Keemilised vooluallikad Pikka aega j¨aid akude erimahtuvused u¨hekordse kasutusega elementide omadele alla. Viimastel aastatel on aga akude erimahtuvused u¨ha kasvanud ja sageli u¨letavad sama suurusega akude mahtuvused tavaliste "patareide" oma. Nominaalne klemmipinge (nullvoolupotentsiaal) iseenesest ei n¨aita u¨he v~oi teise keemilise vooluallika t¨uu¨bi headust. K~orgema summaarse pinge saamiseks v~oib alati u¨hendada mitu elementi j¨arjestikku (n¨aiteks 9 V patareid sisaldavad t¨uu¨piliselt 6 elementi nullvoolupotentsiaaliga 1,5 V). Konkreetse vooluallika klemmipinge on aga seotud temasse j¨a¨anud energiahul- gaga. Seda seost kasutatakse n¨aiteks mobiiltelefoni aku laetuse indikaatorites. Vooluallikate asendatavuse ja u¨hilduvuse huvides on hea, kui sama kujuga patareide ja akude nullvoolupotentsiaalid on l¨ahedased (t¨uu¨piliselt 1,5 V v~oi selle kordne).
s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m~ o~ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p~ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . (1.1) .................... am1 am2 . .
s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m˜ o˜ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p˜ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . (1.1) ....................
1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu m~oiste k¨asitlemist toome sisse m~oned hulkadega seotud t¨ahised. Hulk (tavalises m~ottes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest), kusjuures elemendid ei kordu ja nende j¨arjestus ei ole kindlaks m¨a¨aratud. Hulga t¨ahistami- seks eraldame vaadeldavad elemendid komadega ja piiritleme hulga loogeliste sulgudega. N¨aiteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks {x2 x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨artusi 1, 2 ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh-
1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu m~oiste k¨asitlemist toome sisse m~oned hulkadega seotud t¨ahised. Hulk (tavalises m~ottes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest), kusjuures elemendid ei kordu ja nende j¨arjestus ei ole kindlaks m¨a¨aratud. Hulga t¨ahistami- seks eraldame vaadeldavad elemendid komadega ja piiritleme hulga loogeliste sulgudega. N¨aiteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks {x2 x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨artusi 1, 2 ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh-
m¨arkustega k¨ asikirja vormistamisel. Autor 5 0.2. Kasutatav s¨ umboolika ~ Oppevahendis esitatavad v¨aited koosnevad lausetest, millest iga kohta v~oib ¨oelda, kas ta on t~ oene (~ oige) v~ oi v¨ a¨ar. Liigitame need laused liht- ja liitlauseteks. N¨aiteks laused "x X" (x on hulga X element) ja "y Y " on lihtlaused ning lause " (x X) (y Y ) " (x on hulga X element ja y on hulga Y element) ehk l¨ uhidalt "x X y Y " umbolit kasutame selles kontekstis s~ona "ja" ning s¨ on liitlause. S¨ umbolit s~ona "v~oi" asemel. Olgu A ja B kaks lauset. T¨ ahistus AB (0.2.1)
4 x4 =0 x5 on vaba x5 =0 x5 =1 x5 =1 4. Determinandi omadused, n¨aiteks Millised v~ordused kehtivad iga R korral a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a2 b2 c2 , a2 b2 c2 = a2 b2 c2 , a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3
