Seega Võrrandil x2 = 2 ei ole lahendeid ratsionaalarvude hulgas. Viimasel võrrandil on aga need arvud on omavahel võrdsed. Kas leiad veel võrdsete kompleksarvude paare ? olemas lahendid reaalarvude hulgas Ã. Reaalarvude hulga saame lisades ratsionaalarvude hulgale  irratsionaalarvude hulga Å: à = ½Å. Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Võrrandil x2 + 1 = 0 reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest ei leidu sellist reaalarvu, mille ruut on võrdne (-1)-ga (võrrandist x2 + 1 = 0 järeldub, et x2 = -1). Näide 2. Leiame kompleksarvudele 4 - 5i, 3i - 5 ja 9i kaaskompleksarvud. Samuti ei ole reaalarvude hulgas lahendeid üldisemal võrrandil x2 + a = 0, Kuna kaaskompleksarvude reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad vastasmärgi- lised,
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste: Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui nende imaginaarosad ja reaalosad on vastavalt võrdsed a + bi = c + di <=> a = c ja b = d Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Näiteks 5+2i ja 5-2i. Kompleksarvu a + bi vastandarvuks nimetatakse kompleksarvu -a bi. Näiteks 7+5i ja -7- 5i. Tehted kompleksarvudega: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (5 -3i)+(2 + 7i) = (5+2) + (-3+7)i = 7 + 4i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b d)i (5-3i)-(2+7i) = (5-2) +(-3-7)i = 3 - 10i (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise. Kompleksarve nim arvudex, sest nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist. Komar liitmine ja lahutamine on kõige otstarbekam teha algebralisel kujul. Def. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja z2 = a2 + ib2 summaks on komar z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2). Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Def. komar'de z1 C ja z2 C vahex z1 - z2 on summa z1 + (-z2). Kompleksarvude lahutamisel lahutatakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. NB
Umbes samal ajal tuletas ta vhimruutudemeetodi. Doktorits testas algebra phiteoreemi. Vhimruutude meetodi phjal tuletas ta ,,Gaussi meetodi" taevakehade trajektooride kindlaks tegemiseks. Seda meetodit kasutatakse siiani satelliitide jlgimisel. Aastatel 1802 ja 1809 kandideeris Gauss ka Tartu likooli professoriks. Tulemuste eest astronoomias mrati Gauss 1807 Gttingeni observatooriumi direktoriks. 1827 ilmunud t pani aluse diferentsiaalgeomeetriale. Gaussi kvera nime kannab normaaljaotuse kver. Kompleksarve nimetatakse ka vahel Gaussi arvudeks. Gaussi meetodi nime kannab meetod lineaarvrrandissteemide lahendamiseks. Arvuteoorias tegeles algjuurte ja algarvudega. Testas ruutvastavuse teoreemi. Aastal 1802 ilmunud ts vttis esmakordselt kasutusele miste ,,determinant", mis temal thistas ruutvrrandi diskriminanti. Gaussi pilastest on tuntuimad Dedekind ja Riemann.
