Matemaatika lisaülesanne Mitu lk (A4) paberit on vaja, et trükkida välja 40-elemendilise hulga permutatsioonide kõik variandid? 40! = 8.15915283247897734345611269596115894272 × 10^47 ehk 815915283247897734345611269596115894272000000000 Selleks, et saada teada, mitu lehekülge on vaja, tuleb välja arvutada, mitu tähemärki mahub ühele A4 paberile Ääristuseks kasutan Microsoft Wordi poolt pakutud „kitsast“ raamistust – igast äärest jääb vabaks 1,27cm Reavahe on 1.0
erinevat teed. b) Barbiel tuleb valida 4 kostüümi ja 3 paari kingade vahel, mis kõik omavahel sobivad. Mitu erinevat komplekti ta saab moodustada? Kasutades korrutamisreeglit, saame erinevaid võimalusi 12. 4. Esimese n positiivse täisarvu korrutise ülesmärkimiseks kasutatakse sümbolit n! (n faktoriaal). n! = 1*2*3* ... *(n-1)*n 1! = 1 0! = 1 5. Permutatsioonideks n elemendist nimetatakse n-elemendilise hulga n- elemendilisi ................................?........................................ osahulki ning permutatsioonide arv leitakse valemiga Pn = n! 6. Hiireküla algkooli kehalise kasvatuse õpetaja tahab teada, mitu võimalust on panna erinevasse järjekorda oma neljaliikmelise võistkonna õpilasi 4 ×100 m teatejooksuks. Leia võimaluste arv. P4=4*3*2*1=24 7. Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa nimetatakse n-elemendilise hulga k-
Matemaatika Kombinatoorika Liitmislauset iseloomustab lause: ,,kas objekt A või objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n + m. Korrutamislauset iseloomustab lause: ,,nii objekt A kui ka objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n*m. Permutatsioonid on ühe hulga elemendi kõikvõimalikud järjestused. Permutatsioon nullist on üks. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade erinevaid järjestusi. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n- elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Pn = n! n! =1 2 3 ... ( n -2) ( n -1) n n! V nk = n (n -1) ( n - 2) ... (n - k +1) = = C nk + Pk (n - k )! n! C nk = k! ( n -k )!
see tähendab P0 1 Näide: Mitmel erineval viisil on võimalus moodustada 5-st õpilasest järjekorda? P5 5! 1 2 3 4 5 120 Variatsioonide tüüpülesande võib esitada kujul: On antud n erinevat elementi. Mitmel erineval viisil saab nende hulgast välja valida k elementi, nii et oleks erinev kas vähemalt üks element või elementide järjekord. Variatsioonideks n elemendist k elemendi kaupa nimetatakse n-elemendilise hulga k elemendilisi järjestatud osahulki. Tähis variatsioonide arvu n elemendist k kaupa n! A V k k n n ( n k )! Kui k = 1, siis A n 1 n Kui k = n, siis A n n! Pn n Kui k = 0, siis 1 0 A n Näide: On neli võistkonda
võimaluste arvuga. *Tõenäosust väljendatakse sageli protsentides. Näide. Kui suur on tõenäosus, et täringut veeretades tuleb paaritu arv silmi? Täringu veeretamisel võib tulla silmade arvuks 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma. Seega on kõikide võimaluste arv 6. Neist paaritud arvud on 1, 3 ja 5. Seega on soodsate võimaluste arv 3. Lahendus. Vastus. Tõenäosus, et täringu veeretamisel tuleb paaritu arv silmi, on 50%. Permutatsioonid on n elemendilise hulga elementidest moodustatud n-elemendilised järjestatud osahulgad. Permutatsioonide arv leitakse valemiga Pn = n! Kirjutist n! loetakse - "n faktoriaalis" ja arvutatakse järgmise reegli järgi: n! = 1 · 2 · 3 ... (n - 1) · n. Jätke meelde, et 0! = 1 ja 1! = 1. Näited: 1) 1! = 1, 3! = 1 · 2 · 3 = 6 ja 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. 2) Neljast tähest (k, a, r, u) on võimalik moodustada tähtede ümberpaigutamise teel 4! = 24 erinevat sõna.
