lim x x 0 Seetõttu on antud sellele piirväärtusele erinimetus ja sümbol. Funktsiooni f(x) muutumise kiirust kohal x0 nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f´`(X) y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f `( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentsiaalarvutuse lõid 17. sajandil saksa matemaatik ja filosoof G. W. Leibnitz ning inglise matemaatik ja füüsik I. Newton. Diferentsiaalarvutuse loomist hinnatakse matemaatikas uues ajastu alguseks. Matemaatika arenguperioodi 17 .sajandi lõpust kuni 19. sajandi alguseni nimetatakse tänapäeval kõrgema matemaatika perioodiks. Ilma kõrgema matemaatikata poleks olnud võimalik tööstuse ja tehnika tormiline areng, mis viis Euroopa riigid feodaalsest ühiskonnakorraldusest kapitalismini
tõuseb. Torricelli hüpoteesi tõestamine Matemaatika · Pani aluse klassikalisele tõenäosusteooriale. · Pascal töötas välja Pascali kolmnurga ja kirjutas kombinatsioonide arvu leidmise eeskirjad. · Tema tööd tsükloidi Pascali kolmnurk: Iga rea esimene pindalast peetakse ja viimane element on 1, iga muu element saadakse kahe tema kohal diferentsiaalarvutuse oleva summana. eelkäijaks. Filosoofia · Tuntud on Pascali tõestus Jumala uskumise kasulikkusest, mida kutsutakse Pascali kihlveoks. · Pascal selgitas, et Jumala defineerimine inimlike mõistetega ei ole võimalik, Jumalat võib tajuda otsese mõistuseülese kindlustundega. · Väitis ka, et Jumalasse usk on igal juhul kasulik. Leiutised ja saavutused · Pascal täiustas Torricelli baromeetrit. · Esitas kõrgusemõõtja altimeetri
õppenädalal ja teine kontrolltöö viieteistkümnendal õppenädalal. Eksamil kontrollitakse üliõpilase teadmisi teooriast: väidete tõestusi, mõistete definitsioone ja uuritavate matemaatiliste objektide omadusi. Lõplik eksamihinne saadakse nelja hin-de aritmeetilise keskmise põhjal: AK = (KT1 + KT2 + T1 + T2) / 4, kus: AK aritmeetiline keskmine; KT1 esimese kontrolltöö (diferentsiaalarvutus kuni rakendusteni) hinne; KT2 teise kontrolltöö (diferentsiaalarvutuse rakendused ja integraalarvutus) hinne; T1 esimese osa (diferentsiaalarvutus) teooriahinne; T2 teise osa (integraalarvutus) teooriahinne. Hinded T1 ja T2 on võimalik saada ka semestri jooksul teooriatööde (kollokviumide) põhjal, kusjuures nii T1 kui ka T2 on omakorda vastavate kollokviumihinnete KOi (i=1;2;3;4;5) aritmeetilised keskmised: T1=(KO1+KO2+KO3)/3, T2=(KO4+KO5)/2, kus KO1 esimese kollokviumi (põhilise õpiku punktide 1.1--1.9 kohta) hinne;
Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada ajavahemikul 3 t 5 läbitud teepikkus. Leida funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada keskmine kiirus lõigus 3 t 5 s Leida piirväärtus lim Mida võimaldab see valem arvutada? t 0 t Leitud valemi abil arvutada hetkeline kiirus momendil t = 5 2 Diferentsiaalarvutuse rajajad Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz 1643-1727 1646-1716 3 Liikumise kiirus Punkti liikumise seadus: s = f (t) 0 (t = 0) Ajamoment t: s = f (t) s1 (t = t1) s Ajamoment t + t : s = f (t + t) s2 (t = t2) Ajavahemikus t läbitud tee: M
Ta sõitis Altdorfi ning kirjutas juuraalase töö, sai õigusteaduste doktoriks. Ta sõitis Mainzi , kus temast sai kuurvürsti nõunik. 26 aastaselt asus ta elama Pariisi. Siin algas ta kõige viljakam ja suhteliselt pidev tööperiood matemaatikuna. Külaskäigu ajal Londonisse, tutvus ta inglise matemaatikute, nende hulgas ka Newtoniga. Ta võttis ka osa Londonis Kuningliku Seltsi istungitest, kus demonstreeris ka oma arvutit. Möödus vaid 11 aastat, kui Leibniz avaldas oma töö diferentsiaalarvutuse kohta, see andis põhjust sajandeid kestvaks vaidluseks kes oli ikka esimene, kas Newton või Leibniz. Leibnizis olid mingil arusaamatul kombel ühendatud visa õpihimu ning hämmastav kergemeelsus, täiesti hoolimatu suhtumine oma geniaalsesse mõistusesse. ,, Matemaatika oli minu jaoks meeldivaks ajaviiteks" , tunnistas ta naerusui. Ta vestles meelsasti Venemaa tsaari Peeter Suurega.Seega võib oletada, et Leibniz mõjutas mingil määral ka vene Teaduste Akadeemia rajamist.
