2. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate - alamruumi oluline näide. 3. Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. 4. Moodustajate süsteem. 5. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid baasi suhtes. 6. Vektorid. Geomeetrilise vektori mõiste. Lineaartehted, tehete omadused. Vektori projektsioon sirgele, teljele. Vektori pikkus. Vektori ja punkti koordinaadid 3- mõõtmelises ruumis. 7. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaatkujul. 8. Vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tingimused. Kahe vektori vahelise nurga leidmine. 9. Vektorkorrutise mõiste. Vektorkorrutise omadused. Vektorkorrutise arvutamine koordinaatkujul. Rööpküliku ja kolmnurga pindala arvutamine. 10. . Segakorrutise mõiste. Segakorrutise omadused. Segakorrutise arvutamine koordinaatkujul. Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine. 11. Sirge võrrandid. Punkti kaugus sirgeni. Kahe sirge
Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine; · kahe sirge vahelise nurga arvutamine; · ringjoone ja parabooli võrrandite koostamine; · sirgete, ringjoonte ja paraboolide (kui selle telg on y-telg või y-teljega paralleelne sirge) joonestamine nende võrrandite järgi;
Kuna koordinaatteljed on omavahel risti, siis vektori r 0 M pikkus võrdub vektoritele x i , y j , z k ehitatud risttahuka diagonaali pikkusega: r x 2 y 2 z 2 . Asetsegu vektori a alguspunkt punktis A ja lõpp-punkt punktis B. LINEAARTEHTED VEKTORITEGA KOORDINAATKUJUL Olgu antud vektorid: a x1 , y1 , z1 , b x2 , y 2 , z 2 . Kahte vektorit loetakse võrdseks, kui nende vastavad koordinaadid on võrdsed: x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 . Vektorite summa ja vahe: a b x1 x 2 , y1 y 2 , z1 z 2 . Vektori korrutamine skalaariga: a x1 , y1 , z1 .
korrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist, s.t. a b = a b cos kus on vektorite vaheline nurk. Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar- korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti. Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise valemist a b = X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 Vektorite skalaarkorrutis Näide On antud kolmnurga tipud A (2;0;-1), B (-3;1;1) ja C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk. Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil. Leiame kõigepealt vektorid BA ja BC BA = (2 - (-3);0 - 1;-1 - 1) = (5;-1;-2) BC = (0 - (-3);-2 - 1;1 - 1) = (3;-3;0) nende vektorite pikkused on vastavalt
korrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist, s.t. a b a b cos kus on vektorite vaheline nurk. Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar- korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti. Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise valemist a b X 1 X 2 Y1Y2 Z 1 Z 2 Vektorite skalaarkorrutis Näide On antud kolmnurga tipud A (2;0;-1), B (-3;1;1) ja C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk. Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil. Leiame kõigepealt vektorid BA ja BC BA (2 (3);0 1;1 1) (5;1;2) BC (0 (3);2 1;1 1) (3;3;0) nende vektorite pikkused on vastavalt
korrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist, s.t. a b a b cos kus on vektorite vaheline nurk. Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar- korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti. Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise valemist a b X 1 X 2 Y1Y2 Z 1 Z 2 Vektorite skalaarkorrutis Näide On antud kolmnurga tipud A (2;0;-1), B (-3;1;1) ja C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk. Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil. Leiame kõigepealt vektorid BA ja BC BA (2 (3);0 1;1 1) (5;1;2) BC (0 (3);2 1;1 1) (3;3;0) nende vektorite pikkused on vastavalt