v~oi u ¨hendatud. mugandatud kuju on . , , , , , , jne. Seda, kuidas konkreetset m¨arki ajalooliselt on lihtsustatud, ei saa reeglina teistele m¨arkidele ¨le kanda. N¨aiteks seosest oleks vale j¨areldada u 103 103 seose kehtivust. Teada on, et , aga seos ei pea paika, kuna `¨oo¨biku' algm¨argiks on hoopis , m¨argib leevikest3 . 2 ~ `Oige kuju' pole staatiline vaid pigem d¨ unaamiline parameeter, eri ajastutel
usteemi eesm¨argid on j¨argmised: • Saada u¨levaadet kliendi andmetest. T¨apsemalt peab teadma, kas klient k¨ ulastab esimest korda v˜oi mitte, kas tema andmed on andmebaasis olemas ja kui on, kas need on t˜oesed. • Saada u ¨levaadet klientide esialgsete soovidest. T¨apsemalt peab olema v˜oimalik teha selgeks mida klient soovib ja kelle v˜oi mille jaoks. N¨aiteks, kui klient soovib o˜mmelda endale seelikut, siis peab teadma saama kus klient soovib soovitava toodet kasutada, mis stiili (k.a. l˜oige) ja v¨arvi ta eelistab v˜oi mis p˜ohjusel ta soovib seelikut. Antud informatsioon annab disainerile v˜omaluse pakkuda erinevaid variante. N¨aiteks, kui kliendil on olemas kangat¨ ukk 70cm. Kliendi arvamusel kangast j¨atkub seeliku o˜mblemiseks. Kuid disainer v˜oib pakkuda kleidi o˜mblemist lisades teist
Kui suur on maksimaalne arvukus? Lahendus. n(0) = 1000e0 (2 + 0) = 2000, n (t) = 1000[(e( - 0, 01t) (2 + t) + e-0,01t (2 + t) ] = 1000e-0,01t (-0, 01t) (2 + t) + e-0,01t · 1] = = 1000e-0,01t (-0, 02 - 0, 01t + 1) = e-0,01t (980 - 10t). Bakterite arvukus on ekstremaalne, kui n (t) = 0. n (t) = 0, kui 980 - 10t = 0, sest e-0,01t = 0. Saame, et t = 98 aja¨ uhikut. Leiame n(98) = 37531. Kuivrd nii varasematel ajahetkedel (n¨aiteks t = 0 korral, n(0) = 2000) ning hilisematel (n¨aiteks t = 100 korral n(100) = 37523 ) on bakterite arvukus v¨aiksem, on tegemist maksimumiga. g(x, y) g(x, y) 5. Leida osatuletised gx (x, y) ja gy (x, y) , kui g(x, y) = 2y cos x - ye2x (2p). x y Lahendus.
[g(x) - f (x)]dx 0. a 3 J¨arelduse 1 p~ohjal b b g(x)dx - f (x)dx 0, a a mis ongi v¨aiteks. Omadus 4. Funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraali absoluutv¨aa¨rtus on v¨aiksem v~oi v~ordne selle funktsiooni absoluutv¨a¨artuse m¨a¨aratud integraalist: b b f (x)dx |f (x)|dx. a a T~oestus. M¨aa¨ratud integraali definitsiooni kohaselt
. .. .. . 0 0 ... 0 Paneme t¨ahele, et nullmaatriksi t¨ahistamiseks kasutame arvu 0 (null). Lugeja peab kontekstist m~oistma, millal on tegemist arvuga 0 ja millal nullmaatriksiga. Seda mugavat kahem~ottelist t¨ahistust on t¨ ulikas v¨altida. Sel- guse huvides v~oib nullmaatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt 0k × n on k × n-j¨arku nullmaatriks. Nullmaatriksi j¨arku tavaliselt ei ekponeerita, see selgub kontekstist. N¨aiteks nullmaatriksi liitmis- el mingi teise maatriksiga peavad summa eksisteerimiseks j¨argud olema u ¨hesugused. Lause 1 (nullmaatriksi neutraalsus). A + 0 = A = 0 + A T~ oestus. T~oepoolest (A + 0)ij = aij + 0ij = aij + 0 = aij = 0 + aij = 0ij + aij = (0 + A)ij 4 II. Maatriksarvutus 1.7 Vastandmaatriks