Orgaaniline keemia Põhimõisted · Valents Mitu keemilist sidet elelemendid moodustavad (NB! AATOMI EHITUS!) · Süsiniku valents on 4 []1s[]2s[]2p[][] · Vesinikul on 1 · Hapnikul on 2 · Lämmastikul on 3 Valemite tüübid · Molekulvalem näitab molekuli elemendilise koostise · Struktuurvalem näitab molekuli ehituse e. Aatomite paigutuse · Lihtustatud struktuurvalem Näitab süsiniku aatomite paigutuse · Graafiline struktuur Näitab süsiniku aatomite vahelisi sidemeid ja nende asendeid Ainete koostis: C2H6O 78,4 C -23.7C Struktuuriteooria · Igal ühendil on kindel koostis ja temale omane ehitus
a1 millal kasutatakse : S= ,|q|<1 1−q 67) Permutatsioonid . Faktoriaali arvutamine. Permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn=n∗( n−1 )∗( n−2 )∗…∗3∗2∗1=n ! NT. 4 !=4∗3∗2∗1, 1!=1 68) Variatsioonid ja arvutamine. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k ≤ n ¿ nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi j-elemendiliste osahulkade elementide n! v kn =n∗( n−1 )∗( n−2 )∗…∗( n−k +1 )= erinevaid järjestusi. ( n−k ) ! 69) kombinatsioonid ja arvutamine. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa k n!
Elementaarsündmus on mingi vaadeldava protsessi või läbiviidava katse tulemus. Elementaarsündmuste ruumi moodustavad kõik elementaarsündmused ehk kõikvõimalike tulemuste hulk. Sündmuseks nimetatakse mingit suvalist elementaarsündmuste ruumi alamhulka. 5. Sündmuse toimumise kriteerium. Sündmuse toimumise juures on meile oluline vaid see, kas toimub või mitte. Sündmus toimub, kui toimub sündmust määravatest elementaarsündmustest üks. 6. Mitu erinevat sündmust saab moodustada n-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal? Tõesta! N-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal saab moodustada 2 n sündmust, mille hulka on arvestatud ka tühihulk. 7. Sündmuste liigitus (kindel, võimatu, vastandsündmus) Kindel sündmus on sündmus A, kui ta on määratud kogu elementaarsündmuste ruumil. Võimatu sündmus on sündmus A, kui ta ei sisalda ühtegi elementaarsündmust. Vastandsündmuseks nimetatakse sündmust, mis toimub ainult siis kui sündmus A ei toimu. ´
samuti. Seega on vastus käes. Selleks, et juhtimissüsteem vastaks seatud kriteeriumitele on minimaalne neuronite arv peidetud kihis 8. Pilt 8. Minimaalne neuronite arv (8). Minimaalne lubatav sisend-väljundandmete vektorite pikkus Selleks, et süsteem toimiks etteantud kriteeriumide alusel, ei ole võimalik katseandmeid vähendada (8 neuroniga). Kuna kui seda teha, siis ei vasta süsteem enam kriteeriumitele. Näiteks 51 elemendilise vektori korral on tulemus selline: 9 Pilt 9. Katseandmete vektor 51 elementi, neuroneid 8. Ka 6-elemendilise vektoriga on võimalik närvivõrku treenida ja see annab isegi mingi tulemuse, mis suudab ka häiringuga toime tulla. Siiski väljaspool etteantud kriteeriume. Pilt 10. Katseandmete vektor 6 elementi
Mis on hulga täiend? Hulga täiendi moodustavad elemendid, mis ei kuulu vastavasse hulka. Milline hulk on tühihulk? Hulk, milles elemendid puuduvad. Millised hulgad on alati iga hulga osahulgaks? Tühihulk on iga hulga osahulgaks ja iga hulk on alati iseenda osahulk. Millise hulga osahulk on iga hulk? Peaks vast olema et iga hulk on universaalhulga osahulk. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on selle hulga kõikide osahulkade hulk. Mitu elementi on n elemendilise hulga astmehulgas? 2n elementi. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Lõplik hulk sisaldab kindla arvu elemente. Millsit hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab piiramatult palju elemente? Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve. Mis on loendamine? Objektide arvu tuvastamiseks nendele naturaalarvude omistamine on loendamine. Lõpmatu mitteloenduv ja lõpmatu loenduv hulk.
elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1 Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinatsioonidest. Variatsioone on 2x rohkem kui kombinatsioone. 4. Kombinatsioonid. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse n-elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Vnk =Cnk Pk . Cnk =n! / k! (n-k)! 5. Newtoni binoomvale Nt: (a+b)2 = a2 +2ab +b2 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 Püramiid : 1 1=2 0 1 1 2= 2 1 1 2 1 4= 2 2
jooksul nad ette lugeda!!! 3. Numbrite 1, 2, 3, 4, 5 abil saab moodustada 5! erinevat viiekohalist arvu (kui korduvad numbrid pole lubatud) 4. Kui klassis on 27 õpilast, siis nendest saab moodustada 27! järjekorda. Taskuarvutiga arvutades (on olemas n! või x! klahv, kasutada koos funktsiooniklahviga) leiame, et 27! = 1,08 · 1028. Kui ühe järjekorra loomiseks kuluks 15 sekundit, siis kokku kuluks nende järjekordade moodustamiseks 5,2 · 1021 aastat. 2. variatsioonid n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad (hulga elementidest valitakse välja teatud arv elemente (k elementi) ning esitatakse nende väljavalitud elementide kõikvõimalikud järjestused) Näiteks Laual on kaardid tähtedega M U A R I T E L Väikesel Maril lastakse valida 4 tähte ning asetada need üksteise järele. Kui suur on tõenäosus, et ta laob välja oma nime. Lugeda ta veel ei oska. Lähtume klassikalisest valemist. Kõikide võimaluste arv n leidmiseks arutleme järgmiselt.
http://et.wikipedia.org/wiki/Kromatograafia Massispektromeetria Vedelate ja tahkete proovide ioniseerimiseks on teiste hulgas kasutusel elektropihustusionisatsioon (ESI leiutaja John Fenn) Massispektromeetria (MS) on analüütilise keemia meetod, millega on võimalik mõõta osakeste massi ja elektrilaengu suhet (m/z, kus m on iooni mass, z on iooni laeng). Seda meetodit kasutatakse osakeste molekulmasside määramiseks, proovi või molekuli elemendilise koostise määramiseks ning peptiidide või teiste keemiliste ühendite struktuuri välja selgitamiseks. Massispektromeetria põhimõte seisneb keemiliste ühendite ioniseerimises, et tekitada laetud molekulid või molekulide fragmendid, ning nende massi ja laengu suhte määramises. Sparkman, O. David (2000). Mass spectrometry desk reference. Pittsburgh: Global View Pub Fenn, J. B.; Mann, M.; Meng, C. K.; Wong, S. F.; Whitehouse, C. M. (1989). "Electrospray
alogab=b logabc=logab+logac logab/c= logablogaC log443=3log44 logax= logbx/logbx Kombinatoorika tegeleb võimaluste arvutamisega. Kui mingil objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning: · valida tuleb kas objekt A või B, siis kõigi erinevate valikute arv on m+n (liitmislause). · valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi valikute arv on m*n (korrutamislause). Kombinatoorika põhimõisted · Permutatsioonid n elemendilise hulga kõik erinevad järjestused.s Pn=n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2* · Kombinatsioonid n elemendis k kaupa on kõik k elemndist koosnevad osahulgad. Ckn=n!/[k!(n-k)!] · Variatsioonid n elemendist k kaupa on k elemendilised järjestatud osahulgad. Vkn=n!/(n-k)! Sündmus ja selle liigid · Kindel sündmus sündmus on kindel, kui tema antud tingimustes alati toimub, p(U) või p().
vool, mis on vajalik starteri käitamiseks. Eluiga laadimiskordades või aastates Vooluallika koormamisel muutub pinge temal vastavalt järgnevale graafikule, kus on võrdluseks toodud eri tüüpi elementide pinged (Firma Duracell) andmetel). Akude laadimisel toimub pinge muutumine vastupidi. NiCd akude sobivaimaks laadimisreziimiks on 14 tunni pikkune tsükkel 1/10 vooluga nimimahtuvusest. See tagab nende pikima eluea (~1000 laadimistsüklit. Näitena olgu toodud 6-elemendilise autoaku klemmipinge muutumine laadimisel. Sellise aku nimipinge on 6 × 2,1 V = 12,6 V 12016299631367.doc 6/8 © H. Eljas Elementidest moodustatakse patareid, mille pinge ja sisetakistus on määratud elementide omadustega. Olgu ühe elemendi emj. E ja sisetakistus r, siis: Jadaühenduse puhul: (2-19)
- Orgaanilised ühendid üle 10 miljoni ja pidevalt kasvab. - Orgaanilised ühendid sulamis temperatuur on reeglina madal. - Anorgaaniliste ühendite tuleohtlikus on madal, aga orgaanilistel ühenditel on tuleohtlikus väga kõrge. - Termiline püsivus on orgaanilistel ühenditel madal, ja anorgaanilistel ühenditel kõrge. - VALENTS mitu keemilist sidet elemendid moodustavad. Süsiniku valents on 4. - Molekuli valem näitab molekuli elemendilise koostise. - Struktuurvalem - näitab molekuli ehituse e. Aatomite paigutuse. Orgaaniliste ühendite struktuuri teooria: - Igal ühendil on kindel koostis ja temale omane ehitus. SÜSIVESINIKUD Koostis: - C;H Liigid: - Alkaanid nafta; maagaas mootorikütused; lahustid. - Alkeenid nafta; maagaas plastmass; lahustid. - Alküünid nafta;maagaas plastmass. - Alkadeenid nafta; kautsuk plastmass; kumm.