lõpmatute trigonomeetriliste ridade jaoks praegu kasutatavat kuju,seal oli ka algebralise elimineerimisteooria osa ning peatükk zeeta funktsioonist ja algarvud. Tähelepanuväärne on ka 1755. aastal avaldatud kolmeköiteline ,,Institutiones calculi differentialis" millele järgnes 1768. aastal sama mahukas õpik integraalarvutuse kohta. Ka need raamatud sisaldasid lisaks kogutud ja korrastatud teadmistele Euleri poolt juurde lisatut teadmisi integraal- ja diferentsiaalarvutuse kohta. 1770. aastal ilmus Eulerilt algebra õpik ,,Die Vollständige Anleitung zur Algebra". Kasutatud kirjandus 2. Kuulsaid XVII - XVIII sajandi matemaatikuid 5 Peeter Müürsepp Tallinn : Valgus, 1975 3. Heino Koppel Tallinn : Koolibri, 2000 Lisa 6 7
provintsiaalile...") "Pensées" (postuumselt 1670, eesti keeles "Mõtted", 1998) Avastusi matemaatikas Pascali kokkupuude hasartmängudega ning kirjavahetus Pierre de Fermat'ga pani aluse klassikalisele tõenäosusteooriale. Samuti on tal olulisi teeneid arvuteoorias ja geomeetrias. Pascal esitas binoomkordajate (Pascali kolmnurk) ja kombinatsioonide arvu leidmise eeskirjad. Tema tööd tsükloidi pindalast (1661) peetakse diferentsiaalarvutuse eelkäijaks. Pascali tegi teadlaste seas tuntuks "Essee koonuslõikelistest tasapindadest", milles ta tõestas Pascali teoreemi. Mersenne'i järgi tuletas ta sellest hiljem nelisada järeldust ja teoreemi, kuid Pascali "Täielik traktaat koonuslõikelistest tasapindadest", mis olnud matemaatika arengust sadakond aastat ees, on kaotsi läinud. Säilinud on vaid mõned Gottfried Leibnizi ümberkirjutused. "Traktaadis aritmeetilisest kolmnurgast" (Pascali kolmnurk) uuris ta
taastati alles 20. sajandil. 4 Matemaatika Pascali kokkupuude hasartmängudega ning kirjavahetus Pierre de Fermat'ga 1954 pani aluse klassikalisele tõenäosusteooriale. Samuti on tal olulisi teeneid arvuteoorias ja geomeetrias. Pascal esitas binoomkordajate Pascali kolmnurk ja kombinatsioonide arvu leidmise eeskirjad. Tema tööd tsükloidi pindalast 1661 peetakse diferentsiaalarvutuse eelkäijaks. Pascali tegi teadlaste seas tuntuks "Essee koonuslõikelistest tasapindadest", milles ta tõestas Pascali teoreemi. Mersenne'i järgi tuletas ta sellest hiljem nelisada järeldust ja teoreemi, kuid Pascali "Täielik traktaat koonuslõikelistest tasapindadest", mis olnud matemaatika arengust sadakond aastat ees, on kaotsi läinud. Säilinud on vaid mõned Gottfried Leibnizi ümberkirjutused.
