D Kolmekordse integraali mõiste ja arvutamine =(x; y; z) määratud ja pidev ruumilises punktihulgas V [V: v1; v2; v3;...; vn] Eeldusel et Pkvk (k=1,2,...,n) ja Pk(k; k; n k) ning (Pk)vk f ( P ) v k =1 k k [ =(x; y; z) integraalsumma üle pk V] Osapiirk diameetriks nim osapk punktide vahelist suurimat kaugust = max diamv k = f ( x; y; z ) dxdydz kusjuures 1 k n. Def: Kui V n eksisteerib piirväärtus 0 lim f ( Pk ) v k ja see ei sõltu sellest kuidas pk V on jaotatud osapiirk-ks ega sellest 0 k =1
4. Kolmekordse integraali definitsioon, regulaarne kolmemõõtmeline piirkond, kolmikintegraal, teoreem kolmekordse integraali ja kolmikintegraali vahelisest seosest tõestuseta. Seda piirväärtust, mis ei sõltu ei piirkonna V jaotamisviisist ega punktide P1 valikust, tähistatakse sümboliga f ( P )dv ja nimetatakse kolmekordseks integraaliks. V Seega definitsiooni järgi: f ( P)dv = f ( x, y, z )dxdydz . Olgu ruumiline v V (kolmemõõtmeline) piirkond V piiratud kinnise pinnaga S, millel on järgmised omadused: 1) iga sirge, mis on paralleelne z-teljega ja läbib piirkinna V seesmist (mitte pinnal S asetsevat) punkti, lõikab pinda S kahes punktis; 2) piirkonna V projektsioon xy-tasandil on regulaarne (kahemõõtmeline) piirkond D; 3) piirkonna
V i ja valime igas osapiirkonnas punkti P i V i . Moodustame integraalsumma n i 1 f Pi Vi ja suurendame osapiirkondade V i (see on ka osa V i ruumala) arvu piiramatult nii, et V i suurim läbimõõt läheneks nullille. Definitsioon. Kolmekordseks integraaliks piirkonnas V nimetatakse piirväärtust n f p dV f x, y, z dxdydz lim max Vi 0 i 1 f Pi Vi, (4) V V kui see eksisteerib. Kui kolme muutuja funktsioonil z f x, y, z on olemas kolmekordne integraal, nimetetakse funktsiooni f integreeruvaks. Kehtib Teoreem 6. Kinnises piirkonnas V pidev funktsioon on integreeruv selles piirkonnas.
I . - : X ( x, y ) . >0 . ()>0 , Z, . (Z)<, . u n +1 f ( x, y, z )dxdydz = f ( f sinycos , r sin sin , r cos )r sin drd = d 2 . Mi - (Z)-I<
..,n. Olgu Si pindala Si ja PiSi (P)(Pi), kui PSi mSi=(Pi)Si Piirkonna D ligikaudne mass n mn = ( Pi )Si i =1 Olgu di Si diameeter ja n=max{d1, d2,...,dn}, siis funktsiooni (P) kus Vi on hulga V tükeldamisel n osahulgaks V1, V2,..., Vn saadud f ( x, y, z )dxdydz = n
2) V projektsioon D xy-tasandile on regulaarne y-telje suhtes ning leiduvad ab ja funktsioonid 1(x)2(x), mis määravad D võrratustega axb ja 1(x)y2(x). Kui V rahuldab tingimusi 1) ja 2), siis b 2 ( x ) 2 ( x , y ) f ( P)dV = dx dy f ( x, y, z )dz V a 1 ( x) 1 ( x, y ) 21. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis. Silinder- ja sfäärikoordinaadid Olgu antud f ( x, y, z )dxdydz V ning u=u(x,y,z), v=v(x,y,z) ja w=w(x,y,z). Igale punktile (x,y,z)V seatakse vastavusse arvupaar (u,v,w). Kui (x,y,z) muutub läbi V, siis kujutispunkt (u,v,w) kujundab teatud ruumilise piirkonna V'. Eeldame, et a) punkt (x,y,z)V on üheselt taastatav punkti (u,v,w)V' põhjal b) pöördteisendusi määravatel funktsioonidel x, y, z eksisteerivad järgmised osatuletised xu', xv', yu', yv' piirkonnas V'.
