Õppejõud Ahti Lohk õpperühm EAKI-21 Variant: 5 Ristkülikmaatriks leida maatriksi iga rea skalaarkorrutis vektoriga leida minimaalne element antud ridade vahemikus (S) moodustada uus maatriks ridadest, kus esimene element on suurem antud arvust Ruutmaatriks lahutada esimene veerg veergudest, kus peadiagonaali element on positiivne leida saadud maatriksi elementide aritmeetiline keskmine leida minimaalne element ülalpool kõrvaldiagonaali (S) Ülesande realisatsioon Ruutmaatriksi puhul Min ülalpool m n kõrv.diag. 8 6 Genereeri 66 -62 -9 -70 86 -82 -20 -2 -34 18 86 -11
Informaatika II Tallinna Tehnikaülikool Tudeng: EAEI-21 Õppejõud: Kristina Murtazin Ristkülikmaatriks - leida minimaalne element antud veergude vahemikus - leida maatriksi selle rea elementide keskmine, kus asub leitud miinimum (S) - moodustada uus maatriks ridadest, kus esimene element on väiksem leitud keskmisest Ruutmaatriks - lahutada vektor maatriksi igast veerust (S) - leida ülalpool kõrvaldiagonaali asuvate elementide absoluutväärtuste keskmine vahetada read, kus asub maatriksi peadiagonaali minimaalne ja maksimaalne element 41 7 16 -42 -40 55 -98 52 63 42 -91 -17 73 58 -25 93 75 -89 90 -27 Tee maatriks
Kõrvaldiagonaali negatiivsete elementide summa: 60 44 2 5 1 55 2 4 1 1 Eelviimase rea väikseima elemendi väärtus: 7 -2 1
Funktsioon aritm2(A(), rn, m) Leiab selle rea elementide aritmeetilise keskmise, kus asub leitud maksimum. Vastus esitatakse töölehel lahtris "kesk". rn Rea number, kus asub maksimum. m Maatriksi veergude arv. A() Maatriks A. hiljem massiividesse loetakse. Ruutmaatriks Protseduur Lahuta(A(), B(), C(), n) veeru elementidest. Lahutab vektori B nendest ridadest, kus kõrvaldiagonaali element on positiivne. n Maatriksi ridade arv. A() Esialgne maatriks A. B() Vektor B. C() Uus maatriks C. Uus maatriks C kuvatakse 1-realise vahega maatriksist A allapoole. Funktsioon Yleminemin(A(), n, min)
-72 26 99 -54 25 -32 61 20 54 -10 -46 -17 -32 46 Ristkülikmaatriks *leida maatriksi viimase veeru ja vektori skalaarkorrutis (S) *jagada iga rea elemendid selle rea elementide summaga *moodustada uus maatriks veergudest, kus viimane element on suurem antud arvust Ruutmaatriks *lahutada esimene rida nendest ridadest, kus kõrvaldiagonaali element on positiivne *leida minimaalne element antud veergude vahemikus *leida positiivsete elementide keskmine allpool peadiagonaali (S) Kesk Skalaar Antud arv Veerg_1 Veerg_2 Min_elem -12189 20 1 3 Vektor Iga rea elemendi jagamine selle rea elementide summaga -48 -0,4 0,5 0,4 0,3 -92 0,3 -0,6 0,5 0,3
36 30 -2 13 39 34 14 41 Arv 5 Rida Veerg Veerg_1 2 Veerg_2 4 Ristkülikmaatriks - leida maatriksi viimase veeru ja vektori skalaarkorrutis - jagada iga rea elemendid selle rea elementide summaga - moodustada uus maatriks veergudest, kus viimane element on suurem antud arvust Ruutmaatriks - lahutada esimene rida nendest ridadest, kus kõrvaldiagonaali element on positiivne - leida minimaalne element antud veergude vahemikus - leida positiivsete elementide keskmine allpool peadiagonaalis 29 viimase veeru m ja vektori skalaarkorrutis 20 10 25 minimaalse elemendi antud veergude vahem 47 -2 leida positiivsete elementide keskmine allpo 0 ntud arvust positiivne ori skalaarkorrutis
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Massiivid Kristiina Stõkova Matrikli nr: 105281 Kristina Murtazin Õpperühm: EAEI-23 Variant: 11 Ristkülikmaatriks: 1) leida maksimaalne element ja selle asukoht igas reas 2) leida maatriksi nende elementide summa, mis on väiksemad antud arvust 3) moodustada uus maatriks veergudest, kus esimene element on negatiivne (S) Ruutmaatriks: 1) liita vektor nendele ridadele, kus kõrvaldiagonaali element on negatiivne 2) leida maksimaalne element väljaspool peadiagonaali ja selle asukoht (S) 3) vahetada viimane veerg veeruga, kus asub leitud maksimum arvust atiivne (S) atiivne oht (S) Tee maatriks Tee vektor Lahenda Kustuta Ristkülik: Vali arv: Summa: 10 ektor Ruut: Max.el: Rida: Veerg: Sub Tee_Maatriks() Koostab vabalt valitud ridade ning veergude arvuga maatriksi töölehele. Sub Tee_Vek()
leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant 4 Avaldist kujul a d b c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu: a b ad bc c d Arve a, b, c ja d nimetatakse determinandi elementideks. Elemendid a ja d moodustavad determinandi peadiagonaali, b ja c kõrvaldiagonaali. Kolmerealise determinandi väärtuse arvutamiseks kasutatav skeem:
leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant 4 Avaldist kujul a d b c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu: a b ad bc c d Arve a, b, c ja d nimetatakse determinandi elementideks. Elemendid a ja d moodustavad determinandi peadiagonaali, b ja c kõrvaldiagonaali. Kolmerealise determinandi väärtuse arvutamiseks kasutatav skeem:
i2 = -1 = a + bi a-kompleksarvu reaalosa bi imaginaarosa b imaginaarosa kordaja i imaginaarühik Olgu hulk C kõigi selliste(2 × 2)järku ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid teineteise vastandarvud. = ( a -b) (b a) Def1 Kui hulgas on määratud tehe/ arvutus operatsioon ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus on uuesti selle hulga element, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinni. Hulk C on osutunud kinniseks kõigi 4 aritmeetilise tehte suhtes (liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine). Omadused hulgas C: Om1 + ( + ) = ( + ) +
Teist ja kolmandat järku determinandid kui erijuhtumid. N-järku ruutmaatriksile seatakse vastavusse realarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat järku determinandiks, mis on sobivalt valitud märgiga. Kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja veergudest. Teist järku determinant sisaldab 2 liidetavat mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe. Kolmandat järku determinant koosneb 3 liidetavast, mis on maatriksi 3 elemendi korrutused ja nende märgid määratakse vastavalt
Kompleksarvud · Kui vaatleme ruutvõrrandit x2+1=0 siis selline ruutvõrrand ei ole lahendatav. Kui aga eeldame, et arvu i olemasolu, mille korral i2 =-1 x2=1 x=+- 1. · olgu hulk C kõigi selliste (2*2) ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ja kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud. · Def1: Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub uuesti selle sama hulga elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinnine. · Tuginedes maatriksarvutustele võime väita, et hulgas C kehtivad järgmised omadused: · Hulk C osutub algebralise süsteemi mõttes kommutatiivseks korpuseks.
Tõepoolest, = ab ab = 0. a3 b3 c3 a b elemente a1, b2 ja c3 nimetatakse peadiagonaali elementideks ja 4. Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja elemente c1, b2 ja a3 nimetatakse kõrvaldiagonaali elementideks. sama teguriga korrutub determinant selle teguriga. Sarruse reegli järgi on determinandi väärtust küll lihtne arvutada, kuid arvutus- a b Korrutame determinandi üht rida mingi arvuga k, siis käiku võib veelgi lihtsustada, kui determinandist paremale kirjutada täiendavalt c d
22. september 2008.a. Majandusmatemaatika ja Statistika Õppejõud: Silvi Malv Ainepunkte: 4,0 Maht tundides: 160 Hindamisviis: eksam, + teha kõik kontrolltööd tundides (2 matemaatikas ja 1 statistikas) + 1 kodune uurimus Statistika valdkonnas (nt. Omad kulud). MAATRIKSID Maatriks - ristküliku kujuline arvude tabel, kus m-arvud on pandud m-ridasse ja n-arvud on pandud n-veergu. Maatriksis olevaid arvu nim. elementideks, neid pannakse sulgudesse () või [] või ||. a11 a12 ... a1n A= a21 a22 ... a2n = (aij)mn m rida am1 am2 ... amn Arves kõige oluliseim info on summa, hinded, kogus. n - veerg Igal real on oma number. MAATRIKSITE PÕH...
