Q = Lm AURUSTUMINE VEELDUMINE PÕLEMINE Q = rm Kujutise konstrueerimine kumerläätse korral. AB ese, A1B1 selle kujutis. Kumerlääts koondab valguskiiri. Kujutise asukoha leidmiseks ehk kujutise konstrueerimiseks kasutatakse esemest väljuvatest kiirtest vähemalt kahte järgmisest kolmest: optilise teljega paralleelset kiirt, mis pärast läätse läbimist läheb läbi fookuse; fookust läbivat kiirt, mis pärast läätse läbimist on optilise teljega paralleelne; läätse keskpunkti O läbivat kiirt, mis pärast läätse läbimist suunda ei muuda.
punkti. Vektori vahe alguspunkt on lahutatava vektori lõpppunkt a ja lõpppunkt vähendatava vektori lõpppunkt. Vektori korrutamine ja jagamine skalaaarvuga: Vektori a ja positiivse skalaari n korrutiseks on vektor, mille suurus on an ja see on suunatud samas suuna s kui vektor a. Vektori projektsioon teljel: olgu meil telg x ja vektorid, mis pole paralleelsed selle teljega. Vektori AB projektsioon teljel x nim telje lõigu a1b1 pikkust, mille alguseks on vektori alguspunkt projektsioon teljel ja lõpppunkt.... Projektsioon on võetus positiivne kui lõigu suund õhtib telje suunaga, a1b1=positiivne, aga d1c1=negatiivne (suund on vastupidine telje suunaga). Projektsiooni tähistatakse PrxAB= a1b1. Teoreem vektorile projektsiooni kohta- vektori projektsioonid paralleelsete ja ühesuunalistele telgedele on võrdsed. xy, PrxAB=PryAB, a1b1= a2b2. tõestuseks lõikame neid telgi kahe paralleelse tasapinnaga.
(nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need veektorid on antud oma kordinaatide või komponentidega ortonormaalsel baasil. Teoreem 3 kui baas on ortonormaalne siis selleks et korrutada skalaarselt kahe vektorit, mis on antud oma koordinaatidega sellel baasil, tuleb korrutada vektorite vastavad koordinaadid ja need korrutised liita a*b=a1b1+a2b2+a3b3 Lõigu pikkus AB= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) Kahe vektori vektorkorrutis Vektorite a ja b vektorrkorrutis nim vektorit y mille pikkus on arvuliselt võrdne niisuguse rööpküliku pindalaga, mis on ehitatud vektoritele a ja b kui külgedele ja mis on risti nende vektoritega ning suunatud nii et lühem pööre vektorist a vektorini b ümber vektori y toimub vastupäeva, kui vaadata vektori y lõpust. Vektorkorrutise omadused
Keevisõmbluste ristlõikepindala A = 4[ 0,7 k ( 4l1 + 2l 2 ) ] + 0,7 kd = 4[ 0,7 10( 4 204 + 2 138) ] + 0,7 10 3,14 308 3,7 10 4 mm2. Inertsimoment [5] 5 ( ) ( ) lk lk kl 3 l 2 I x = I y = 4 2 1 a12 + a1b1 + b12 + 2 1 a 22 + a 2 b2 + b22 + 2 + l 2 k r + 2 3 3 12 2 + l2k 3 t k D -d 2 + l2 k + + 4 4 204 10 = 4 2 ( ) 93 2 + 93 210 + 210 2 ( )
Skalaarkorrutise 5 omadust. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a1 ; a 2;... a n ) , võetuna kindlas järjekorras. Aritmeetiliste vektorite = (a1 ; a 2;... a n ) ja = (b1 ; b2;...bn ) summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit + = (a1 + b1 ; a2 + b2 ;...; an + bn ; ) , korrutiseks vektori = (a1 ; a2 ;...; an ) ca = (ca1 ; ca2 ;...; can ; ) . Vektorite skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu n = ai bi =a1b1 + a2 b2 + ....an bn . i =1 5. Vektorruumi definitsioon. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on
24. Skalaarkorrutise defnitsioon üldjuhul. Skalaarkorrutise näiteid. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile ja paneb vastavusse reaalarvu * nii, et on täidetud järgmised tingimused: 1. * >= 0 V 2. * = 0 <=> = 3. * = * ,V (kommutatiivsus) 4. *(+) = * + *; (+)* = * + * ,,V (distributiivsus) 5. c(*) = (c)* = *(c) cR, ,V (homogeensus) Näiteid: 1. * = ||||*||||*cos 2. V = Rn; = (a1; ...; an); = (b1; ...; bn); * = aibi = a1b1 + ... + anbn 3. V = Rn; c1, ..., cn >= 0; * = ciaibi = c1a1b1 + ... + cnanbn 4. V - suvaline n-mõõtmeline vektorruum (üle R); B - fkseeritav baas; = (a1; ...; an)B; = (b1; ...; bn)B; * = aibi 5. V = C[a;b]; f,gV; f(x), g(x); f*g = ab f(x)g(x)dx 25. Eukleidilise vektorruumi ja eukleidilise ruumi defnitsioon. Eukleidilises ruumis defneeritavad mõisted. Vektorruumi V koos temas fkseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks.