Näiteks: "Mida vaimsem keegi on, seda rohkem omapäraseid inimesi ta enda ümber märkab. Tavalised inimesed ei märka teiste vahel erinevusi" või "Inimene pole ei ingel ega loom ja õnnetul kombel see, kes püüab teha temast ingli, teeb looma." 2.2. Matemaatika Pascali kokkupuude hasartmängudega ning kirjavahetus Pierre de Fermat'ga pani aluse klassikalisele tõenäosusteooriale. Samuti on tal olulisi teeneid arvuteoorias ja geomeetrias. Tema tööd tsükloidi pindalast peetakse diferentsiaalarvutuse eelkäijaks. Pascal esitas veel kombinatsioonide arvu leidmise eeskirjad. Pascali kolmnurk on binoomkordajatest koosnev kolmnurkne tabel, mille koostamine põhineb võrdusel . 1. Tabeli iga element saadakse, kui kahe eelmises reas tema kohal paikneva elemendi summa liidetakse.(n on rea järjekorranumber k=1,2...,n ). Niisuguse tabeli algusosa kasutati kombinatoorikaülesannete lahendamisel Indias juba 2. saj. e.Kr. Tabeli omadusi uurides
t 0 t nimetatakse punktmassi liikumise kiiruseks ajahetkel t. Analoogselt defineerime kiirenduse a(t)ajahetkel t ja saame a (t ) = s (t ). Üldiselt, mõistes liikumist kui mistahes nähtuse muutumist looduses, tehnikas, ühis- konnasjne, võime öelda, et funktsiooni f tuletis on seaduse y = f (x) alusel toimuva nähttuse kulgemise kiirus (intensiivsus). §4 DIFERENTSIAALARVUTUSE KESK- VÄÄRTUSTEOREEMID JA NENDE RAKEN- DUSI 1. Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid Järgnevalt sõnastame teoreemid, mida tuntakse vastavalt Cauchy teoreemi ja Lagrange'i teoreemi nime all. Teoreem 12. (Cauchy keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b) ning g'(x) 0 iga x (a,b) korral, siis leidub selline punkt c (a,b), nii et kehtib võrdus
Tema monumentaalne töö ,,Arutlus kõverate kvadratuurist" pani aluse tervele koolkonnale. 27-aastaselt sai ta kitsas spetsialistide ringis kuulsaks funktsioonide esitamisega lõpmatute ridade kujul. Oma märkmeid usaldas ta näidata vaid mõnele kolleegile. Ta tegeles matemaatikaga ainult enda suure himu tõttu, mitte, et saada kuulsaks ega üldse neid laiemalt tutvustada. Põhiline vahend liikumisnähtuste või kiirenduste uurimiseks tänapäeval nimetatud kui diferentsiaalarvutuse teooria on aluseks infinitesimataalarvutuse loomisel ja kannab geniaalsuse pitserit. Newton lõi selle vaid mõne päevaga, et leida kaare pikkus, 4 lähendades kaart kõõlmurdjoonele, mille lülide arv piiramatult kasvab, ehk ühesõnaga lahendada väga täpseid mehaanikaprobleeme. Kaks aastat mõtles Newton ainult matemaatikale ning ei muretsenud millegi muu pärast. Tema puhul ilmnes geeniuste
y = - x . zx = - , zy = - . Fy Fz Fz Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad. Ilmutamata funktsiooist saab osatuletist võtta ka kohe. Sel juhul tuleb silmas pidada, missugune muutuja on osatuletise võtmise juures funktsioon, missugune muutuja ja missugune konstant. Mitme muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutuse rakendusi Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon F ( x, y , z ) = 0 ja punkt P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ) . Puutujatasandi võrrand punktis P0: Fx ( P0 )( x - x0 ) + Fy ( P0 )( y - y 0 ) + Fz ( P0 )( z - z 0 ) = 0 . n = ( Fx ( P0 ); Fy ( P0 ); Fz ( P0 ) ) . Puutujatasandi normaal punktis P0: Kui funktsioon ei ole antud ilmutamata kujul, tuleb ta ilmutamata kujule viia (kõik võrrandi liikmed ühele poole).
