Tõenäosusteooria harjutusülesanded (1)

Tallinna Polütehnikum - Matemaatika - Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

5 VÄGA HEA

Esitatud küsimused

Millest 3 on vähemalt üks võetud kuulidest on värviline?
Kui suur on tõenäosus 10 piletiga saada üks võit?

Lõik failist

Klassikaline või geomeetriline tõenäosus
Variatsioonid : =k!

Karbis on 10 pooljuhti, neist 7 hiljuti testitut. Karbist võetakse huupi 5 pooljuhti. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on täpselt 3 hiljuti testitut.
Lahendus: A=“3 pooljuhti 5-st on testitud “
│Ω│=n==12
│A│=k==5
P(A)=5/12

Viieliikmelise uurimisrühma kandideerib 11 teadurit, kellest 5 on daamid . Kui suur on tõenäosus, et sellesse uurimisrühma võetakse: 1)ainult daamid; 2)täpselt 3 daami; 3) vähemalt 3 daami; 4) ülimalt 3 daami?
Lahendus: 2) Sündmus A = „võetakse täpselt 3 daami“
│Ω│=n==77
│A│=k==25
P(A)=25/77

Leida tõenäosus, et 52-kaardisest pakist juhuslikult 4 kaarti valides saadakse täpselt 2 ässa ja üks poti .
Lahendus: A=“saadi 2 ässa ja 1 poti“
│Ω│=n==270725
│A│=k==2730
P(A)=6/595

Riiulile pannakse 10 raamatut, millest 3 on inglisekeelsed , juhuslikus järjekorras. Kui suur on tõenäosus, et inglisekeelsed raamatud satuvad kõrvuti?
Lahendus: A=“inglisekeelsed raamatud on kõrvuti“
│Ω│=n=10!
│A│=k=8!3!
P(A)=1/15
NT: Riiulile pannakse m objekti, millest l on kindla m omadusega.
A=“kindla omadusega kõrvuti“
│Ω│=n=m!
│A│=k=(m-l+1)!*l!
P(A)=(m-l+1)!*l!/m!

( Geom ) Kaks sõpra lõunatavad samas kohvikus kella 12 ja 14 vahel. Mõlemal kulub selleks pool tundi. Leidke tõenäosus, et antud päeval sõbrad selles kohvikus kohtuvad.
Lahendus: „kaks sõpra kohtuvad“
x-1 sõbra saabumishetk
y-2 sõbra saabumishetk
aegade vahe peab olema -0,1
(2/3)**n=6

Seade koosneb kümnest sõlmest. Iga sõlme töökindlus aja T jaoks on p. Leidke tõenäosus, et aja T jooksul ütleb üles 1)vähemalt 1 sõlm 2)ülimalt 1sõlm 3)täpselt 1 sõlm 4)täpselt 2 sõlme 5)vähemalt 2 sõlme 6)ülimalt kaks sõlme. V:1-p**10,p**10+10p**9(1-p), 10**9(1-p),45(1-p)**2p**8,1+9p**10-10p**9,36p**10-80p**9+45p**8
Bernoulli: idanemine , loterii, vise
Diskreetse juhusliku suuruse uurimine genereeriva funktsiooni abil. Binoomjaotus

Eksamiküsimusi on viis. Tudeng teab neist kolme. Talle esitatakse kolm küsimust. Olgu X küsimuste arv, mida tudeng neist teab. Leidke suuruse X jaotusseadus, jaotusfunktsioon F(x) analüütiliselt ja graafiliselt, jaotustihedus f(x), karakteristlik funktsioon g(w), genereeriv funktsioon G(z), keskväärtus E(X) ja dispersioon D(X) ning standardhälve .
Lahendus: X=1,2,3
p1=P(X=1)==3/10
p2=P(X=2)==6/10
p3=P(X=3)==1/10
a)mood X=2
E(X)=
b)dispersioon D(X)=E(X**2)-E**2(X)
E(X**2)=
D(X)=3,6-(1,8)**2=0,36
Hälve σ===0,6
c)Genereeriv funktsioon
G(z)=E(z**X)=
G’(Z)=
E(X)=G’(1)=1,8
G’’(z)=12/10+6/10z
G’(1)+G’’(1)=E(X**2)=3,6

Urnis on 2 valget ja 3 musta kuuli. Kaks poissi võtavad urnist kordamööda huupi kuuli kuni esimese valge kuulini. Tagasi ei panda.
Lahendus: (mood) X-võtmiste hulk esimese valgeni
X=1,2,3,4
P(X=1)=p1=2/5
P(X=2)=p2=3/5*2/4=6/20
P(X=3)=p3=3/5*2/4*2/3=12/60
P(X=4)=p4=3/5*2/4*1/3*1=6/60
p1+p2+p3+p4=1
GX(z)=
G’X(z)=2/5+12/20z+36/60z**2+24/60z**3
G’(1)=E(X)=2
GX’’(z)=12/20+72/60z+36/60z**2+24/60z**3
E(X**2)=GX’(1)+GX’’(1)=5
D(X)=E(X**2)-E**2(X)=5-2=1
σ==1