abil. Rööptahuka ruumala V=|abc|. Kui abc=0, siis on vektorid a,b ja c komplanaarsed (st. Samale tasandile viidavad). Sirge parameetrilised võrrandid tasandil ja ruumis r=ro+ts, tR, nimetatakse sirge L parameetriliseks võrrandiks vektorkujul ja kordaja t on võrrandi parameeter. Kui sirgel on algus ja lõpp, siis on tegu lõiguga. Selle parameetriline võrrand vektorkujul on r=ro+ts, t[a,b]. Pmst sama ruumis. Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil ja ruumis Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil x=xo +tsx ,y=yo +tsy ,kus tR. Lõigu parameetrilised võrrandid erinevad ainult parameetri t väärtustelt: need muutuvad kõigi reaalarvude asemel teatud lõigu [a,b]. Pmst sama ruumis. Kanooniline võrrand x-xo/sx=y-yo/sy. y=k(x-xo)+yo, kus k=sy/sx nim. Sirge tõusuks. See on sirge ja x-telje vahelise nurga tangens, st. k=tan. Sirge võrrand esitatakse tavaliselt üldvõrrandina
muuduga 27 Ühtlane ja ühtlaselt muutuv sirgliikumine • Ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille korral mistahes võrdsetes ajavahemikes läbitakse võrdsed teepikkused (v=const, a=0). • Sellist liikumist, mille kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike jooksul 28 Liikumisvõrrandid • Iga konstantse kiirendusega liikuvat keha saab kirjeldada liikumisvõrrandite abil. • Koordinaatkujul avalduvad liikumisvõrrandid a x const järgnevalt: v x v0 x a x t 2 x x0 v0 x t a x t 2 29 • Ühtlaselt muutuva liikumise kiiruse graafikuks on tõusev või langev sirge. • Aja t jooksul keha poolt sooritatava nihke pikkus on võrdne selle trapetsi pindalaga, mille
Igal nullruumist erineval vektorruumil leidub baas. 2. Vektorruumi erinevates baasides on sama palju vektoreid. Vektorite arvu baasis nimetatakse vektorruumi V mõõtmeks ehk dimensiooniks; tähis dimV. 3. dimV = n; 1, ..., m V; m < n; lineaarselt sõltumatud => nende vektorite hulka saab täiendada baasiks, st leiduvad sellised vektorid m+1; ...; n, nii et B = {1; ....; m; m+1; ...; n} 4. dimV = n; 1, ..., m V; m > n => 1, ..., m on lineaarselt sõltuvad 19. Vektori koordinaadid. Tehted koordinaatkujul antud vektoritega. n- mõõtmelise vektorruumi isomorfsus aritmeetilise ruumiga. dimV = n < ; B = {1; 2; ...; n}; V; = a11 + a22 + ... + ann; a1, ...an K - vektori koordinaadid vaadeldavas baasis B = (a1; ...; an)B; = (b1; ...; bn)B; c K + = (a11 + ... + ann) + (b11 + ... + bnn) = (a1 + b1)1 + ... + (an + bn)n = (a1+b1; ...; an+bn)B c = c(a11 + ... + ann) = (ca1)1 + ... + (can)n = (ca1; ...; can)B n-mõõtmeline vektorruum V üle korpuse K on isomorfne n-mõõtmelise
F=*((m1*m2)/r2), - gravitatsioonikonstant, r - kehade vaheline kaugus d) erirelatiivsus m=m0/1+v2/c2 , v- keha kiirus, c valguse kiirus e) kiirusest sõltuv mass ma= F, m=m(t), a=r``(t), (d/dt)mv 30. Dünaamika põhiülesanded. Ülesanded: a) on antud masspunkti liikumine (s.t. tema liikumisseadus) ja tuleb leida jõud, mille mõjul liikumine toimub. b) on antud masspunktile mõjuv jõud, leida tuleb selle masspunkti liikumise seadus. 31. Punkti liikumise diferentsiaalvõrrandid (vektorkujul, koordinaatkujul). *Üldjuhul: ~F= ~F(~r, d~r/dt, t) *Vektorkujul: m(d2~r/dt2)= ~F(~r, d~r/dt, t) , võib vaadelda kui diferentsiaalvõrrandit, milles kohavektor ~r on funktsiooniks ja aeg t argumendiks. *Koordinaatkujul: a) ristkoordinaadid: mx``= Fx; my``= Fy; mz``=Fz b) polaarkoordinaadid: m(r´´-r*´2)=Fr, md/rdt(r2*`2)=F 32. Masspunktide süsteem. Masspunktide süsteemi mass, masspunktide süsteemi massikese. Süsteemi välis- ja sisejõud. Sisejõudude omadused.
tähistamine. koordinaadid, kahe vektori käsitlemine. Nullvektor, vaheline nurk; ühikvektor, 2) liidab, lahutab ja korrutab vastandvektor, vektoreid arvuga nii seotud vektor, geomeetriliselt kui ka vabavektor. koordinaatkujul; Vektorite võrdsus. 3) arvutab kahe vektori Vektori skalaarkorrutise ning rakendab koordinaadid. vektoreid füüsikalise sisuga Vektori pikkus. ülesannetes; Vektorite liitmine 4) kasutab vektorite ristseisu ja ja lahutamine. kollineaarsuse tunnuseid;
klassi viimase teemana ja analüütiline geomeetria ruumis, mida õpetatakse vaid laias matemaatikas 12. klassis. Esimene kursus kannab pealkirja ,,Vektor tasandil. Joone võrrand" nii laias kui kitsas matemaatikas, kuid erinevused sisus on olulised. Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga või kahe punktiga ning määrab sirgete vastastikuse asendi ja leiab vajadusel nende lõikepunkti. Õpilane tunneb ja joonestab sirgeid, paraboole ja ringjooni nende võrrandite järgi ning koostab ringjoone võrrandi keskpunkti ja raadiuse järgi
