V~otame piirv¨a¨artuse: F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 V~orratused n¨aitavad, et f'(x1) 0 ja f'(x1) 0. See on v~oimalik vaid siis, kui f'(x1) = 0. Seega on lemma t~oestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab k¨asitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f'(c) = 0. T~oestus. Kuna f(x) on pidev l~oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m
fyd 350 T¨o¨otava armatuuri suurim lubatav samm on kahekordne plaadi paksus: smax = 2, 0 · 80 = 160mm (12) Valin t¨o¨otavaks armatuuriks 8A400, sammuga 120mm, mille korral As1,prov = 419mm2 /m (13) Jaotusarmatuuri peaks olema v¨ ahemalt 20% t¨o¨otava armatuuri pinnast: As3 = 0, 2 · As1,prov = 0, 2 · 419 = 84mm2 /m (14) Jaotusaramtuuri suurim lubatav samm on kolmekordne plaadi paksus v~oi 400mm: smax,2 = 3, 0 · 80 = 240mm (15) Valin jaotusarmatuuriks 6A400, sammuga 240mm, mille korral As3,prov = 118mm2 /m (16)
xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim xa- f(x) = lim xa+ f(x) = lim xa f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevus- punktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~orratus lim xa- f(x) ei võrdu lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hu¨ppepunktiks (hu¨ppekohaks). 2. Kui v¨ahemalt u¨ks u¨hepoolsetest piirv¨a¨artustest lim xa- f(x) v~oi lim xa+ f(x) puudub v~oi ei ole l~oplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (Lu¨hemalt: teist liiki katkevuspunktid on k~oik need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.) 15. Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid. Uhepoolselt pidevad funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pi- devaks punktis a, kui 1. f on m¨a¨aratud argumendi v¨a¨artusel a, st a X, 2
Sellisel juhul omab v~orrand (1.1) kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramispiirkon- naks. M¨a¨aramispiirkonna t¨ahisena kasutame edaspidi s¨umbolit X. Hulka Y = {f (x) || x X} nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuste hulgaks. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨ a¨ artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y v¨a¨artusi, kusjuures leidub v¨ahemalt u ¨ks x v¨a¨artus, millele vastab mitu y v¨a¨artust. Ar- gumendi, s~oltuva muutuja, m¨a¨aramispiirkonna ja v¨a¨artuste hulga m~oisted on mitmese funktsiooni korral analoogilised vastavate m~oistetega u ¨hese funktsiooni korral. NB! K¨aesolevas konspektis t¨ahendab m~oiste "funktsioon" ilma t¨aiendita "mitmene" alati u ¨hest funktsiooni. Funktsiooni esitusviisid. 1
Sellisel juhul omab v~orrand (1.1) kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramispiirkon- naks. M¨a¨aramispiirkonna t¨ahisena kasutame edaspidi s¨umbolit X. Hulka Y = {f (x) || x X} nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuste hulgaks. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨a¨artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y v¨a¨artusi, kusjuures leidub v¨ahemalt u ¨ks x v¨a¨artus, millele vastab mitu y v¨a¨artust. Ar- gumendi, s~oltuva muutuja, m¨a¨aramispiirkonna ja v¨a¨artuste hulga m~oisted on mitmese funktsiooni korral analoogilised vastavate m~oistetega u ¨hese funktsiooni korral. NB! K¨aesolevas konspektis t¨ahendab m~oiste "funktsioon" ilma t¨aiendita "mitmene" alati u ¨hest funktsiooni. Funktsiooni esitusviisid. 1
teemi mis tahes v~orrandisse tundmatute asemele muudab selle v~orrandi samasuseks. 1 2 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 1.3 Lahenduvusega seotud m~ oisteid S¨usteemi nimetatakse koosk~olaliseks, kui tal leidub v¨ahemalt u ¨ks ¨ lahend. Oeldakse, et s¨ usteemi on m¨a¨ aratud, kui tal leidub parajasti u ¨ks lahend. S¨ usteemi nimetatakse vastur¨ a¨ akivaks, kui tal puuduvad lahendid. N¨ aide V~orrand 0x = 0 on koosk~ olaline (l~ opmata palju lahendeid). V~