Unustati 3-kohaline uksekood X-proovimiste hulk õigeni

Korvpallur sooritab kaks sõltumatut vabaviset. Esimesel viskel on tabamise tõenäosus 0,6 ja teisel 0,8. Olgu X=X1+X2,kus X1 ja X2 on vastavalt tabamuste arvud esimesel ja teisel viskel. Leidke suuruste X1 ja X2 ning X genereerivad funktsioonid, suuruse X jaotusseadus, F(x) , Gx(z), EX, DX.
Lahendus: X=X1-X2
X1+-X2
X1=0,1 X2=0,1
p1=P(X1=1)=0,6
p1=P(X1=1)=0,8
q1=P(X1=0)=0,4
q1=P(X2=0)=0,2
GX(z)=GX1+-X2(z)=GX1(z)G-X2(z)=(0,6z+0,4)(0,8z**-1+0,2)=0,12z+0,32z**-1+0,56
G’X(z)=0,12-0,32z**-2
G’(1)=E(X)=-0,2
GX’’(z)=0,64z**-3
E(X**2)=GX’(1)+GX’’(1)=0,44
D(X)=E(X**2)-E**2(X)=0,4
σ=

Diskreetsel juhuslikul suurusel X on vaid kaks võimalikku väärtust x1 ka x2(x2 on suurem kui x1) on teada et P(X=x1)=0,6 EX=1,3 DX=0,96. Leida suuruse X jaotusseadus, F(x), f(x), g(w), G(z)
Lahendus: X=x1,x2
P(X=x1)=0,6 P(X=x2)=0,4 EX=1,3 DX=0,96
E(X**2)=D(X)+E**2(X)=0,96+103**2=2,65
{E(X)=0,6x1+0,4x2=1,3
E(X**2)=0,6x1**2+0,4x2**2=2,65
x1=0,5 x2=2,5
GX(z)=0,6z**0,5+0,4z**2,5
G’X(z)=0,3z**-0,5+z**1,5
G’(1)=E(X)=1,3
GX’’(z)=-0,15z**-1,5+1,5z**0,5
E(X**2)=GX’(1)+GX’’(1)=2,65
Poissoni jaotuse ülesanded.

Olgu P(x=k)=a**k(1+a)**-k-1 juhusliku suuruse X jaoitusseadus. Leidke F(x) jne
Lahendus: pk=P(X=k)=a**k/(1+a)**k+1, a>0, k kuulub hulka N 0
GX(z)=
az/1+a=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=~0,004
2)Y- Lehekülgede arv, millel on vähemalt 2 viga
Y~Po(λ) λ=np=1000*0,004=E(y)=4,68
Mood Y kuulub hulka [λ-1;λ]

Telefonikommutaator teeb tunni aja jooksul keskmiselt 60 ühendust. Kui suur on tõenäosus, et 30 s jooksul ei tule tal teha ühtegi ühendust?
Lahendus: X – Ühenduste arv 30 sek jooksul
X~Po(λ) λ=60k**-1*30=60k**-1*1/120k=1/2
p(X=0)=e**-1/2

Ühesuguste detailide partiis on 300 detaili. Tõenäosus, et detail on praak , on 0,01. Kui suur on tõenäosus, et partiis on 4 praakdetaili?
Lahendus: A= „Detail on praak“ P(A) = 0,01
X~Po(λ), λ=np=300*0,01=3
P(X=4)=3**4/4! *e**-3=27/8 e**-3

Kook Rikneb teel. P(a)=0,02, 1000 kooki, ülimalt 1 kook rikneb.

Järves on 200 kala. Tõenäous, et tunniajalise õngitsemise järel ei saada kätte ühtegi kala, on 0,5. Kui suur on ühe kala jaoks tõenäosus, et ta tunni aja jooksul kinni püütakse?
Lahendus: X-Tunni jooksul püüdud kalade hulk
X~Po(λ)P(X=0)=1/2 , λ=np=200*p
½=P(X=0)=e**-λ=e**-200p
E**-200p=1/2
-200p=ln1/2=-ln2
P=ln2/200

Lae alla, et näha rohkem ▪ ▪ ▪

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 5 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2016-03-28 Kuupäev, millal dokument üles laeti

133 laadimist Kokku alla laetud

1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

bzjuwa Õppematerjali autor

valmistunu Tõenäosusteooria harjutusülesanded Tõenäosusteooria

Sarnased õppematerjalid

docx

Tõenäosusteooria

Sündmused. Kindel A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, perekonnas on sündmus (tähistatakse K) - sündmus, siis A B = AB = {1, 3}.Sündmusi, mis teatud tingimuste korral alati mille korrutiseks on võimatu toimub.Kindlateks sündmusteks on sündmus, nimetatakse üksteist kooliaasta algus 1. septembril, välistavateks.Kui A = igahommikune päikesetõus, vesi on {1, 3, 5} ja B = {2, 4, 6}, siis AB ämbris vedelas olekus kui temperatuur = , siis öeldakse on 10 kraadi. Võimatu sündmused A ja B on sündmus (tähistatakse V) - sündmus, teineteist välistavad. mis antud vaatluse või katse korral Näide7. Olgu täringu kunagi ei toimu. viskel sündmus A = {1, 3, 5} Võimatuteks sündmusteks on näiteks ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis A\B = tär

