esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga. Tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub esimese teguri ridade arvuga ja veergude arv vastavalt teise teguri veergude arvuga. Am*n*Bn*p=Cm*p; Maatriksi korrutamine ei ole kommutatiivne. A*BB*A Kui maatriksis leidub vähemalt 1 nullist erinev r-järku miinor ja mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. r=rank A Maatriksi astakut määravat miinorit nim baasimiinoriks. Baasimiinorid ei ole üheselt määratud. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori on vektoritena lineaarselt sõltumatud. Et leida maatriksi astakut teisendatakse maatriksit nii, et ta kõrgemat järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakusse nurka. Teisenduseks kasutame elemntaarteisendusi. * maatriksi rea korrutamine nullist erineva teguriga; * maatriksi ühele
1_. vasatupidiseks. 3' maatriksi kahe rea (veeru) Skalaarkorrutis Kahe vektori 3. omadus. ümberpaigutamine. skalaarkorrutiseks nimetatake Determinandi mingi rea kõigi Elementaarteisendused ei m uuda arvu, mis on võrdne nende elementide korrutamise ühe ja sama m maatriksi astakut. vektorite pikkuste jar teguriga korrutub Pöördmaatriks, selle leidmine. vektoritevaheliseu nurga kogud determinant selle sama teguriga. koosinuse korrutisega. See omadus võimaldab determinandi Pöördmaatriks on vaid ruutmatriksil. Kui maatriksi tüüp Vektorkorrutis Vektorite alfa ia
hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS. Astaku määramiseks teostatakse elementaarteisendusi, saavutamaks MAATRIKSI TRAPETSKUJU, mille puhul peadiagonaalil
hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS. Astaku määramiseks teostatakse elementaarteisendusi, saavutamaks MAATRIKSI TRAPETSKUJU, mille puhul peadiagonaalil
lahendeid. Gaussi meetod Gaussi meetod baseerub võrrandisüsteemi laiendatud maatriksi elementaarteisendustel. Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Vabad tundmatud Maatriksi astakust lahutada juhtelemendid, siis saab vabad tundmatud. Neid kasutame juhtelementide arvutamiseks. Maatriksi astak Maatriksi astak on nullist erinevate täiendusmiinorite kõrgeim järk. Astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Maatriksi rea juhtelement Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi. Treppkujuline maatriks Öeldakse, et maatriks on treppkujuline, kui 1. read, mis koosnevad ainult nullidest, on maatriksi põhjas (all) 2. mistahes rea juhtelement asetseb rangelt paremalt temale eelneva rea juhtelemendist Kronecker-Capelli teoreem LVS on kooskõlaline ehk lahenduv parajasti siis, kui
Niisugusest maatriksi kujust võib kergesti välja lugeda maatriksi astaku r. Teoreem maatriksi astakust Kui vektorite hulga S={a1,a2...ar...am}koordinaatide maatriksi astak on r, siis on r vektorit hulgast S lineaarselt sõltumatud, kuna ülejäänud m-r vektorit on nende r vektori lineaarsed kombinatsioonid. Vektorite hulk S={a1,a2...ar...am} on lineaarselt sõltumatud parajasti siis kui hulga S vektorite kordinaatide maatriksi astak on m. Maatriksi astakut võib sefineerida ka kui maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade veergude maksimaalarvu. Determinandi võrdumine nulliga Determinant on võrdne nulliga kui: 1. ühe rea veeru elemendid on kõik nullid; 2. kaks rida veergu on võrdsed; 3. kaks rida veergu on võrdelised. Need tingimused on piisavad determinandi võrdumiseks nulliga, determinant võib võrduda nulliga ka siis kui üks neist tingimustest ei ole täidetud
Sõltuva valimiga t-testi mitteparameetrilise analoogini jõudmine järgi eeltoodud käsklusterea loogikat: Analyze Nonparametric Tests Legacy Dialogues 2 Related Samples Tulemused: a) Väljundiaknas näete erinevust statistikutes ehkki nii parameetrilistes kui ka mitteparameetrilistes testides kuvatakse teile olulisuse tõenäosust, näete te mitteparameetriliste testide tulemustes keskmise (mean) asemel keskmist astakut (mean rank); samuti on mitteparameetrilises analoogis olulisel kohal Wilcoxoni Z (sõltumatute valimite puhul Mann-Whitney U). Need statistikud tuleb teil raporteerida järgnevalt: Wilcoxoni Signed Ranks Test näitas, et otse vaatava pilguga pilte hinnati statistiliselt oluliselt atraktiivsemaks kui kõrvale vaatava pilguga pilte, Z = ..., p = .02. Alternatiivselt: Wilcoxoni Signed Ranks Test näitas, et otse vaatava pilguga piltide
ehk lühidalt (B.17 ) 3. Matriksi astak, Kronecker Capelli teoreem. Maatriksi astak on maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade või veergude arv. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Kui meil on n × m maatriks A, siis r(A) min(n,m). Öeldakse, maatriks on täisastakuga, kui ruutmaatriksi astak võrdub tema ridade ja veergude arvuga. Kui ruutmaatriks ei ole täisastakuga, siis tema determinant võrdub nulliga. Vahel defineeritakse maatriksi astak maatriksi miinorite (ehk alamdeterminantide) kaudu. Nimelt, maatriksi astak on nullist erinevate miinorite kõrgeim järk