Ta mõistab tundeid, väga hästi. Laps tervitab, tänab ja palub, isegi ilma meeldetuletamata, kasutab oma nime ning tunneb end ära nii peeglis kui ka fotol. Ta oskab jutust jälgida isegi rohkem kui 10 minutit. Mattias oskab tuua palutud asja ja kutsuda soovitud isiku. Oskus Vanus Tulemus Ringi joonistamine 3 aastaselt Oskab Risti joonistamine 4 aastaselt Oskab Kolme-elemendilise inimese joonist. 4 aastaselt Ei oska Realistlike joonistuste tegemine 3 aastaselt Nii ja naa Klotsidest silla ehitamine 3 aastaselt Ei oska Klotsidest trepi ehitamine 4 aastaselt Oskab Iseseisvalt mängimine 3 aastaselt Oskab Koos kaaslastega mängimine 3 aastaselt Oskab Värvide tundmine 3 aastaselt Oskab Täislausetega rääkimine 3 aastaselt Oskab
10 ! 10 ! 6 !7 8 9 10 Erinevaid võimalusi on C10 = 4 !(10 - 4 ) ! = 4 !6 ! = 1 2 3 4 6 ! = 210 . 4 Variatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjestuse poolest. n! A kn = (n - k ) ! Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel. Kombinatsioonid Kombinatsioonid n-elemendist k-kaupa on n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad (elementide järjestus n! ei ole oluline). C n = k k!( n - k )! Teineteist välistavate sündmuste liitmisteoreem Kahe teineteist välistava sündmuse tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( A B ) = P( A ) + P ( B ) .
program Fibonacci2; (* Programm leiab Fibonacci arvud - arvujada, kus iga järgmine liige on *) (* kahe eelmise liikme summa. Jada pikkuse määrab kasutaja. *) (* N: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34 .... *) (* Eelmisele näitele on lisatud arvude asetamine kuni 100 elemendiga *) (* massiivi 'Fibonacci_arvud', mis lõpuks kontrolli mõttes samuti *) (* väljastatakse. *) var i, kordi, F_arv, esimene, teine : integer; Fibonacci_arvud : array [ 1..100 ] of integer; (* deklareerime 100- *) (* elemendilise täisarvumassiivi *) begin write('Mitu Fibonacci arvu soovid leida? '); readln(kordi); esimene := 0; (* esimesed kaks arvu on teada - 0 ja 1 *) teine := 1; for i := 1 to kordi do (* i on abimuutuja, mis loendab kordusi *) begin (* i muutub 1-st kuni 'kordi' väärtuseni *) F_arv := esimene + teine; write(F_arv, ', '); Fibonacci_arvud[ i ] := F_arv; (* asetame arvu massiivi *) (* kohale i *) esimene := teine; (* senine teine saab esimeseks... *)
vastavalt kasutaja eesmärkidele. Maastikulise liigestatuse indikaatorid. (maastiku meetrika) on komplekssed näitajad, sisaldades teavet nii vaadeldava ala bioloogilise ja maastikulise mitmekesisuse, sotsiaal-majanduslike muutuste kui ka keskkonnakvaliteedi kohta. Maastikulise mitmekesisuse vormid. Klassifikatsiooniüksuste mitmekesisuse all tuleb mõista madalamal hierarhiatasemel olevate erinevate üksuste esinemist vaadeldaval maa-alal (maastikuüksus,maakatte tüüp=. Elemendilise mitmekesisuse all tuleb defineerida kui kindla ruumilise struktuuri, erinevate elementide esinemist vaadeldaval alal (punktobjektid, joonobjektid). Komponentne mitmekesisus kujutab endast üksteist sisult ja vormilt tugevasti erinevate maastikukomponentide esinemist uuritaval alal. Morfoloogiline mitmekesisusena tuleb käsitleda maastiku mustrit moodustavate üksuste kuju erinevusi (aluseks kas maastiku või maakatte või maakasutuse või mõni muu areaalidega kaart (mullakaart jne).
