik)
Def.5 Öeldakse, et hulk D on lahtine ruumis Rm kui iga tema punkt on sisepunkt. Öeldakse, et hulk D on kinnine, kui ta sisaldab
kõiki oma rajapunkte.
Def.6 Punkti A nim jada (Pn) piirpunktiks ja tähist limnP=A kui limn-d(Pn,A)=0
Def.6'Punkti A nim jada Pn piirpunktiks, kui iga E>0 korral leidub naturaalarv N nii, et d(Pn,A)
2. Kui f''(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus(a, b). Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast,nimetatakse selle joone käänupunktiks. F''(a) < 0 kumer punktis a,f''(a) > 0 nõgus punktis a. INEGRAAL n Reimanni summa: Sn(f)= f (i)xi i =1 n Kui eksisteerib piirväärtus limn;maxxi0 f (i)xi , mis ei sõltu lõigu [a; b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide i valikust, siis i =1 öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul[a; b] ning seda piirväärtust nim f-i f(x) määaratud integraaliks ehk Riemanni b a
(x1;...; xn) + (y1;...; yn) := (x1 + y1; ... ; xn + yn) (x1; ... ; xn) := (x1; ... ;xn) kus (x1; ... ; xn); (y1; ... ; yn) Rn, R. Näidata et... 2. Ühe reaalmuutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuste mõistete üldistamine vektorruumile. E-ümbrused . Lause Funktsiooni f on pidev kohal a parajasti siis kui iga jada {xn} n =1 korral, mis koondub elemendiks a piirväärtus limn-> f(xn)=f(a) f (xn) = f (a). 3. Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Määramispiirkond, mutumispiirkond, nivoojooned(-pinnad). Definitsioon Kui hulga (külliliU) Rn igale punktile P(x1; .....; xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on defineeritud n-muutuja funktsioon. Hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Pinda punktiruumis Rn võrrandiga f (x1;... ; xn) = C, kus C R on etteantud konstant, nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks
A v¨ahim hulka A sisaldav kinnine hulk. Teoreemi 3.2 omaduse 10 p˜ohjal on A hulga A sulund topoloogia T suhtes. Teoreem 3.13 Rahuldagu topoloogiline ruum X esimest loen- duvuse aksioomi ja olgu A ruumi X mittet¨ uhi alamhulk. Siis 3.2 Hulga sulund 31 x ∈ cl(A) parajasti siis, kui ta on hulka A kuuluvatest elemen- tidest koosneva jada {an }n∈N piirv¨ a¨ artus: x = limn→∞ an . T˜oestus. Olgu x ∈ cl(A). Konstrueerime jada {an }n∈N nii, et an ∈ A ja limn→∞ an = x. Eelduse kohaselt leidub punktil x loenduv u ¨mbruste baas {Un }n∈N . Siis ka hulgad n Vn = ∩i=1 Ui on iga n ∈ N korral punkti x u ¨mbrusteks. Su- lundi definitsiooni kohaselt A ∩ Vn = ∅ ja seet˜ottu leidub an ∈ A∩Vn . N¨aitame, et limn→∞ an = x. Valime punkti x mis tahes u ¨ ¨mbruse U
2 Jada koonduvusest järeldub selle jada tõkestatus 3 Kui jada piirväärtus a on nullist erinev, siis jada teatud elemendist alates on jada liikme absoluutväärtus suurem kui |a| / 2 4 Kui jadad {xn} ja {yn} on koonduvad ja nende jadade üldliikmed rahuldavad iga n ∈ N korral võrratust xn ≤ yn , siis samasugust võrratust rahuldavad ka nende jadade piirväärtused 7 Näidata et koonduv jada on Cauchy jada. Eeldame, et limn→∞xn = a. Olgu ε > 0 suvaline, siis leidub N ∈N omadusega |xn −a| < ε / 2 iga n > N korral. Kui n > N, siis saame |xn+p −xn| = |xn+p −a +a−xn| ≤ |xn+p −a|+|xn −a| < ε /2 + ε /2 = ε seega on{xn}Cauchy jada 8 Näidata, et Cauchy arvjada koondub. S – rea summa ∞ Arvrida ∑ ak koondub parajasti siis, kui iga ε > 0 korral leidub naturaalarv N ∈ N, nii et iga n > N k=1 ja p > 0 korral kehtib |Sn+p − Sn| = |an+1 + an+2 + ..
Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel. Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. Teooriaküsimused nr. 13 1. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib), st: U= limn->Un 2. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdisväärtuse leidmist lõppsumma järgi. Teooriaküsimused nr. 15 1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus
broomrapes to synthetic strigolactone analogue GR24. Journal of Central European Agriculture, 15(4), 7282. http://doi.org/10.5513/JCEA01/15.4.1511 Mjelde, M., Lombardo, P., Berge, D., & Johansen, S. W. (2012). Mass invasion of non- native Elodea canadensis Michx. in a large, clear-water, species-rich Norwegian lake impact on macrophyte biodiversity. Annales de Limnologie - International Journal of Limnology, 48(2), 225240. http://doi.org/10.1051/limn/2012016 Novikoff, A. V., & Mitka, J. (2015). Anatomy of stem-node-leaf continuum in Aconitum (Ranunculaceae) in the Eastern Carpathians. Nordic Journal of Botany, 33(5), 633 640. http://doi.org/10.1111/njb.00893 Pastorczyk, M., Gielwanowska, I., & Lahuta, L. B. (2014). Changes in soluble carbohydrates in polar Caryophyllaceae and Poaceae plants in response to chilling. Acta Physiologiae Plantarum, 36(7), 17711780. http://doi.org/10.1007/s11738-014- 1551-7
I am to wait, I do not doubt I am to meet you again, I am to see to it that I do not lose you. A Clear Midnight This is thy hour O Soul, thy free flight into the wordless, Away from books, away from art, the day erased, the lesson done, Thee fully forth emerging, silent, gazing, pondering the themes thou lovest best. Night, sleep, and the stars. Had I the Choice Had I the choice to tally greatest bards, To limn their portraits, stately, beautiful, and emulate at will, Homer with all his wars and warriors--Hector, Achilles, Ajax, Or Shakespeare's woe-entangled Hamlet, Lear, Othello--Tennyson's fair ladies, Meter or wit the best, or choice conceit to weild in perfect rhyme, delight of singers; These, these, O sea, all these I'd gladly barter, Would you the undulation of one wave, its trick to me transfer, Or breathe one breath of yours upon my verse, And leave its odor there.
..
Siis kehtivad järgmised väited
1) kui f ( x)dx
1
koondub, siis S koondub
2) kui f ( x)dx
1
hajub, siis S hajub
34. Arvrea koonduvuse d´Alembert´i tunnus
Teoreem: Kui positiivsete liikmetega rea u1+u2+u3+...+un+... (n+1)-se liikme ja n-nda
liime ja n-nda liikme suhtel on n tõkestamatul kasvamisel (lõplik) piirväärtus l, s.t. kui
limn(un+1)/un=L, siis 1. rida koondub, kui L<1 2. rida hajub, kui L>1 (Kui L=1 siis
teoreem ei anna vastust rea koonduvuse või hajuvuse küsimusele)
Tõestus1. olgu L<1. Vaatleme arvu a, mis rahuldab seost L
Lause (Cauchy kriteerium) Jada {xn } koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 19 / 24 Jada piirva¨ artus ¨ ~ Cauchy kriteeriumi toestus I ~ 1. Toestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada. Eeldame, et limn xn = a. Olgu > 0 suvaline, siis leidub N N omadusega |xn - a| < 2 iga n > N korral. Kui n > N, siis saame |xn+p - xn | = |xn+p - a + a - xn | |xn+p - a| + |xn - a| < + = 2 2 seega on {xn } Cauchy jada.
)z. Seega on siinus rangelt kasvav intervallis [0, ∞), järelikult R ypositiivne (selgitage!)z. Nüüd saame, et niipea, kui 0 < x < y, kehtib (sin x)(y − x) < x sin t dt = cos x − cos y 6 1. Vastuolu (miks?)z. Seega leidub x > 0 nii, et cos x = 0. Olgu T = {x > 0 : cos x = 0}. Et hulk T on alt tõkestatud, leidub tal alumine raja x0 . Nüüd leidub jada (xn ) elementidega hulgast T nii, et limn xn = x0 (miks?)z. Seega x0 ∈ T (põhjendage!)z. Tähistame π = 2x0 . Nüüd sin π2 = ±1; tänu sellele, et koosinus on positiivne vahemikus 0, π2 , on siinus vastavas lõigus rangelt kasvav, mistõttu sin π2 = 1. Lause 6.52 Iga x ∈ R korral kehtivad võrdused π cos − x = sin x, 2 π
annaabi.ee 
