Moodustame näiteks ühe liitfunktsiooni. Olgu y = f ( u ) = u ja 3 u = g ( x ) = 2 x - 1 . Siis y = f g ( x) = ( 2 x - 1) . 3 Selliseid funktsioone aga, mis on saadud põhilistest elementaarfunktdsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. x + log 2 x Näiteks y = . 2x + 1 Järgnevates ülesannetes leiame funktsiooni nn. loomuliku määramispiirkonna, mis lähtub funktsiooni analüütilisest avaldisest. 3x + 1 Ülesanne 1. Leida funktsiooni y = määramispiirkond. x2 -1 Lahendus. 3x + 1
x1,x2 2D v˜orratusest x1
Märkus. Kui funktsiooni y = f(x) korral on antud vaid teda määrav eeskiri,mää- ramispiirkond X pole aga fikseeritud, siis loetakse määramispiirkonnaks nende argumendi väärtuste x hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet (nn loomulik määramispiirkond). Näiteks on funktsiooni y = x -4 määramispiirkond X = [4,). Elementaarfunktsioonid. Matemaatilises analüüsis enim uuritud ja kõige sagedamini esinevad funktsioonid on elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse järgmisi funktsioone: 1) konstantne funktsioon y = c; 2) astmefunktsioon y = x ; 3) eksponentfunktsioon y = ax (a > 0); 4) logaritmfunktsioon y = log a x (a > 0, a 1 ); 5) trigonomeetrilised funktsioonid y =sin x, y =cos x, y = tan x, y = cot x; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saadavad põhilistest
jagatis y=(f/g)x=f(x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X, jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x X, mille korral g(x)0. Def. Kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)]. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-I väärtustel hulgas Xf, mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Def. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: · Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon · Astmefunktsioon · Trigonomeetrilised funktsioonid · Arkusfunktsioonid · Konstantne funktsioon Def. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadus põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so
jagatis y=(f/g)x=f(x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X, jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x X, mille korral g(x)0. Def. Kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)]. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-I väärtustel hulgas Xf, mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Def. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: · Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon · Astmefunktsioon · Trigonomeetrilised funktsioonid · Arkusfunktsioonid · Konstantne funktsioon Def. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadus põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so
Graafikute teisendused (näiteks, kuidas funktsiooni y = f(x) graafikust visandada funktsiooni y = -b f(x+a) graafik, kui a<0, b>0). Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon (tooge näide). Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud. Graafikute teisendused. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehte ja liitfunktsiooni moodustamise teel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon. 7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Näited Funktsioon ilmutamata kujul. Kui võrrandi F(x,y) = 0 on x X korral üks lahend y = f(x), siis öeldakse et see võrrand määrab funktsiooni y = f(x), x X ilmutamata kujul. Näiteks: lox +log(y+2) 2 = 0 Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused
, mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Näiteks annavad f(x) = sin x ja g(y) =? y liitfunktsiooni (g f)(x) =sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0,), siis Xgf = {x || sin x [0,)} ={x || 2k x (2k + 1), k Z)}. Põhilised elementaarfunktsioonid: Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon: Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel
Liitfunktsiooni g f määramispiirkond ei tarvitse kattuda f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Põhilised elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y =cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta:
masinal. Ehk iga asja, mida saab normaalse aja jooksul välja arvutada, saab arvutada ka Turingi masinal. 18 Lihtrekursiivsed funktsioonid, nende arvutatavus Turingi mõttes. DEF: Lihtrekursiivsed funktsioonid on konstrueeritavad elementaarfunktsioonidest superpositsiooni- ja rekursioonioperaatori abil. Lihtrekursiivsed funktsioonid on kõikjal määratud. nt summa, korrutis, x!, sign Elementaarfunktsioonideks loetakse järgmised funktsioonid: • konstantne funktsioon On : Nn → N, mis iga väärtuste komplekti x1,...,xn ∈ N korral omab väärtust 0. • järgmise naturaalarvu funktsioon s : N → N, mis iga x ∈ N korral annab väärtuse s(x)=x+1; • projektsioonifunktsioon Inm : Nn → N, kus m <= n, mis iga väärtuste komplekti x1,...,xn ∈ N korral omab väärtust Inm(x1,...,xn) = xm. (valib n-st m-nda)
Liitfunktsiooni g ◦ f määramispiirkond ei tarvitse kattuda f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g ◦ f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g ◦ f määramispiirkond järgmine: Xg◦f = {x || x ∈ Xf , f(x) ∈ Yg} . Põhilised elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y =cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta:
g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g f. z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Elementaarfunktsiooni mõiste. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel.