n Vektori üldkuju x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) = xi ei , i Vektorite a = ( a1 , a 2 ,..., a n ) ja b = ( b1 , b2 ,..., bn ) skalaarkorrutis a b = a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn . Vektori a norm a = aa = a12 + a 22 + ... + a n2 . Ortonormeeritud (ortogonaalse normeeritud) baasvektorite (ristbaasi) korral 1 kui i = j ei e j = ij = kus ij on Kroneckeri sümbol . 0 kui i j Kolmemõõtmelises x, y , z ristkoordinaadistikus tähistatakse telgede suunalised
.. ; an + bn ) . Def. 3. Arvu (skalaari) c ja aritmeetilise vektori = ( a1; a2 ; ... ; an ) korrutiseks nimetatakse aritmeetilist vektorit c = ( ca1; ca2 ; ... ; can ) . Def. 4. Vektorite = ( a1; a2 ; ... ; an ) ja = ( b1; b2 ; ... ; bn ) skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu n = aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn . i =1 Teoreem 2. Skalaarkorrutis n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis V = n rahuldab omadusi 1° 0 iga V korral; = 0 parajasti siis, kui = (vt. selgitust peale teoreemi); 2° = iga , V korral (kommutatiivsus); 3° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus); 4° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus);
Näide 1. Aritmeetilises vektorruumis V = Rn vaadeldakse tavaliselt II peatükis § 2 määratud skalaarkorrutist: = ( a1; a2 ; ... ; an ) ( b1; b2 ; ... ; bn ) = n . (1) = aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn . i =1 Selliselt defineeritud korrutise jaoks on täidetud definitsioonis 1 esitatud nõuded 1° - 5° . Näide 2. Igas lõplikumõõtmelises vektorruumis on võimalik defineerida skalaarkorrutis. Selleks tuleb fikseerida ruumis mingi baas B = ( 1 , 2 , ... , n ) ja defineerida vektorite = ( a1; a2 ; ... ; an ) B ja = ( b1; b2 ; ... ; bn ) B
(nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need veektorid on antud oma kordinaatide või komponentidega ortonormaalsel baasil. Teoreem 3 kui baas on ortonormaalne siis selleks et korrutada skalaarselt kahe vektorit, mis on antud oma koordinaatidega sellel baasil, tuleb korrutada vektorite vastavad koordinaadid ja need korrutised liita a*b=a1b1+a2b2+a3b3 Lõigu pikkus AB= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) Kahe vektori vektorkorrutis Vektorite a ja b vektorrkorrutis nim vektorit y mille pikkus on arvuliselt võrdne niisuguse rööpküliku pindalaga, mis on ehitatud vektoritele a ja b kui külgedele ja mis on risti nende vektoritega ning suunatud nii et lühem pööre vektorist a vektorini b ümber vektori y toimub vastupäeva, kui vaadata vektori y lõpust. Vektorkorrutise omadused
VDPDYllUVHNV ORRJLOLVH NRUUXWDPLVHJD NRQMXQNWVLRRQLJD Leida jagatise 9 : 13 kahendkuju, jagades jäägi taastamiseta. c0 a0b0 ------------------------------------------------------------ c1 a1b0 ,0-1 62 WHNNLE 9 : 13 = 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 . . . 2 c2 a1b1 q2 T3 tekkib) Jäägi TAASTAMISETA jagamisalgoritm sisaldab vähem samme ja on . = q seega kiirem. /*25,70,'( *5$$)6.((0,' $*6 ALGUS
VDPDYllUVHNV ORRJLOLVH NRUUXWDPLVHJD NRQMXQNWVLRRQLJD Leida jagatise 9 : 13 kahendkuju, jagades jäägi taastamiseta. c0 a0b0 —————————————————————————————— c1 a1b0 ⊕ ,0-1 62 WHNNLE 9 : 13 = 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 . . . 2 c2 a1b1 ⊕ q2 T3 tekkib) Jäägi TAASTAMISETA jagamisalgoritm sisaldab vähem samme ja on . = q seega kiirem. /*25,70,'( *5$$)6.((0,' $*6 ALGUS
vektori lõpp-punktiks punkti, mille koordinaadid vastavad vektori koordinaatidele. 16. Lineaartehted vektoritega (liitmine, lahutamine, arvuga korrutamine) koordinaatides. Vektorite AB ja BC summaks nim vektorit AC=AB+BC. 17. Kahe vektori skalaarkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks ab nim nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. St Avaldis koordinaatides: a*b = (a1b1 + a2b2 + a3b3) Skalaarkorrutis leiab rakendusi vektorite pikkuste arvutamisel ning vektorite, sirgete ja tasandite vaheliste nurkade leidmisel. 18. Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kahe ruumivektori a ja b vektorkorrutiseks nim sellist vektorit c, mille siht on risti vektoritega a ja b ; suund ühtib parema käe kruvi kulgeva liikumisega, kui pöörata vektorit