.., am1 asuvad teheteks punktina Ax; y, mille maatriksi A kõrvaldiagonaalil. koordinaadid on x ja y, ja vastupidi, xy-tasandi iga punkti M x; ysaab vaadelda Liitmine: kompleksarvu x iy geomeetrilise kujutisena. m × n- maatriksite A = (aij) ja B = (bij) summaks nimetatakse m×n- Tasandit, millel kujutatakse kompleksarve, nimetatakse A+B= (cij), kus cij = aij + bij kompleksmuutuja z tasandiks maatriksit kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. (joonisel on sümbol z ringi sees). Selle tasandi nendele Aritmeetiline vektor punktidele, mis asetsevad x-teljel, vastavad reaalarvud (y 0)
põhjal: 1)valime ühe veeru(võimaluse korral rohkete nullidega). Valime veerus juhtelemendi 2) Punktis 1 valitud veeru ülejäänud elemendid(va juht) teisendame nullideks, liites deti reidadele sobiv arv kordi juhtelemendile vastavat rida. 3) Arendame deti valitud veeru järgi. Nii saame ühe võrra mdalama järguga deti 4) Kordame punkte 1-3 kuni jõuame 2. või 3. järku detini, mida saab vahetult arvutada. Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu
ˇ Sveitsi matemaatik Leonhard Euler (1707-1803) v˜ ottis −1 t¨ahistamiseks kasutusele t¨ahe i. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvude kasutamisest Kompleksarvud lubavad vaadata matemaatilisi v˜orrandeid, mis ei ole lahenduvad reaalarvude hulgal. Kompleksarve kasutatakse sageli praktikas info salvestamiseks kam˜o˜otmeliste objektide kohta. Kompleksarvud on v¨aga t˜ ohus vahend kirjeldamiseks v˜onkumisi. Fraktalid. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Fraktaalsed struktuurid Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid
2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. 1. Komplesarvude liitmine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i summaks nimetatakse võrdusega z1 + z2 = ( a1 + b1i ) + ( a2 + b2i ) = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i (1) määratud kompleksarvu. Vektoritena kujutatud kompleksarve liidetakse vektorite liitmise reegli põhjal. 2. Kompleksarvude lahutamine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i vaheks nimetatakse niisugust kompleksarvu, mille liitmisel arvuga z2 saadakse summa, mis võrdub arvuga z1 : z1 - z2 = ( a1 + b1i ) - ( a2 + b2i ) = ( a1 - a2 ) + ( b1 - b2 ) i . (2) Kahe kompleksarvu vahe moodul võrdub neid arve komplekstasandil kujutavate punktide vahelise kaugusega:
Täisarve ei saa jagada, sest siis pole tulemuseks enam täisarv. Ratsionalarv arv, mida saab esitada kujul a/b , kus a ja b on täisarvud ning b0 . Ratsionaalarvude tähis on Q. Kompleksarvude hulk- Kompleksarvud on algebraline süsteem, mis lubab kirja panna suvalise astme võrrandi lahendeid. Koosneb reaal- osast (tavaline reaalarv) ja imaginaar-osast (reaalarvu korrutis imaginaarühikuga i. Imaginaarühik defineeritakse seosega i²=-1 . Matemaatikud kasutavad kompleksarve II järku diferentsiaalvõrrandite teoorias, füüsikud ostsilleeruvate (võnkuvate) süsteemide kirjeldamisel, kus nad annavad tavaliste arvudega võrreldes märksa kompaktsema esituse. Nii on kvantmehaanika esitatav ainult kompleksarvude vahendusel, suurt ruumi ja aja kokkuhoidu annavad nad ka vahelduvvoolu teoorias. Ongi käes veel kaks lahendit, mis erinevad vaid imaginaarosa märgi poolest. Selliseid kompleksarvude paare nim. kaaskompleksarvudeks. Tehted kompleksarvudega
· Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a 2 + b2 13. Kompleksarvu geomeetriline esitus- · Kujutada ühel teljel pole võimalik, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud) · Kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt 13.1. Reaaltelg ja (x-telg) 13.2. Imaginaartelg (y-telg) · Kuidas võrrelda kompleksarve? Pole järjestatud hulk. Aga ikkagi ... 14. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju- · Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi · Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast reaalosa a ja imaginaarosa b nurga (kompleksarvu argument) ja mooduli kaudu ning asendame algebralisel kujul antud kompleksarvu. · a + bi = r (cos + i sin ) Saame: · Paneme tähele, et lisades nurgale täispöördeid, saame alati sama