ruutvormi asemele uue ruutvormi. Otsitakse võimalikult Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud, nimetatakse distributiivsus vektorite liitmise suhtes lihtsat kuju. F= moodustatud mingi konkreetne järjestus Pn=n! Öeldakse, et kui kompleksarvude hulgaks, ning tema elemente nimetatakse Kõik ruutvormid on muutujate regulaarse tisenduse väiksem indeks asetseb suurema indeksi ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse
A= . Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: aik A= mn . Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk üheveeruliseks maatriksiks; näiteks 4,5 2,3 3,2 12 A= . Viimast kahte maatriksit nimetatakse ka vektoriteks. 4
n! = 1 2 . . . n tükki. Öeldakse, et kaks arvu k ja l moodustavad permutatsioonis inversiooni, kui suurem arv asetseb väiksema ees. St kui ( . . . k . . . l . . .) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2! = 12 liidetavat, mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Täpsemalt, teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe: A2×2 | A | = a11 a22 a12 a21. 2) KOLMANDAT JÄRKU DETERMINANT (n = 3) koosneb 3!=123 liidetavast, mis on maatriksi kolme elemendi korrutised ja nende märgid määratakse vastavalt SARRUSE REEGLILE: A3×3 | A | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 . MÄRKUS. Determinandi mõiste võimaldab lahendada küsimust maatriksi
n! = 1 2 . . . n tükki. Öeldakse, et kaks arvu k ja l moodustavad permutatsioonis inversiooni, kui suurem arv asetseb väiksema ees. St kui ( . . . k . . . l . . .) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2! = 12 liidetavat, mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Täpsemalt, teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe: A2×2 | A | = a11 a22 a12 a21. 2) KOLMANDAT JÄRKU DETERMINANT (n = 3) koosneb 3!=123 liidetavast, mis on maatriksi kolme elemendi korrutised ja nende märgid määratakse vastavalt SARRUSE REEGLILE: A3×3 | A | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 . MÄRKUS. Determinandi mõiste võimaldab lahendada küsimust maatriksi
. . . a am2 ... a mn A= m1 . Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk 4,5 2,3 - 3,2
a am2 ... a mn m1 Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk 4,5 2,3 üheveeruliseks maatriksiks; näiteks A = - 3,2 .
tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m n. Kolmnurkne maatriks- nim. maatriksit, kus ühel pool pea- või kõrvaldiagonaali on kõik elemendid nullid. Diagonaalmaatriks - on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole nullid. Ühikmaatriks nim. maatriksit, kus peadiagonaali elemendid on 1-ed ning ülejäänud elemendid on 0-id Nullmaatriks Maatriks, mille kõik elemendid on nullid. Maatriksi tähis on Vastandmaatriks - nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on -A.
1.a Milline oli korvpallivõistkonna visketabavuse protsent, kui 78-st pealeviskest tabas 43? 1.b Milline oli korvpallivõistkonna visketabavuse protsent, kui N pealeviskest tabas T viset? Vormista väljund selliselt, et vastuse täpsus oleks kolm kohta pärast koma. 2. Kirjutage programm, mis loeb sisse teist järku determinandi elemendid ja arvutab determinandi väärtuse. (Teist järku determinant on võrdne peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahega, s.t. | a1 a2 | | b1 b2 | = a1*b2 - a2*b1. ) Väljastada ekraanile nii determinant tabeli kujul kui ka determinandi väärtus täpsusega 2 kohta pärast koma. MÄRKUS TRANSLAATORITE KASUTAMISE KOHTA 1. Turbo Pascal 5.0, 5.5, 6.0, 7.0 Programmeerimise algkursus 35 - 89 1) Avage uus fail menüüvalikuga "FILE/NEW" 2) Kirjutage programmi tekst ja salvestage see Teile sobiva nimega, laiendiks peaks jääma '.PAS'.
annaabi.ee 
