Vasakpoolse piirvärtuse kirjutusviis on: lim(xa-) f(x) = b või f(x) b kui xa-. Funktsioonil f on parempoolne piirv. b kohal a kui suvalises piirprotsessis xa+, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Parempoolse piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa+) f(x) = b või f(x) b kui xa+ 5. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Def. Muutuvat suurust ehk funktsiooni (x) nim. lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis xx0, kui lim xx0 (x)=0. Lõpmata väikest suurust nim. ka hääbuvaks suuruseks. Asjaolu. et (x) on lõpmata väike suurus piirprotsessis xx0, tähistatakse ka kujul (x)=o(1) (xx0). Näide. Funktsioonid x, x kuubis, sinx, 1-cosx, e astm x miinus 1 ja ln(1-x) on piirprotsessis x0 lõpmata väikesed suurused, sest lim x0 x=0, lim x0 x kuubis =0, lim x0 sinx=0, lim x0 (1-cosx)=0, lim x0 (e astm x miinus 1)=0, lim x0 ln(1- x)=0. Definitsioon2. Muutuvat suurust (x) nim
3. Defineerida funktsiooni y = f (x) tuletis y'. Sõnastada ja tõestada funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vaheline seos. Definitsioon: Funktsiooni y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Funktsiooni y=f(x) tuletist punktis x tähistatakse f ' ( x ) , st f'(x) = def. ,kus muut (mis vastab argumendi muudule lim(xx0) y/x = lim(xx0) [(f(x0+ x)-f(x0)/ x] (*) Tähistatakse y` x` (y tuletis x järgi) v f`(x) v dy/dx v (d/dx)y Antud funktsiooni f(x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. Näide 1: Leian funktsiooni y=x2 tuletise y' suvalises punktis ( nt. x=3) (2 2
¨ldisemat juhtu. Definitsioon 1. Suurust a nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨ a¨artuseks punktis x0 , kui suuruse a suvalise -¨umbruse U (a) korral leidub selline arvu x0 -¨ umbrus U (x0 ), et f (U (x0 ){x0 }) U (a). Asjaolu, et suurus a on funktsiooni f (x) piirv¨a¨artus punktis x0 , t¨ahistatakse lim f (x) = a xx0 v~ oi xx f (x) 0 a. Kui suurus a on arv, siis k~ oneldakse, et eksisteerib l~ oplik piirv¨ a¨artus. Tavaliselt k~oneldes, et funktsiooni piirv¨ a¨artus eksisteerib, loetakse, et tegemist on l~opliku piirv¨a¨ar- tusega
V: Lihtsamate n-järku DV lahendamine üldkuju F(x, y, y', ..., y(n)) võrrandit kujul, siis arvestame (2) algtingimusi: yn = f(x) , et yn = dy(n-1)/dx, siis *dy(n-1)/dx = f(x)|·dx *dy(n-1) = f(x)dx| *y(n-1) = fxdx + C1. *Et y(n-1) = dy(n-2)/dx, siis *dy(n-2) = (f(x)dx + C1)dx *y(n-2) = (f(x)dx + C1)dx + C2 jne. *Saamegi y = y(x1, C1, C2, ..., Cn) arvestame tingimuse (2) algtingimusi *yn = f(x) *x0 y (x)dx = x0 f(x)dx *y (x)|xx0 = x0xf(x)dx *y(n-1)(x) y(n-1)(x0) = x0xf(x)dx *y(n-1)(x) = x n x (n-1) y0 + x0 f(x)dx (n-1) x Siit* *x0 y (x)dx = x0 y0 dx + x0 x0 f(x)dxdx *y(n-2)(x)|xx0 = y0(n-1)x|xx0 + x0xx0xf(x)dxdx *y(n-2) x (n-1) x (n-1) x x (x) y(n-2)(x0) = y0(n-1)x y0(n-1) x0 + x0xx0xf(x)dxdx *y(n-2)(x) = y0(n-2) + y0(n-1)(x x0) + x0xx0xf(x)dxdx
1.df(x)=f(x)+C ; df(x)dx 2. 3. Lineaarsus Võttes tuletised saame, vp=>af(x)+g(x) ja pp=>af(x)+g(x) Tuletise võrdusest järeldub, et avaldised ei saa erineda rohkem kui konstandi poolest. 3. Definitsioon 1 Funktsiooni (x) nim. lõpmatult vähenevaks suuruseks tingimusel, et xx0, kui 2. Selleks, et funktsioonil y=f(x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. Piirväärtuse definitsiooni kohaselt Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et Teoreem 1 Lõpliku arvu lõpmatult vähenevate väärtuste summa on samuti