Tõenäosusteooria

pdf

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. TT ja MatStat kui üksteise pöördteadused. Tõenäosusteooria on matemaatika osa, mis uurib juhuslike nähtuste üldisi seaduspärasusi sõltumatult nende nähtuste konkreetsetsest sisust ja annab meetodid nendele nähtustele mõjuvate juhuslike mõjude kvantitatiivseks hindamiseks. Juhuslikkusel põhinev lähenemine nõuab erilisi meetodeid, mida võimaldab tõenäosusteooria. Matemaatiline statistika on matemaatika osa, mis uurib statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja statistiliste järelduste tegemise meetodeid. Matemaatilise statistika eesmärgiks on statistiliste seaduspärasuste avastamine ja kirjeldamine. 2. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Sündmuste algebra koos tema määratud tõenäosusmõõduga moodustavad tõenäosusruumi

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

docx

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

129

pdf

Juhuslikud sündmused

1. 1. N n . , m k . N = 20, n = 5, m = 4, k = 2. . . C nk C Nm--nk C 52 C152 5!15!4!16! 5 4 3 15 14 4 P ( A) = = = = = 0,217 . CN m C 204 2!3!2!13!20! 2 20 19 18 17 2. n , k . , m . n = 10, k = 4, m = 2. . . C km C 42 4!2!8! 43 2 P ( A) = m = 2 = = = = 0,133 . Cn C10 2!2!10! 10 9 15 3. . 15% , 25%, 30%. , ( ) . . : A1 ; A2 ; A3 . , ( ) P ( A) = P ( A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) = = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) = = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = = 0,85 0,75 0,3 +

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

pdf

Kordamisküsimuste vastused

Protsentiil on arv, millest p protsenti andmetest on temast väiksem või võrdne ja (100- p) protsenti suurem või võrdne. Dispersioon on andmeväärtuste hajuvust näitav karakteristik. N ( x i - µ )2 =2 i =1 (definitsiooni järgi) N Standardhälve: = 2 Haare on suurima ja vähima väärtuse vahe. 2. Sündmus ja tõenäosus. Kindel sündmus ja võimatu sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt A, A1 , Bi , Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse võimalikkust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sündmused on juhuslikud sündmused. 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Esitada definitsioonid ja osata tuua näiteid.

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

doc

Tõenäosusteooria

Kombinatoorika valemeid ja mõisteid · Variatsioonideks n erinevast elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi antud n elemendist ning erinevad kas elementide või nende järjestuse poolest. Erinevaid variatsioone on A =n(n-1) ...(n-k+1)=n!/(n-k)! · Permutatsioonideks n elemendilisest hulgast nimetame ühendeid, mis sisaldavad kõiki n elementi (üks kord) ja erinevad järjestuse poolest. Erinevaid permutatsioone on Pn=n (n-1) ...1 = n! · Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi (antud n elemendi hulgast) ja erinevad vähemalt ühe elemendi poolest. n! · Erinevaid kombinatsioone on C =A /Pk C nk = ( n - k )!k! Tõenäosusteooria · Sündmuste hulka, kus alati üks sündmus toimub ja see välistab teiste toimumise nimetame sündmuste täissüst

Matemaatika ja statistika

246

pdf

Funktsiooni graafik I õpik

1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene

Matemaatika

doc

TÕENÄOSUSTEOORIA

TÕENÄOSUSTEOORIA 1 Juhuslik sündmus 1.1 Juhusliku sündmuse mõiste. Mingi katse või vaatluse tulemusena toimub teatud sündmus. Sündmusi tähistatakse tähtedega A, B, C, … . Iga sündmust vaadeldakse teatud tingimuste kompleksi olemasolu korral. Näiteks lumi sulab 0 kraadi juures normaalrõhul. Sündmused võib jaotada kolme liiki: 1. Kindel sündmus , mis toimub alati antud tingimuste juures ( päike tõuseb idast ja loojub läände). 2. Võimatu sündmus  , mis ei saa kunagi antud tingimuste kompleksi korral toimuda (rong sõidab maanteel, päike loojub itta). 3. Juhuslik sündmus, mis võib toimuda või mitte toimuda (paarisnumbrisaamine täringuviskel, mündi viskamisel saada kull või kiri). 1.2 Sündmuste vahelised seosed. Sündmuste vahelised seosed on nagu vastavate hulkade vahelised seosed. 1. AB, sündmus B järeldub sündmusest A ehk sündmus A sisaldub sündmuses B. Näiteks: A = (2) ja B = (2;4;6), siis

Tõenäosus

Rohkem sarnaseid