peame silmas talle vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist [lk 120]. Sama- moodi võime ka iga kompleksarvu korral rääkida tema suurusest – talle kompleks- tasandil vastava punkti kaugusest nullpunktist. Seda kaugust võib muidugi leida arvuhulgad Pythagorase teoreemi abil. Aga kompleksarve pole ju olemas! Nagu ennist rääkisime, oli matemaatikutel ja kogu inimkonnal suuri raskusi nega- tiivsete arvudega – alles paarsada aastat tagasi lepiti, et tegemist on ikkagi täiesti mõistlike ja loomulike arvudega, millega tegelemine ei ole sugugi jumalateotus. Selles valguses on kompleksarvude mõistlikkuse ja loomupärasuse kahtlustamine igati mõistetav
Näide. (2 + 5i) + (3 - 3i) = (2 + 3) + (5 - 3)i = 5 + 2i: Leiame kahe kompleksarvu korrutise. Selleks korrutame liikmeti läbi ja arvestame võrdust 1: Enne kompleksarvude jagatise defineerimist defineerime kaaskompleksarvu mõiste. Definitsioon. Kompleksarvu z = a+ib kaaskompleksarvuks nimetatakse arvu . Kaaskompleksarvude omadused: Kompleksarvude jagatise leidmisel korrutakse ja jagatakse nimetaja kaaskompleksarvuga: Kompleksarve saab kujutada geomeetriliselt komplekstasandil, seejuures x-telg on reaaltelg, y-telg on imaginaartelg. Kompleksarvule z = a + bi seame vastavusse () punkti A(a, b) ning kohavektori = (a, b) ; s.t. z = a + bi , = (a, b). Niisiis geomeetriliselt kompleksarv z = a + bi näeb välja selliselt: Sellist tasandit, millel on kujutatud kompleksarvud, nimetatakse komplekstasandiks.
Sundvõnkumiste korral mõjub võnkuvale süsteemile perioodiline välisjõud. Amplituud sõltub selle jõu ringsagedusest . Välisjõu mingil kindlal sagedusel muutub amplituud väga suureks, sest välisjõud toimib süsteemi omavõnkumistega samas taktis (lükkab igal võnkel takka). Sellist olukorda nimetatakse resonantsiks. Resonants tekib välisjõu ringsagedusel r = (0 2- 2 2) 1/2 , mida nimetatakse resonantssageduseks. Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa).
ne u¨ldistus. Piltlikult ¨oeldes kompleksarv ongi tasandiline (ehk 2-m~o~otmeline) arv. Piltlikustamiseks v~oib kasutada xy-tasandit, kus kompleksarvu z x-koordinaat on Re z ning y-koordinaat on Im z. Sellises t~olgenduses nimetatakse xy-tasandit komplekstasan- diks, x-telge nimetatakse reaalteljeks ja y-telge imaginaarteljeks. Kompleksarv esitub u ¨heselt komplekstasandi punktina. Joonise koostamine j¨aa¨gu iseseisvaks harjutuseks. 2 Tehted kompleksarvudega 2.1 Idee selgitus Kompleksarve nimetatakse arvudeks ehk skalaarideks eesk¨ att sel- lep¨arast, et nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, 4 V. Kompleksarvud lahutamist, korrutamist ja jagamist. Tehted saab defineerida maat- rikstehetena. Osutub, et tehete tulemuseks on samuti kompleks- arvud, s.t C on kinnine aritmeetiliste tehete suhtes. 2.2 Tehete definitsioon Kompleksarvude liitmine, lahutamine ja korrutamine defineeritak-
Sundvõnkumiste korral mõjub võnkuvale süsteemile perioodiline välisjõud. Amplituud sõltub selle jõu ringsagedusest . Välisjõu mingil kindlal sagedusel muutub amplituud väga suureks, sest välisjõud toimib süsteemi omavõnkumistega samas taktis (lükkab igal võnkel takka). Sellist olukorda nimetatakse resonantsiks. Resonants tekib välisjõu ringsagedusel r = (0 2- 2 2) 1/2 , mida nimetatakse resonantssageduseks. Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa).