Aristarchose idee, et Maa on planeet, mis koos teistega tiirleb Päikese ümber. Päike nii tähtis, et pidi asuma keskel. Ringjoon kõige ideaalsem joon. „De revolutionibus orbium coelestium“, kus püüdis kirjeldada taevakehade liikumist heliotsentrilisest vaatepunktist. Christiaan Huygens (1629-1695) - parandas Descartes’i füüsikas nii mõnegi vea, leiutas 1657 pendelkella Isaac Newton (1642-1727) – hoidis maailmapildid – teaduslik ja religioosne – eraldi. formuleeris diferentsiaalarvutuse alused. Liikumishulga kui vektori 𝑝⃗ muutumise tempot saab kirjeldada selle ajalise tuletisega. Newtoni esimene seadus: Kui kehale mõjuvad jõud on tasakaalus, liigub keha ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Newtoni teine seadus: Kiirendus on võrdeline mõjuva jõuga ja pöördvõrdeline keha massiga. Newtoni kolmas seadus: Kahe keha vastastikused mõjud on võrdsed ja suunatud vastaspooltele. Ülemaailmne gravitatsiooniseadus.
uurida majandusanalüüs: · Kas toodangu hinna suurendamisel ettevõtte kasum suureneb või väheneb? · Millisel määral võivad kapitalimahutused asendada lisatööjõudu? · Millise tootmismahu juures on kulu tooteühiku kohta kõige väiksem? · Kui tundlik on hüvise nõudlus hinna muutustele? · Kuidas mõjutab maksude suurendamine laekumisi riigieelarvesse? Vastuste leidmiseks nendele küsimustele konstrueeritakse algul vastavad mudelid ja siis uuritakse neid diferentsiaalarvutuse meetodite abil. Ülesannete liigitus 1. Optimeerimisülesanded. Majandusalases tegevuses tuleb tihti analüüsida, millal on tootlikkus maksimaalne, kasum maksimaalne, kulud minimaalsed jne. Maksimumi ja miinimumi leidmist nimetatakse optimiseerimiseks. Tihti lisanduvad optimeerimisülesandedele teatud kitsendused ressursside piiratuse tõttu. 2. Marginaalanalüüs. Kui meid huvitab, kuidas muutub kogutulu või kulu
pindala läheb arvesse negatiivsena. Sellisel juhul kujutab R b a f(x)dx geomeetriliselt positiivselt ja negatiivselt 𝑎 loetud pindala vahe: ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐴1 − 𝐴2 , kus A1 – x-teljest ülalpool olev pindala, A2- x-teljest allpool olev pindala 32. Määratud integraali omadused. 33. Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemi abil (valem). NB! See teoreem annab integraalarvutuse ja diferentsiaalarvutuse vahelise seose. Väga tähtis seos. Näitab, et integreerimine ja diferentseerimine on teineteise pöördoperatsioonid. 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 34. Asendusvõte (kuidas valida uus muutuja, rajade vahetamine). 35. Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalide puhul (valem, kuidas valida u ja dv?).