NB!! Seal polnud tõestust Teada teoreemi 4.8 pöördfunktsiooni pidevusest: Olgu funktsioon f : D → R intervallis D rangelt monotoonne ja pidev. Siis tema pöördfunktsioon f−1 on intervallis f (D) pidev. 20. Elementaarfunktsioonid. Piirväärtused (*) Selgitada, mis on elementaarfunktsioonid Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete rakendamisel ja liitfunktsioonide moodustamisel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. Teada teoreemi 4.9 elementaarfunktsioonide pidevusest: Iga elementaarfunktsioon on oma määramispiirkonnas pidev. Tõestada, et Lähtume võrratustest (4.3), neist saame, et ehk Kuna koosinusfunktsioon on pidev kohal a = 0, siis ning lause 3.6 kohaselt 4.3 - Seosega määratud funktsioon f : D → R, kus D := (−1, 0)∪(0,∞) , on esitatav funktsioonide u = (1 + x)1/x ja y = ln u liitfunktsioonina
arccos(x) + arcsin(x) = , arctan(x) + arccot(x) = , 2 2 arcsec(x) + arccsc(x) = . 2 3.6 Elementaarfunktsioonid Definitsioon 3.12 Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saa- davad põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel. Märkus 3.13 Elementaarfunktsioonid on sealhulgas funktsioonid, milledel on mate- maatikas rida lihtsaid omadusi. Sõnastame need hiljem vastavate tee- made all, nagu piirväärtus, pidevus, tuletise ja integraali leidmine. 3.7 Jadad Definitsioon 3.13 Jadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni
T~oepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨a¨artuse kohal f (x) ehk suuruse g[f (x)]. Seega on g f m¨a¨aramispiirkond j¨argmine: Xgf = {x || x Xf , f (x) Yg } . N¨aiteks annavad f (x) = sin x ja g(y) = y liitfunktsiooni (g f )(x) = sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0, ), siis Xgf = {x || sin x [0, )} = {x || 2k x (2k + 1), k Z)}. Elementaarfunktsiooni m~ oiste. P~ohilisteks elementaarfunktsioonideks on argmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa , y = ax , y = sin x, y = j¨ cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahuta- miste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. N¨aiteid elementaarfunktsioonide kohta:
T~oepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨a¨artuse kohal f (x) ehk suuruse g[f (x)]. Seega on g f m¨a¨aramispiirkond j¨argmine: Xgf = {x || x Xf , f (x) Yg } . N¨aiteks annavad f (x) = sin x ja g(y) = y liitfunktsiooni (g f )(x) = sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0, ), siis Xgf = {x || sin x [0, )} = {x || 2k x (2k + 1), k Z)}. Elementaarfunktsiooni m~ oiste. P~ohilisteks elementaarfunktsioonideks on j¨argmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa , y = ax , y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahuta- miste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. N¨ aiteid elementaarfunktsioonide kohta:
J¨arelikult ka lim y = 0, x0 st liitfunktsiooni jaoks on pidevuseks tarvilik ja piisav tingimus punktis x t¨aidetud. M¨ arkus. Teoreemis 9.1 on v~oib olla fikseeritud argumendiks x u¨ksk~oik milline v¨a¨artus summa, vahe, jne m¨a¨aramispiirkonnast. Seega on pidevate funktsioonide summa, vahe, korrutis, jagatis ja pidevatest komponentidest koosnev liitfunktsioon pidev alati, kui see on m¨a¨aratud. Elementaarfunktsioonideks on funktsioonid, mis saadakse p~ohilistest ele- mentaarfunktsioonidest aritmeetiliste operatsioonide ja liitfunktsioonide moo- dustamise teel. P~ohiliste elementaarfunktsioonide pidevusest, teoreemist 9.1 ja sellele j¨argnevast m¨arkusest teeme u ¨he olulise j¨arelduse. Teoreem 9.2. K~oik elementaarfunktsioonid on oma m¨a¨aramispiirkonnas pidevad. 1.2.10 Funktsiooni katkevuspunktid Definitsioon 10
annaabi.ee 