µ r = 1 900MHz juures ( r = 20 < r ) Graafiliselt esitades (materiali mS Esimese tsooni pindala on skin = 4,75cm . = 10 , r = 10 ) : A1 = a1b1 m r Levimine vabas ruumis Fresnelli tsoonidest on abi uurimaks saate-ja vastuvõtuantenni
7 C-3 Leia võimalikud väärtused, mida võib omandada võrrandi ( ) x 2 + 4 x + k 2 - 5k + 10 = 0 erinevata lahendite korrutis. C-4 Püstprisma ABCA1B1C1 põhitahuks on täisnurkne kolmnurk kaatetitega AB = 5 ja BC = 12. Prisma kõrgus on 15. Leia püramiidi ruumala kui püramiidi tipp on punktis C1 ja ülejäänud tipud servade BC, BB1 ja A1B1 keskpunktides. C-5 Olgu parameeter a , mille korral on täidetud tingimus x12 + x 22 16 ja x1 ja x2 on võrrandi x 2 - 2ax + 2 - a = 0 erinevad lahendid. Leia x13 + x 23 võimalike väärtuste hulk. Vastused: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A 10 4 2 4 3 2 4 1 2 3 2
1) Korrutamine / jagamine arvuga korrutada/jagada läbi kôik koordinaadid 2) Liitmine / lahutamine liita/lahutada omavahel vastavad koordinaadid. 18. Kahe vektori skalaarkorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kahe vektori skalaarkorrutis nim. nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosiinuse korrutist. ab = |a||b|cos Omadused: 1) On arvuline suurus 2) ab = 0, kui a = 0 vôi b = 0 vôi a risti b 3) ab = 1, kui a || b Avaldis koordinaatides: a*b = (a1b1 + a2b2 + a3b3). 17. Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kahe vektori vektorkorrutis nim. vektorit, mille: 1) Pikkus on vôrdne nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega; 2) Siht on rist môlema vektoriga määratud tasandiga; 3) Suund on määratud Parema Käe ReegliTM järgi. Omadused: 1) Ei ole arvuline suurus; 2) ax b = 0, kui a = 0 vôi b = 0 vôi a || b; 3) ax b = |a||b|, kui a risti b . Avaldis koordinaatides:
vanemasse järku Ci. S = a ⊕ b ⊕ c C = ab | ac |bc Järjestiksummaator Paralleelülekandega summaator. Suure järgulisuse korral võib järjestiksummaatori probleemiks olla kiirus, sest ülekanne levib läbi kõigi summaatorite. Kõigis summaatorites akumuleeruv viide võib muuta töö liialt aeglaseks ning piirata arvuti taktsagedust. Paralleelülekande puhul arvutatakse viide igas järgus eraldi funktsioonina ainult sisenditest. C0 C1 = a0b0 + (a0 + b0)c0 C2 = a1b1+ (a1+b1)c1= a1b1 + (a1+b1)a0b0 + (a1+b1)(a0+b0)c0 Võib ette kujutada, kui pikk on viimase järgu avaldis 64-järgulise arvu korral ning kui suur on teda realiseeriva loogikaskeemi maht. Paralleelülekande korral hakkab riistvara maht kasvama väga kiiresti ja suurema järgulisuse korral ei saa paralleellülekannet kasutada. Kiire ülekanne on kõige levinum ülekande meetod. Tegemist on järjestik ja paralleel ülekannete kompromislahendusega. Toome uue tähistus Gi = Ai*Bi
Vaatleme veelkord valemit (10.2) u u u u = cos + cos + cos s x y z ? u = f ( x, y, z ) s = { s1 , s 2 , s 3 } u u u Sel juhul grad u = , , x y z s e = = { cos,cos , cos } s Järelikult u s = e grad u = grad u s s ? ? ? ? a b = a b cos = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 ab = e b = projab = b cos a u Seega saame = e grad u = proj s grad u = grad u cos (10.4) s Teoreem 10.1. ? Funktsiooni u = f ( x, y , z ) tuletis vektori s suunas on võrdne selle funktsiooni gradiendi ? projektsiooniga selle vektori s suunale. Järeldused. 1) Tuletis antud suunas on maksimaalne kui see on tehtud gradiendi suunas
reaalsissetuleku ja kaupade suhtelise hindade muutusest. Joonis 10.1. Eelarvejoon A tähistab kaupade A ja B suvalist kombinatsiooni sissetuleku täielikul ärakasutamisel. Näiteks valime kombinatsiooni punktis C. Sissetuleku kasvades eelarvekõver nihkub asendisse A1B1. Tarbija reageerib mõlema kauba tarbimise suurendamisega, st valib punkti lõigul DE. Sissetuleku langedes A2B2 tarbija mõlema kauba tarbimist ja valib punkti lõigul FG. See seaduspärasus kehtib normaalkaupade puhul. Kehvem kaup on teisesordiline ja odavam
annaabi.ee 