piirväärtus n lim f (Pi )V (Ei ) = I , kus = max d (Ei ) , 0 1i n i =1 siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f kolmekordseks integraaliks üle piirkonna E . Tähistus: fdV , f (P )dV , f (x, y, z )dxdydz E E E Piirkonna E ruumala arvutamine: n dxdydz = lim V (Ei ) = V (E ) , kus V (E ) on piirkonna E ruumala. ( f (x, y, z ) = 1 ) E 0 i =1 Kolmekordsel integraalil kehtivad aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused, mis on analoogsed kahekordse integraali vastavate omadustega. Omadus (keskväärtusteoreem): Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud sidusas
polaarkoordinaatidele r 2 () f ( x , y ) dxdy= d f ( rcos , rsin ) rdr D r 1 () Kolmekordne Piirväärtust, mis ei sõltu piirkonna V jaotusviisist ja punktide P i valikust, integraal nimetatakse kolmekordseks integraaliks Muutujavahetus kolmekordses f ( x , y , z ) dxdydz= f ( x (u , v , w ) , y ( y , v , w ) , z ( u , v , w ) ) J ( u , v , w )dudvdw , V V' integraalis kus | | x' u x' v x' w J(u,v,w)= y 'u y' v y 'w z' u x' v z ' w Üleminek x=rcos, y=rsin, z=h, J(r, , h)=r
Edaspidi tähistame vedelikus mõjuva rõhujõu ⃗ P=− p ⃗ A , kus rõhk p ja pinnanormaaliga ⃗n määratud pinnavektor A =⃗n A . Tähistame massijõu ⃗ ⃗ F =m ⃗a , kus mass on m ja kiirendusvektor on ⃗a =( a x , a y , a z ) . Tasakaalulise vedeliku elementaareselt väike kontrollmaht olgu määratud mõõtmetega dx, dy ja dz. Ruumala dV=dxdydz 13. Millistel tingimustel on kontrollmahuga määratud vedeliku osa tasakaalus? Vedeliku suhtelise tasakaalu tingimusel liigub vedelikuga täidetud anum jäiga keha kiirendusega, kusjuures vedelik anuma seinte suhtes ei liigu. Fikseeritud kontrollmahuga määratud vedeliku osa on tasakaalus st vedelik ei voola läbi kontrollpindade, kui massi- ja rõhujõudude resultant kõigi telgede jaoks on null. Fikseeritud kontrollmahuga määratud vedeliku osa on tasakaalus st vedelik ei voola
Def: Kui integraalsummal n = f ( Pi )Vi eksisteerib protsessis n piirväärtus, mis ei sõltu i piirkonna D osadeks jaotamise viisist ja punktide Pi valikust nendes osades, siis öeldakse, et 5 funktsioon on integreeruv piirkonnas D ja integraalsumma piirväärtust nim funktsiooni w=f(x,y,z) kolmekordseks integraaliks üle piirkonna D: lim n = f ( x, y, z )dxdydz n D Omadusi: Lineaarsus: (f + g )dxdydz = fdxdydz + gdxdydz D D D Aditiivsus: Adatiivsus: kui D = D1 D2 ; D1 , D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis fdxdydz = fdxdydz + fdxdydz D D1 D2
Kui eksisteerib lim(max dj0) f(Pj)Sj mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj C Dj valikust, siis seda J(, , Z) = 2sin piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse f(x,y)dS. Tavaliselt c [0, ), c [0, 2pi) ja c [0, pi). Lühidalt f(x,y)dS = f(P)dS = fdS, st f(P)dS := lim(max dj0) f(Pj)Sj, kus f(Pj) = f(xj,yj). Kui eksisteerib fdS, siis öeldakse, f(x,y,z)dxdydz = ' f(cos sin , sin sin , cos ) 2sin dddz. et funktsiooni on integreeruv piirkonnas D ja tähistatakse f C I(D). F c C(D) f c I(D). Teist liiki joonintegraal. Teist liiki joonintegraali ja kahekordse integraali seos. Greeni valem.