aliseeritakse. Enam levinud funktsiooni esitusviisid on: 1) anal¨uu ¨tiline esitus valemi abil, mis n¨aitab, milliseid tehteid millises j¨arjekorras tuleb teostada argumendi v¨ a¨ artusega, et saada vastavat funktsiooni v¨a¨artust; 2) geomeetriline esitus graafiku abil; 3) numbriline esitus tabeli abil; 4) esitus arvutiprogrammi abil. Definitsioon 3. Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud v¨ahemalt u ¨ks hulga Y element ja v¨ ahemalt u ¨hele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud mitmene funktsioon f. N¨aiteks kahese funktsiooni f korral leidub v¨ahemalt u ¨ks argumendi v¨a¨artus x funkt- siooni m¨ a¨aramispiirkonnast X, millele vastab kaks erinevat funktsiooni v¨a¨artust y1 ja y2 , ning ei leidu argumendi v¨
Kokku neli punkti, mis k~oik omavad v~ordset kaalu. Eksamieelduseks on kahe kontrollt¨o¨o kirjutamine semestri jooksul. Kontrollt¨o¨od toi- muvad harjutustunnis, 1. kontrollt¨o¨o 8. ja 2. kontrollt¨o¨o 15. ~oppen¨adalal. Kontrollt¨o¨ode ja u ¨htlasi eksami t¨ uu¨p¨ulesanded on interneti aadressil www.staff.ttu.ee/lpallas/matan1yles.pdf Kontrollt¨oid hinnatakse 100-punkti s¨ usteemis. Selleks, et kontrollt¨o¨o oleks arvestatud, peab see olema kirjutatud v¨ahemalt 51-le punktile. ¨ opilased, kes kirjutavad m~olemad kontrollt¨o¨od u Uli~ ¨lalnimetatud aegadel v¨ahemalt 80 punktile, on eksamil u ¨lesannetest vabastatud. Semestri jooksul toimub kolm kollokviumi (osaeksamit). Esimene - funktsioon, piirv¨aa¨rtus, pidevus (punktid 1 - 14) - 12. oktoobril 18.00 v~oi 10. oktoobril 14.00. Teine - funktsiooni tuletis, tuletise rakendusi (punktid 15 - 38) - 23. novembril 18.00 v~oi 28
n f (k )xk M (b - a) k=1 m~olemalt poolt piirv¨a¨artuse piirprotsessis 0 ja arvestades sellega, et paremal pool on konstantne suurus, saame v¨aite. Omadus 8 (m¨ a¨ aratud integraali keskv¨ a¨ artuse omadus). Kui funkt- sioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis leidub v¨ahemalt u ¨ks selline punkt [a; b], et b f (x)dx = f ()(b - a). a T~oestus. L~oigul pidev funktsioon omab v¨ahimat v¨a¨artust m ja suurimat v¨a¨artust M sellel l~oigul, seega kehtib omadus 7. Jagades selle v¨aites esineva m~olema v~orratuse m~olemat poolt integreerimisl~oigu pikkusega b - a, saame
M¨argiteooria seisukohalt v~oiks k¨aesoleva t¨o¨o probleemi p¨ustitada niisiis j¨argmiselt: kuidas on kanji m¨arkide t¨ahendused omavahel seotud, kas leidub siin mingeid seadusp¨arasusi e. seosmehhanisme. 30 Lehek¨uljel 26 kirjeldatud kanji kuuejaotuslik taksonoomia on u ¨ks v~oima- likke m¨arkidevaheliste seosmehhanismide kirjeldusi. Enne nimetatud `kuue m¨argiklassi' anal¨uu ¨si, oleks kohane veidi l¨ahemalt k¨asitleda Peirce m¨argiteooriat. Kas pole siit mitte v~oimalik leida `kuue m¨argiklassi' edasiseks s¨ustematiseerimiseks piisavat argumentatsiooni? 2.2 Peirce kolmem~ o~ otmeline m¨ argiruum C. S. Peirce m¨argiteooria on piisavalt laiade rakendusv~oimalustega s¨ us- teem, nagu [Merell 97] oma p~ohjalikus teemaarenduses osutab. Peirce
selles piirkonnas iga v¨ a¨artuse oma suurima ja v¨ ahima v¨a¨ artuse vahel. Omadus 3. Kui funktsioon f on pidev kinnises t~ okestatud sidusas piirkonnas D ja omandab selles piirkonnas nii positiivseid kui negatiivseid v¨ a¨artusi, siis leidub selles piirkonnas v¨ ahemalt u ¨ks punkt A nii et f (A) = 0. 14) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletise m~ oiste. Olgu antud m-muutuja funktsioon z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) ja olgu A = (a1 , a2 , . . . , am ) punkt funktsiooni f m¨a¨ aramispiirkonnas. Piirv¨a¨ artust f (a1 , a2 , . .