Vastasel juhul ei saa maatriksite korrutist arvutada. Üldiselt AB BA (omadus). Maatriksi astak, selle leidmine. Näide Def. Kui Maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor (maatriksi ühistest ridadest ja veergudest moodustatud determinant), kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis on maatriksi astak r. Seega m x n-maatriksile r m, n. Maatriksi astaku leidmiseks teisendatakse maatriksit elementaarteisendustega (mis ei muuda maatriksi astakut) nii, et tema nullist erinev kõrgemat järku miinor tuleb maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Maatriksi elementaarteisendused (ei muuda maatriksi astet): 1. maatriksi rea (veeru) korrutamine nullist erineva arvuga, 2. maatriksi reale (veerule) mingi arvu kordse teise rea (veeru) liitmine, 3. maatriksi kahe rea (veeru) ümbervahetamine. Nt: [1,3,5,4; [1,3,5,4; [1,3,5,4; |1 3 | = -7 0
8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. 9. Maatriksi miinor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem Miinor - Mij nimetatakse determinandi , mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel Igale nullmaatriksist erinevale maatriksile pannakse vastavusse sellega üheselt määratud naturaalarv maatriksi astak. Leiame maatriksi astakut maatriksi elementaarteisenduste abil. Maatriksi astak ei muutu, kui maatriksile rakendada järgmisi teisendusi (maatrikselementaarteisendused): 1. maatriksi kahe rea ( või veeru ) ümberpaigutamine. 2. maatriksi ühe rea ( või veeru ) kõigi elementide korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. 3. maatriksi ühe rea ( või veeru ) elementidele teise rea ( või veeru ) ühe ja sama arvu kordsete elementide liitmine.
Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks. Maatriksi astak: miinoriks on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel moodustatud det. Astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud, siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja
miinor. Näide. Maatriksi esimest järku miinorid on selle maatriksi elemendid: 1,2, 3 jne. Teist järku miinorid on näiteks Kolmandat järku miinorid on Kõrgemat järku miinorid antud maatriksil puuduvad. Definitsioon. Maatriksi astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1) leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, 2) puuduvad nullist erinevad r-ist kõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Näide. Vaatleme maatriksi Sellest on võimalik koostada kuni 4-t järku miinorid. Meid huvatavad aga nullist erinevad miinorid. Saame maatriksist koostada nullist erineva nt. sellise 3-t järku miinori Teiselpoolt puuduvad maatriskil nullist erinevad 4-t järku miinorid, kunas igas 4-t järku miinoris peab sisalduma nullide rida, mis annab miinori väärtuseks 0. Seega maatriksi astak on 3 e. Lause 1. Kui maatriksi A astak on r,
SÕLTUMATUS Definitsioon. Vektoreid a1 , , an nimetatakse lineaarselt sõltuvateks, kui leiduvad reaalarvud 1 , , n , millest vähemalt üks on nullist erinev, nii et 1a1 2 a2 n an 0 . (1) Vastasel korral, kui niisuguseid arve ei leidu, siis nimetatakse vektoreid lineaarselt sõltumatuteks. Nii saab defineerida ka maatriksi astakut: astak on maksimaalne lineaarselt sõltumatute ridade (veergude) arv. Sõltumatute ridade korral ei saa neid arvuga korrutades ja üksteisele liites ühtki rida nulliks teisendada. Teiste sõnadega, vektorid on lineaarselt sõltumatud, kui võrdus (1) kehtib ainult siis, kui 1 2 n 0 .
8 Käsklusterida: Analyze Nonparametric Tests Legacy Dialogues 2 Related Samples. Väljundiaknas näete erinevust statistikutes ehkki nii parameetrilistes kui ka mitteparameetrilistes testides kuvatakse teile olulisuse tõenäosust, näete te mitteparameetriliste testide tulemustes keskmise (mean) asemel keskmist astakut (mean rank); samuti on mitteparameetrilises analoogis olulisel kohal Wilcoxoni Z (sõltumatute valimite puhul Mann-Whitney U). Need statistikud tuleb teil raporteerida järgnevalt: Wilcoxoni Signed Ranks Test näitas, et otse vaatava pilguga pilte hinnati statistiliselt oluliselt atraktiivsemaks kui kõrvale vaatava pilguga pilte, Z = ..., p = .02. Alternatiivselt: Wilcoxoni Signed Ranks Test näitas, et otse vaatava pilguga piltide atraktiivsuse astakud olid
Sel juhul nende ridade ja veergude ühistest elementidest moodustatud determinanti M nimetatakse maatriksi A k-ndat järku miinoriks. 18 2.5. Lineaarvõrrandisüsteemid Definitsioon 2.7 Maatriksi A astakuks nimetatakse selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeimat järku. Maatriksi astakut tähistatakse ka rank(A). Maatriksi astaku leidmiseks saab kasutada neid samu ridade ele- mentaarteisendusi, mis pöördmaatriksi leidmise juures. Selleks teisen- datakse maatriksis kõik elemendid ühele poole peadiagonaali nullideks. Elementaarteisendusi kasutades maatriksi astak ei muutu. 2.5 Lineaarvõrrandisüsteemid Vaatleme võrrandisüsteemi kujul a11 x1 + a12 x2 + ..
annaabi.ee 