gz)dydz + (fz-qx)dzdx + (gx-fy)dxdy, kus joonintegraal on võetud mööda joont L positiivses suunas pinna Ω külje suhtes, mida mööda integreeritakse. Gauss-Ostrogradski valem võimaldab arvutada II liiki pindintegraali kolmekordse integraali abil. Olgu ruumiline pind V kinnine ja tema rajapind Ω sile. Kui funktsioonid f,g ja q ning nende osatuletised fx, gy ja qz on pidevalt piirkonnas V, siis kehtib Gauss-O: ʃʃfdydz + gdxdz + qdxdy = ʃʃʃ(fx + gy + qz)dxdydz, kus pindintegraal vasakul on võetud mööda pinna Ω väliskülge. Greeni valem annab seose üle mingi tasandilise piirkonna D võetud kahekordse integraali ja üle selle piirkonna rajajoone L võetud joonintegraali vahel. Olgu xy-tasandil antud kinnise kontuuriga L piiratud piirkond D ja olgu piirkonnas D antud pidevad funktsioonid f ja g, millel on pidevad osatuletised. J=ʃʃ(gx-fy)dxdy= §fdx+gdy
Eeldatakse, et pinnas on ühtlane ja isotroopne, st veejuhtivus kõigis suundades ühesugune. Samuti eeldatakse, et pinnase poorsus ei muutu ja vesi on kokkusurumatu. Joonis 3.17 Vee voolamine läbi pinnastammi Joonisel 3.17 toodud näites tekib rõhkude vahe tõttu vee vool läbi pinnase kõrgema veetasemega veekogust madalamasse. Vaadeldes pinnase elementaarmahus q z q z dxdy + dxdydz z q x dzdy q x dz q x dzdy + dxdydz x q x dzdy dx Joonis 3.18 Vee vool elementaarmahus vee voolamise tingimusi (joon 3.18), võib kirjutada seose elementaarmahtu voolava hulga kohta
Olgu n suurim arvudest d1, d2,..., dn, st osapiirkondade V1, V2,..., Vn suurim läbimõõt. Muudame piirkonna V tükeldust järjest peenemaks selliselt, et osapiirkondade suurim läbimõõt n läheneb nullile. Kui on pidev piirkonnas V, siis on integraalsummal n taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni kolmekordseks integraaliks piirkonnas V ja tähistatakse: (P)dV või (x, y, z)dxdydz. D D 13. Tuletada valem ruumilise kujundi massi arvutamiseks aine ruumtiheduse kaudu. V osapiirkond, ruumala. m mass. v (ruum) tihedus. (P) aine tihedus punktis P. Vi i-nda tüki ruumala. mi mass funktsiooni integralsumma - mis võrdub ligikaudselt kega V massiga n osapiirkondade suurim läbimõõt. 14. Kolmekordse integraali omadusi. 15. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina 1
0 k=0 ja see piirv¨a¨artus ei s~oltu sellest, kuidas on piirkond V jaotatud osapiirkon- dadeks, ega sellest, kuidas on valitud punktid Pk osapiirkondades, siis seda piirv¨a¨artust nimetatakse funktsiooni f (x, y, z) kolmekordseks integraaliks u ¨le piirkonna V ja t¨ahistatakse f (x, y, z)dxdydz. V Seega definitsiooni kohaselt n f (x, y, z)dxdydz = lim f (Pk )vk . (7.22) 0 V k=0 Kolmekordse integraali omadused on sarnased kahekordse integraali vas- tavate omadustega. Omadus 1.
Samuti eeldatakse, et pinnase poorsus ei muutu ja vesi on kokkusurumatu. Joonisel 3.17 J o o n is 3 .1 7 V e e v o o la m in e lä b i p in n a sta m m i toodud näites tekib rõhkude vahe tõttu vee vool läbi pinnase kõrgema veetasemega veekogust madalamasse. Vaadeldes pinnase elementaarmahus vee voolamise tingimusi (joon 3.18), q z q z dxdy + dxdydz z q x dzdy q x dz q x dzdy + dxdydz x q x dzdy dx J o o n is 3 .1 8 V e e v o o l e le m e n ta a r m a h u s võib kirjutada seose elementaarmahtu voolava hulga kohta
annaabi.ee 
