t. ÄRME UNUSTA, ET FUNKTSIOON POLE MIDAGI MUUD KUI MUUTUV SUURUS, MIS SÕLTUB mingil viisil MINGITEST TEISTEST SUURUSTEST. Aga seisame vastu olukorrale, kus ka t sõltub omakorda teisest muutujast: t=( x), mis tähendab, et t on omakorda x funktsioon. Nii saame kokkuvõtlikult kirjutada, et y= f[(x)]. Sellist põhimõtet saab kasutada ka integreerimises, kui meil on funktsiooni f(x) integraal f(x) dx , aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t) Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja avaldada ka diferentsiaal dx, siis teeme seda: diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu (argumendi diferentsiaali) korrutis: järelikult on suurus dx = '(x) dt.
Jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest Liitfunktsiooni mõiste (liitfunktsiooni määramispiirkonda ei küsi). Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defeneeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga. Seega võime kirjutada võrduse z = ( )(x) = g[f(x)].Näiteks annavad f(x) = sin x ja g(y) = liitfunktsiooni. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2-x
· Logaritmfunktsioon: , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1). · Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Nendes valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. · Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arc cot x . Kui meil on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ning kui nendest funktsioon f[g(x)], siis on tegemist nö liitfunktsiooniga. 5. Polaarkaugus ja polaarnurk, polaarkoordinaadid. Seosed polaar- ja ristkoordinaatide vahel, joonis. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ja nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks.
ja g(x) nende summa on f+g y=f(x)+g(x) y=(f+g)(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide vahe, korrutis ja jagatis. Liitfunktsioon:Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z =g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g f. Seega võime kirjutada võrduse z = (g f)(x) = g[f(x)]. Polünoom on hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis: R(x) =a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm . 6. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni
funktsiooni f(x) ja g(x) nende summa on f+g y=f(x)+g(x) y=(f+g)(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide vahe, korrutis ja jagatis. Liitfunktsioon:Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) maaramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) maaramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z =g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g f. Seega võime kirjutada võrduse z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g f maaramispiirkond ei tarvitse kattuda f maaramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g f on maaratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g maaramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruseg[f(x)]. Seega on g f maaramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg}
y = (f g)(x) = f(x) g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x) · Liitfunktsiooni mõiste Olgu antud kaks funktsiooni: y=f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z=g(y) määramispiirkonnaga Yg . Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z=g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga . · Liitfunktsiooni määramispiirkond määramispiirkond on: · Põhilised elementaarfunktsioonid konstantne funktsioon, y=xa , y=ax , y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, y =loga x, y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. · Elementaarfunktsiooni definitsioon Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis onsaadud põhilistest
y = (f g)(x) = f(x) g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x) · Liitfunktsiooni mõiste Olgu antud kaks funktsiooni: y=f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z=g(y) määramispiirkonnaga Yg . Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z=g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga . · Liitfunktsiooni määramispiirkond määramispiirkond on: · Põhilised elementaarfunktsioonid konstantne funktsioon, y=xa , y=ax , y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, y =loga x, y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. · Elementaarfunktsiooni definitsioon Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis onsaadud põhilistest
b f(x) dx = F(b) F(a) = F(x) a 2) Muutuja vahetus määratud integraalis TEOREEM On antud integraal b a f(x) dx , kus funktsioon f(x) on lõigul [a,b] pidev. Kuna võib juhtuda ja väga tihti juhtubki, et seda integraali ei saa otse vahetult tabeli abil leida, siis võtame kasutusele uue muutuja t, mida on lihtsam leida. Võtame muutujat x kui eraldi funktsiooni. Seega on funktsiooni f(x) puhul tegemist liitfunktsiooniga. y=f(x) x=(t) , sel juhul on dx= '(t)dt Kui () = a ja () = b ja (t) ja '(t) on lõigul [a,b] pidevad ning f [(t)] on lõigul [a, b] määratud ja pidev, b a siis f(x) dx = f[(t)]'(t)dt TÕESTUS: Selleks, et veenduda, et väide on õige, peaksime suutma nii vasaku poole kui ka parema poole viima kujule F(b) F(a). Vaatame, mis teha annab: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, siis kehtib võrdus:
määramispiirkonnaks on X. Jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x X, mille korral g(x) = 0. Liitfunktsiooni mõiste: Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g f. Seega võime kirjutada võrduse z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni Määramispiirkond: Liitfunktsiooni g f määramispiirkond ei tarvitse kattuda f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g f
ka nende f-nide vahe, korrutis ja jagatis. Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X. Jagatise MP koosneb kõigist x X, mille korral g(x) 0. Liitfunktsiooni mõiste: Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x), määramispiirkonnaga Xf ja z = g (y) MP Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on liitfunktsiooniga. Tähistame seda f-ni sümboliga g f, kirjutame võrduse: z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g f MP ei pruugi kattuda f MP-ga. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel X f, mille korral f(x) asub funktsiooni g MP-s. Ainult siis saame leida f-ni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g f MP selline: Xg f = x x Xf , f(x) Yg Elementaarfunktsiooni mõiste Põhilised neist on: konstantne funktsioon, y = ,
Jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x X, mille korral g(x) = 0. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g f. Seega võime kirjutada võrduse z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g f määramispiirkond ei tarvitse kattuda f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)].
Jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x ∈ X, mille korral g(x) ̸= 0. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g ◦ f. Seega võime kirjutada võrduse z = (g ◦ f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g ◦ f määramispiirkond ei tarvitse kattuda f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g ◦ f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g ◦ f
w x z z Võttes avaldises (7.1) ja valemis (7.2) w = x , saame, et = = 1 ning = . x x w x Saame Dz z u z v z Dx = u x + v x + x (7.4) Dz z u z v z = + + Dy u y v y y Kui sõltumatuid muutujaid on vaid üks, siis on tegemist ühe muutuja liitfunktsiooniga ja me saame selle täistuletise. y = f ( x, u , v, w) u = ( x ) (7.5) v = ( x ) w = ( x) x sõltumatu muutuja Tähistame tuletised du dv dw = u , = v , = w dx dx dx Kasutades valemit (7.4), milles osatuletised x järgi on asendatud tavaliste tuletistega saamegi täistuletise valemi dy y y y y (7.6) = u + v + w + dx u v w x Vaatleme liitfunktsiooni z = f ( u, v ) u = ( x, y )
Jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x X, mille korral g(x) = 0. Liitfunktsiooni mõiste. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g f. z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Elementaarfunktsiooni mõiste. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid:
Jagatise m¨ aramispiirkond koosneb k~oigist sellistest x X, mille korral g(x) = 0. a¨ Liitfunktsiooni m~ oiste. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f (x) m¨a¨aramispiir- konnaga Xf ja z = g(y) m¨a¨aramispiirkonnaga Yg . Asendades suuruse y funkt- siooni g avaldises f (x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja s~ oltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f (x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. T¨ahistame seda funktsiooni s¨umboliga g f . Seega v~oime kirjutada v~orduse z = (g f )(x) = g[f (x)]. Liitfunktsiooni g f m¨a¨aramispiirkond ei tarvitse kattuda f m¨a¨aramispiirkon- naga. Liitfunktsioon g f on m¨a¨aratud ainult sellistel x-i v¨a¨artustel hulgas Xf , mille korral f (x) asub funktsiooni g m¨a¨aramispiirkonnas. T~oepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨a¨artuse kohal f (x) ehk suuruse g[f (x)]
Jagatise m¨a¨aramispiirkond koosneb k~oigist sellistest x X, mille korral g(x) = 0. Liitfunktsiooni m~ oiste. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f (x) m¨a¨aramispiir- konnaga Xf ja z = g(y) m¨a¨aramispiirkonnaga Yg . Asendades suuruse y funkt- siooni g avaldises f (x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f (x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. T¨ahistame seda funktsiooni s¨umboliga g f . Seega v~oime kirjutada v~orduse z = (g f )(x) = g[f (x)]. Liitfunktsiooni g f m¨a¨aramispiirkond ei tarvitse kattuda f m¨a¨aramispiirkon- naga. Liitfunktsioon g f on m¨a¨aratud ainult sellistel x-i v¨a¨artustel hulgas Xf , mille korral f (x) asub funktsiooni g m¨a¨aramispiirkonnas. T~oepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨a¨artuse kohal f (x) ehk suuruse g[f (x)]
annaabi.ee 