Sundvõnkumiste korral mõjub võnkuvale süsteemile perioodiline välisjõud. Amplituud sõltub selle jõu ringsagedusest . Välisjõu mingil kindlal sagedusel muutub amplituud väga suureks, sest välisjõud toimib süsteemi omavõnkumistega samas taktis (lükkab igal võnkel takka). Sellist olukorda nimetatakse resonantsiks. Resonants tekib välisjõu ringsagedusel r = (0 2- 2 2) 1/2 , mida nimetatakse resonantssageduseks. Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa).
Definitsioon 15.3 Seejuures nimetatakse arvu a kompleksarvu z = a + b i reaalosaks (a = Re(z)), arvu b kompleksarvu z imaginaarosaks (b = Im(z)). Arve b i nimetatakse imaginaararvudeks. Kõigi kompleksarvude hulka tähistame sümboliga C. Märkus 15.1 Igale kompleksarvule z = a + b i vastab üks-üheselt reaalarvude järjestatud paar (a, b), millele omakorda vastab üks-üheselt xy-tasandi punkt A = (a, b). Seega võime kõiki kompleksarve kujutada punktidena koordinaattasandil. Sellist tasandit nimetatakse komplekstasandiks ehk ka Argand'i tasandiks ja joonist selle peal Argand'i diagrammiks. Punkti A (ka tema kohavektorit OA) nimetatakse kompleksarvu z = a + b i geomeetriliseks kujutiseks. Seejuures x-telge nimetatakse reaal- teljeks ning y-telge nimetatakse imaginaarteljeks. 15.3 Kompleksarvu algebraline kuju Definitsioon 15.4 Kompleksarvu z esitusviisi z = a + b i nimetatakse kompleksarvu z
Vastavalt sellele töödeldakse loogikaandmeid kas terve sõna ulatuses või sõna üksikute bittide kaupa. Märgijadasid kasutatakse enamasti võimsates arvutites. Väikestes juhtarvutites eraldi andmeliigina neid üldjuhul ei kasutata. Märgijadadena esitatud andmed haaravad tavaliselt suvalise arvu arvutisõnu. Märgi (tähe, numbri jne e tärgi) esitusüksus on bait, mis kõige sagedamini koosneb 8 bitist. 84 Programmeerija kasutab sageli ka kompleksarve, kuid nendega sooritatavad tehted teisendatakse programmide abil teheteks arvude reaal- ja imaginaarosadega. Lisaks aritmeetilistele ehk arvandmetele salvestavad ja töötlevad arvutid suvalisi tekstijadasid, mis on koostatud arvutile tuntud märkidest (numbrid, suurtähed, mitmesugused erimärgid). Selliseid tekste nimetatakse märgistringideks. Märgistringid salvestatakse arvuti mällu ASCII-koodis järjestikuste baitidena nii, et iga märk hõlmab ühe baidi
Plancki konstant ka kui mõjukvant. h dimensioon ühtib ka impulsimomendi dimensiooniga. Väga tihti on aga Plancki konstant jagatud 2 piiga, seepärast on h tegelik arvväärtus aga järgmine: h = 6,62 * 10-34 J*s = 6,62 * 10-27 erg*s. Kompleksarvud kvantmehaanikas Schrödingeri võrrand sisaldab imaginaarühikut ja seega on selle võrrandi kõik lahendid üldiselt kompleksarvuliste väärtustega. Arvestada tuleb ainult võrrandi reaalosa. Kompleksarve ei ole võimalik järjestada. Kompleksarvud füüsikas ise ei oma tegelikult füüsikalisi tähendusi, vaid tuleneb ainult matemaatikast. Paljud füüsika võrrandid kirjutatakse sageli komplekskujul, sest siis on lihtsam sooritada arvutusi ( näiteks tuletusi ja integreerimist ). Kuna Schrödingeri võrrand on kvantmehaanika põhivõrrand, mis on ka komplekskujul, siis peaaegu ka kõik teised kvantmehaanika matemaatilised avaldised on kompleksed. Näiteks x-telje positiivses suunas leviva
annaabi.ee 