re suurimaks v¨a¨artuseks. J¨arelikult on funktsiooni muutumispiirkonnaks l~oik Y = [0; 1]. 5 1.1.3 Funktsioonide liigitamine Funktsioone liigitatakse nende s¨ ummeetriaomaduste, v¨a¨artuste kordumise v~oi mingi muu tunnuse alusel. Definitsioon 1.4. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsioo- niks, kui x X korral f (-x) = f (x). Paarisfunktsioonideks on n¨aiteks y = x2 , y = |x| ja y = cos x. Neist kahe esi- mese graafikud on esitatud joonisel 1.5 ja kolmanda graafik joonisel 1.6. Kui y y 4 4 x2 y= | |x
vad. Ka molekulaarsel tasandil ilmneb neid organiseerituse tase, kus ilmnevad elu k6ik valdkor - = ' vAhe. Kuid koikjal, kus on elu, esinevad bio- omadused. Need avaldur ad koige selgemini tikuga :=: = - molekulid: sahhariidid, lipiidid, valgud ja nuk- uherakulistel organismidel aiteks kingloom Or:: - leiinhapped. Molekulaarset taset loetakse elu elundkc.:: toitub, paljuneb, reageerib tlukeskkonnas toi- mede -== - esmaseks organiseerituse tasemeks. muvatele muutustele, arenel. ja kohaneb timb- on k---'=, Bioloogiaharu, mis uurib elu molekulaarsel ritseva keskkonnaga
aramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui 1. f on m¨a¨aratud punktis A, st A D 2. eksisteerib piirv¨a¨artus lim f (P ) P A 3. lim f (P ) = f (A). P A Funktsiooni f nimetatakse pidevaks piirkonnas G, kui ta on pidev selle pi- irkonna k~oigis punktides. graafiku kohta. N¨aiteks on pideva kahemuutuja funktsiooni graafik pidev pind (st pind mis ei oma katkevuspunkte ega katkevusjooni). 12) Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise pidevus. Liitfunktsiooni pidevus. Summa, vahe, korrutise ja jagatise pidevus. Kui mitmemuutuja funkt- sioonid f ja g on pidevad punktis A siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f - g, korrutis f g ning eeldusel g(A) = 0 ka jagatis fg . Liitfunktsiooni pidevus. Olgu
Kolmest し ふ u¨ hiskondlikust klassist on p˜ollut¨oo¨ ga seotud 男, 士 m¨argib s˜odalasi, 夫 alamklassi のうふ (農夫). M¨argi 男 kasutus mehe–naise t¨ahenduses on hilisem. 〔説文〕seletab, et mees teeb j˜ouga p˜ollul t¨oo¨ d, v˜ottes 力 kui f¨uu¨ silist j˜oudu, mis pole ilmselt o˜ ige, kuna 力 kui ‘j˜ou’ esinemist n¨aiteks 静・加・嘉 m¨arkides oleks raske p˜ohjendada. 源 ⇒力 参考 ⇒夫 源 ⇒ 田 反対 ⇒ 女 参考 ⇒ 士 KOLM MLASSI 士男夫 1 meessoost inimene, mees 3 u¨ ks viiest u¨ likuseisusest (k˜oige ma-
Oletame, et Aj ∈ T , j ∈ J. Siis Aj ∈ Ti iga i ja j korral. Kuna Ti rahuldab n˜ouet 20 , siis ∪j∈J Aj ∈ Ti iga i korral, st ∪j∈J Aj ∈ T ja T rahuldab topoloogia n˜ouet 20 . Analoogiliselt n¨aidatakse, et T rahuldab topoloogia n˜ouet 30 . Seega T on topoloogia hulgal X. Hulga X k˜oigi alamhulkade hulga P(X) mis tahes alam- hulga U jaoks leidub teda alamhulgana sisaldavaid topoloo- ¨ giaid hulgal X. Uheks selliseks topoloogiaks on n¨aiteks P(X) ise. V˜ottes k˜oigi hulka U alamhulgana sisaldavate hulga X topoloogiate u ¨hisosa, saadakse teoreemi 1.1 p˜ohjal topoloogia, mis on ilmselt v¨ahim hulga X alamhulkade hulka U sisal- dav topoloogia hulgal X. Saadud topoloogiat nimetatakse U poolt tekitatud (v˜oi indutseeritud) topoloogiaks hulgal X. N¨aide 1.3 Kui A ⊂ X ja U = {A}, siis U poolt tekitatud topoloogia hulgal X on T = {∅, A, X}. 1.2 Topoloogilise ruumi baas
annaabi.ee 