parameetriline võrrand: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasand võib olla määratud punktiga P(xp; yx; zp) ja normaalvektoriga n = (n1; n2; n3) Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. (st vektorid n ja PQ on risti) tasandi vektorvõrrand: PQ n = 0 tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 x,y,z tasandi punkti koordinaadid; a,b,c kordajad vektorkujul: koordinaatkujul: 25. Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid. Ühe muutuja funktsioon kui igale muutuja x väärtusele piirkonnas X vastab üks ja ainult üks muutuja y väärtus piirkonnas Y, siis öeldakse, et hulgas X on antud funktsioon f ja kirjutatakse kujul y = f(x). x sõltumatu muutuja / argument, y sõltuv muutuja Mitme muutuja funktsioon sõltuv muutuja y sõltub korraga mitmest sõltumatust
Aine magneetumist iseloomustav suurus igas aine punktis on magneetumusvektor J - aine magnetmoment ruumalaühiku kohta. · Induktiivsus L (H) (Henry) · Noolereegel, selle rakendamine vektorkorrutisena antud valemite graafilisel kujutamisel. a) vektorkorrutis; b) ortonormaalne reeper kui "parempoolne kolmik" Vektorkorrutis koordinaatkujul: ja determinandina: · Magnetväli vooluga juhtme ümber: suuna määramine. Ampere'i seadus: Vooluga juhtmele magnetväljas mõjuv jõud on võrdeline voolutugevuse, juhtme pikkuse ja magnetilise induktsiooniga ning magnetvälja ja voolu suundade vahelise nurga siinusega. Jõud on risti nii juhtme kui magnetväljaga, tema suuna määrab vasaku käe reegel. Tesla on sellise välja magnetiline induktsioon, kus vooluga raamile, mille pindala on
Aine magneetumist iseloomustav suurus igas aine punktis on magneetumusvektor J - aine magnetmoment ruumalaühiku kohta. · Induktiivsus L (H) (Henry) · Noolereegel, selle rakendamine vektorkorrutisena antud valemite graafilisel kujutamisel. a) vektorkorrutis; b) ortonormaalne reeper kui "parempoolne kolmik" Vektorkorrutis koordinaatkujul: ja determinandina: · Magnetväli vooluga juhtme ümber: suuna määramine. Ampere'i seadus: Vooluga juhtmele magnetväljas mõjuv jõud on võrdeline voolutugevuse, juhtme pikkuse ja magnetilise induktsiooniga ning magnetvälja ja voolu suundade vahelise nurga siinusega. Jõud on risti nii juhtme kui magnetväljaga, tema suuna määrab vasaku käe reegel. Tesla on sellise välja magnetiline induktsioon, kus vooluga raamile, mille pindala on
lõpuga. Liidame näiteks vektorid a ja b . a a b a+ b Kui vektorid a ja b on antud koordinaatkujul, siis summavektori koordinaatide leidmiseks liidame omavahel esimesed koordinaadid ja teised koordinaadid, s.t., kui a = (x1; y1) ja b = (x2; y2), siis a + b = (x1 + x2; y1 + y2) Näide. Leiame vektorite a = (3; –2) ja b = (4; 5) summa. a + b = (3 + 4; –2 + 5) = (7; 3)
kirjutatakse vastava vektori märk, näitabki, et tegu on joonise tasandiga ristseisus oleva vektoriga. Aga vektoril on ka suund, ta võib olla suunatud joonise suhtes nii ette- kui tahapoole. Et kaht suunda eristada, joonistatakse ringikese sisse kas punkt või rist. Punkt tähendab, et vektor on suunatud vaatleja poole (vaatleja näeb läheneva noole tippu), rist aga seda, et vektor on suunatud joonise taha (vaatleja näeb minema lendava noole sabasulgi). Vektorkorrutis koordinaatkujul: ja determinandina: Noolereegel: a) vektorkorrutis; b) ortonormaalne reeper kui "parempoolne kolmik". 76 Nimetame seda võtet "noolereegliks" ja kasutame oma joonistel homogeense magnetvälja kujutamiseks. Juhtmete, juhtmekeerdude ja laetud osakeste liikumist ning neile nõjuvaid jõude on nii väga mugav kujutada.
2. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaat- kujul. Vektorite ristseisu tingimus. Kahe vektori vahelise nurga leidmine. 3. Vektorkorrutise mõiste. Vektorkorrutise omadused. Vektorkorrutise arvutamine koordinaat- kujul. Rööpküliku ja kolmnurga pindala arvutamine. Vektorite kollineaarsuse tingimus. 4. Segakorrutise mõiste. Segakorrutise omadused. Segakorrutise arvutamine koordinaatkujul. Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine. PEATÜKK 13. VEKTORID RUUMIS Antud loengu materjal pärineb suuresti Aivo Parringu loengu- konspektist http://math.ut.ee/pmi/kursused/ag/parring/ peatü- kist "IV. Vektoralgebra`'. Viidatud materjalis on kogu teoreetiline üles- ehitus algusest lõpuni läbi tehtud koos vajalike tõestustega. Meie
annaabi.ee 