. . . . . . . . . . . . . . . 52 5.7 Kõrgemat järku tuletis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.8 Joone puutuja ja normaali võrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.9 Funktsiooni diferentsiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6 Funktsiooni uurimine 59 6.1 Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.2 L'Hospital'i reegel piirväärtuse arvutamiseks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.4 Funktsiooni ekstreemumid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.5 Funktsiooni kumerus ja nõgusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ekvatoriaalkoordinaatide muutumise seaduspärasused lihtsad tunninurk suureneb võrdeliselt ajaga, deklinatsioon ja otsetõus ei rnuutu. Horisondiga seotud koordinaatide muutumise kohta saab esmasel lähenemisel kindlaks teha kaks üldist seaduspärasust: l.Idataevas taevakeha kõrgus suureneb (h+), läänetaevas väheneb (h) 2.Taevakeha asimuut muutub ebaühtlaselt. Täpsete seoste leidmiseks lihtsast geomeetriast ei piisa, selleks tuleb kasutada sfäärilise trigonomeetria või diferentsiaalarvutuse vahendeid. Joonisel 23 on kujutatud taevakeha kaht järjestikust asendit S ja S1. Tõmmates läbi asendi S osa kõrgusringist ja läbi asendi S1 vertikaali 20 ZS1b1, saame täisnurkse elementaarkolmnurga SS1K, milles on kaatetitena sees meid huvitavad koordinaatide muutused h ja Acosh. Elementaarkolmnurga hüpotenuusiks on paralleelilõik SS1 e. tcos. A ja t on puhtal kujul horisondi ja ekvaatori s.t
Seega d 2 y = f ( x ) dx 2 , d 3 y = f ( x ) dx 3 ning f ( n ) ( x ) = n , mis annab sisulise tähendus n-järku dx tuleitse Leibnizi tähistusele ja võimaldab seda sümbolit vaadelda kui harilkku murdu. Null-järku diferentsiaali all mõeldakse funktsiooni ennast, s.o. d 0 y = f ( x ) . 15. Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid (Lagrange'i teoreem, selle geomeetriline tähendus, Cauchy teoreem) Cauchy teoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a, b ] ja diferentseeruvad vahemikus ( a, b ) , kusjuures funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus ( a, b ) , siis leidub vähemalt üks punkt ( a, b ) nii, et kehtib võrdus f ( b ) - f ( a ) f ( ) = g ( b ) - g ( a ) g ( )
Selline Descartes süsteemi paindlikkus oli üks tema populaarsuse põhjusi XVII-XVIII saj.-l. [10]Benedictus de Spinoza (1632-1677) M. Luts lk 93-94. Matemaatilis-kausaalse meetodi kõige järjekindlam rakendaja. [11]Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) 15-aastaselt läks ülikooli, 20-aastaselt esitas õigusteaduse doktoriväitekirja. 1667-1672 Mainzi kuurvürsti teenistuses. Avastas mh diferentsiaalarvutuse. 1676 kohtus Amsterdamis Spinozaga. Samast aastast surmani oli Braunschweigi hertsogi raamatukoguhoidja. Asutas Preisi teaduste akadeemia. Ehkki L. arvas, et võimalikuks sidemeks metafüüsiliste printsiipide ja empiiriliste seaduste vahel on range deduktiivne seos,[12] pidas ta matemaatilist meetodit maailma seletamiseks siiski ebapiisavaks. Juba Blaise Pascal (1623-1662) lisas abstraktse loogilise mõtlemise meetoditele
gaasi tihedus on väike, siis gaasi kaalust tekkiv rõhk on laboritingimustes väike. See avaldub Maad ümbritsevas atmosfääris, aga siis on sõltuvus õhusamba kõrgusest tunduvalt keerulisem kui vedeliku korral. Põhjus on selles, et õhu tihedus on erinevatel kõrgustel erinev (Maale lähemal on see suurem), seetõttu ei saa kasutada valemit p = gh. Tuleb arvestada tiheduse pidevat muutmist. Õhurõhu olenevust kõrgusest maapinnast h kirjeldab nn. baromeetriline valem, mis saadakse diferentsiaalarvutuse abil: mgh - p = p0 e kT , kus p0 on õhurõhk maapinnal, m õhumolekuli mass, k - Boltzmanni konstant ja T õhu temperatuur kelvinites. Baromeetrilise valemi kohaselt õhurõhk p suureneb T tõustes ja väheneb h suurenedes: p p0 h
annaabi.ee 