Sageli rahuldavad vaatlusel olevad topoloogilised ruumid li- saks topoloogia definitsioonis 1.1 loetletud n˜ouetele 10 − 30 veel t¨aiendavaid tingimusi. J¨argnevalt loetletakse m˜oned neist tingimustest, t¨ahistades neid vastavalt matemaatilises kirjan- duses u ¨ldlevinud tavale T0 , T1 , T2 , T3 ja T4 . Olgu X topoloogiline ruum. Tema jaoks v˜oib kontrollida j¨argmise viie tingimuse t¨aidetust: T0 : iga kahe erineva punkti korral ruumist X leidub v¨ahemalt u ¨hel neist u ¨mbrus, mis ei sisalda teist punkti; T1 : iga kahe erineva punkti korral ruumist X leidub m˜olemal punktil u¨mbrus, mis ei sisalda teist punkti; T2 : iga kahe erineva punkti korral ruumist X leiduvad neil punktidel u¨mbrused, millede u ¨hisosa on t¨ uhi; T3 : iga punkti ja seda punkti mittesisaldava kinnise hulga jaoks ruumist X leiduvad neil u ¨mbrused, millede u
n! m!(n - m)! = n! m!(n - m)! liidetavat. Sellega on arvuliselt k¨atte saadud samapalju liidetavaid kui de- terminanti |X| defineerivas valemis (3.1). Tuleb veel selgitada, et valem (4.5) ei anna valemi (3.1) liidetavatest m~onda liidetavat mitu korda, aga m~onda pole u ¨ldse v~oetud. Seda ohtu tegelikult ei ole. Valemis (4.5) mis- tahes kahe liidetava korral nendesse kuuluvad miinorid erinevad v¨ahemalt u ¨he veeru poolest. Viimane teoreem t~oestati Laplace'i poolt 1772. aastal. Analoogiline teoreem kehtib determinandi |X| kohta rakendatuna tema veergudele. P~ohjus on v¨aga lihtne t¨anu determinandi omadusele 1 . Selle kohaselt |X| = |X |, mist~ottu taandub Laplace'i teoreemi ra- kendamine determinandi |X | ridadele. T¨apsemalt: |X| = |X | = Mm An-m = Mm An-m . Praktikas determinandi arvutamise lihtsustamiseks kasutatakse Laplace'i
n! m!(n − m)! = n! m!(n − m)! liidetavat. Sellega on arvuliselt k¨atte saadud samapalju liidetavaid kui de- terminanti |X| defineerivas valemis (3.1). Tuleb veel selgitada, et valem (4.5) ei anna valemi (3.1) liidetavatest m˜onda liidetavat mitu korda, aga m˜onda pole u ¨ldse v˜oetud. Seda ohtu tegelikult ei ole. Valemis (4.5) mis- tahes kahe liidetava korral nendesse kuuluvad miinorid erinevad v¨ahemalt u ¨he veeru poolest. ♠ Viimane teoreem t˜oestati Laplace’i poolt 1772. aastal. Analoogiline teoreem kehtib determinandi |X| kohta rakendatuna tema veergudele. P˜ohjus on v¨aga lihtne t¨anu determinandi omadusele 1◦ . Selle kohaselt |X| = |X |, mist˜ottu taandub Laplace’i teoreemi ra- kendamine determinandi |X | ridadele. T¨apsemalt: |X| = |X | = Mm An−m = Mm An−m .
✄ すん とん 形声 ˜ ✂ ✁Vana kuju 邨. H¨aa¨とんしゅう ldusosutina 寸. Oige m¨argi 正字 邨 h¨aa¨ ldusosutil 屯 on ちめい ka t¨ahendus ‘kogunema’ 屯聚. 〔説文〕v˜otab 邨 kui kohanime 地名 ning midagi l¨ahemalt ei selgita. 旧字 ⇒邨 参考 ⇒蹲 参考 ⇒ 十 比較! ⇒材 参考 ⇒忖 1 k¨ula, maa asula 3 u¨ ks haldusjaotus (J) 2 maa- (matslik) ¨ OKE
annaabi.ee 