C D 12. Mis on universaalhulk? Universaalhulk on kõigi hulkade hulk. 13. Mis on hulga täiend? Hulka mittekuuluvad elemendid. 14. Millise hulga osahulgaks on iga hulk? Iga hulk on iseenda osahulk ning universaalhulga osahulk. 15. Mitu erinevat osahulka on n-elemendilisel hulgal? Igal hulgal on osahulka. 16. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on hulga kõigi osahulkade hulk. 17. Mitu elementi on n-elemendilise hulga astmehulgas? elementi. 18. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. 19. Millist hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. 20. Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loendub, kui tema elementidele saab vastavusse seada naturaalarve {0,1,2,3,...}. 21. Mis on „loendamine“? Hulga elementidele naturaalarvude omistamine. 22
*Hüpotees väidab, et ei leidu ühtki sellist lõpmatut hulka, mis oma võimsuse poolest jääks nende ,,väikse lõpmatu hulga" ning ,,suure lõpmatu hulga" vahele. Lisaks: Hulga astmehulgaks nim. hulga kõikide alamhulkade hulka. Hulga astmehulga võimsus on |P(A)|=2n *Hiljem on märgitud, et aksiomaatilise hulgateooria baasil ei ole Cantori väidet võimalik ei tõestada, ega ka ümber lükata. [3]. Järjendid. Permutatsioonid. Kombinatsioonid. Järjendid e. korteezid e. ennikud- n-elemendilise hulga elementidest moodustatud k- kohalist järjestatud loendit nimetatakse järjendiks. *Kaks järjendit on võrdsed vaid siis, kui nad on sama pikad ning nende vastavates positsioonides on samad väärtused. Järjendi puhul on oluline temas sisalduvate elementide järjestus. (Nt. hulk [3] järjendeid on 9: 11,12,13,21,22,23,31,32,33) Permutatsioonid- n-permutatsioonideks nimetatakse järjendeid, mis on mingi lõpliku hulga A kõikkide elementide n kõikvõimalikud ümberpaigutused. (n
nende hulkade otsekorrutise suvalist alamhulka R ⊆ XY. Näited o Näide 1. Olgu X = {a, b, c, d, e, f, g, h} ja Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Kaks elementi x ∈ X ja y ∈ Y loeme seotuks parajasti siis, kui nad koos määravad tavalisel malelaual musta värvi välja. Niiviisi saame relatsiooni R ⊆ X × Y , mis koosneb 32 paarist (a, 1), (a, 3), (a, 5), (a, 7), (b, 2), . . . , (h, 8) See relatsioon on 64-elemendilise hulga X × Y alamhulk. o Näide 2. Olgu X kõigi inimeste hulk. Siis võime defineerida relatsioonid R = {(x, y) : x on y-i isa} ja S = {(x, y) : x on y-i ema}. Niiviisi saab relatsiooni mõiste abil kirjeldada ka inimestevahelisi sugulussidemeid. 22. Relatsioonide esitamisviisid: loend, Boole’i maatriks, graaf, avaldis. Näited probleemidest, kus on sobiv kasutada konkreetset esitusviisi. [2] Loend
. . . = x̄ ȳ w x y 10 0 11 0 x ⊕ y = x̄ y w x ȳ 2-muutuja funktsiooni tõeväärtustabel LOOGIKAFUNKTSIOONID (Boole'i funktsioonid) 3-muutuja funktsioon f ( x1 x2 x3 ) on 8-elemendilise lähtehulgaga vastavus: f ( x1 x2 x3 ) : { 0, 1 }3 → { 0, 1 } Vastavuste juures märkisime, et funktsioon on kõikjal lähtehulgas määratud 3-mõõtmeline Boole'i ruum sisaldab 23 = 8 erinevat 3-järgulist ühene vastavus. 3
annaabi.ee 