y(n-2) = ʃ(ʃf(x)dx + C1)dx + C2 jne. Saamegi y = y(x1, C1, C2, ..., Cn) arvestame tingimuse (2) algtingimusi yn = f(x) x0 ʃy (x)dx = x0 ʃf(x)dx x n x y(n-1)(x)|xx0 = x0xʃf(x)dx y (x) – y(n-1)(x0) = x0xʃf(x)dx (n-1) y(n-1)(x) = y0(n-1) + x0xʃf(x)dx Siit x0 ʃy (x)dx = x0xʃy0(n-1)dx + x0xʃx0xʃf(x)dxdx x (n-1) y(n-2)(x)|xx0 = y0(n-1)x|xx0 + x0xʃx0xʃf(x)dxdx
t2 t2 Teepikkus s = vdt Kiirus v = adt t1 t1 x2 x2 Jõu töö W = kxdx Vedeliku rõhumine P = 9,807xdS x1 x1 Teist järku joonte puutujad punktis P0 xx0 yy 0 xx0 yy0 Ellipsi puutuja võrrand + 2 =1 Hüperbooli puutuja võrrand 2 =1 a2 b a2 b Parabooli puutuja võrrand yy 0 = p ( x + x 0 ) Ringjoone puutuja võrrand xx0 + yy 0 = R 2
t2 t2 Teepikkus s = vdt Kiirus v = adt t1 t1 x2 x2 Jõu töö W = kxdx Vedeliku rõhumine P = 9,807xdS x1 x1 Teist järku joonte puutujad punktis P0 xx0 yy 0 xx0 yy0 Ellipsi puutuja võrrand + 2 =1 Hüperbooli puutuja võrrand 2 =1 a2 b a2 b Parabooli puutuja võrrand yy 0 = p ( x + x 0 ) Ringjoone puutuja võrrand xx0 + yy 0 = R 2
f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et funktsiooni saaks esitada kujul f ( x) = a + ( x) , (x) on lõpmatult vähenev suurus, s.t. lim ( x) = 0 x x0
f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et funktsiooni saaks esitada kujul f ( x) = a + ( x) , (x) on lõpmatult vähenev suurus, s.t. lim ( x) = 0 x x0
S~onastada lopmata vaike/lopmata suur suurus. x Näide: y = 2 pöördfunktsioon on x = log2 y *Muutumata suurust (funktsiooni) (x) nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks, piirprotsessis xx0, kui limx x0 x = 0 *Muutumata suurust (funktsiooni) (x) nimetatakse lõpmata suureks suuruseks, piirprotsessis xx 0, 1+2 x 1- y kui limx x0 x = 30. S~onastada ekvivalentne suurus.
arvu korral leidub selline naturaalarv n0, mis üldjuhul sõltub arvust , st n0 (), et iga naturaalarvu n, mis on suurem kui n 0, korral on rahuldatud võrratus | xn a | < . 5. Lõpmata väikesed ja suured suurused. o Muutuvat suurust (funktsiooni) (x) nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis x x0, kui lim xx0 (x) = 0. o Muutuvat suurust (x) nimetatakse lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis x x0, kui limxx0 (x) = . o Lõpmata väikese suuruse omadused: lim x a f (x) = L f (x) = L + , kus on protsessis x l.v.s. Kui , on protsessis x l.v.s, siis kui ± on protsessis x l.v.s. Kui , on protsessis x l.v
(tunnus) Kulurühm Selgitused Pearühm Pearühmi on maksimaalselt 10 (koodiga 0 kuni 9) ja iga X pearühm võib sisaldada kuni kümmet põhirühma. Põhirühm Iga põhirühm võib sisaldada kuni kümmet kulurühma (koodiga XX X0 kuni X9), milles X on pearühma tunnus. Kulurühm Kulurühmad on koodiga XX0 kuni XX9, milles XX on kõrgemate XXX tasandite (pea- ja põhirühma) tunnused. Tabel 4.3. Kulude liigitamise põhimõtted Ehituskulude liigitamisel pearühmadeks, on nende hulgas kolm sellist rühma, mis ehituslikus tähenduses ei ole tarindid. Tegemist on ehituskorralduslikult oluliste kulurühmadega: tellija kulud (kulupositsioon 0),
(x,y,f(x,y)). Kõikide niisuguste punktide hulk moodustab ruumis pinna. Seega on kahe muutuja funktsiooni graafikuks pind Diferentseeruvus kohal x eksisteerivad fxj(x). Eksisteerivad pidevad fxj(x) diferentseeruvus kohal x. f(x+x) = ruumis. Tähistades x = x0 + x ay=y0 +y, saame, et xx0 ja yy0 parajasti siis, kui x0 ja y0. Pidevuse 3.Tingimuse saame nüüd f(x) + fxj(x) xj + o(x2) kirjutada lim f(x0 +x,y0 +y)=f(x0 ,y0)(x0,y0).Ehk lim [f(x0 +x,y0 +y)-f(x0 ,y0)]=0 (6.4)( x0,y 0) Lagrange' keskväärtusteoreem: Kui f diferentseeruv x ümbruses U(x) ja x + x c U(x), siis leidub c (0,1), nii et Tähistame = x + y Siis 0 x 0 ja y 0
kulurühm haarab kõiki madalamate tasemete kulurühmi. Pearühmade hulgas on 3 sellist, mis ehituslikus tähenduses ei ole tarindid (0 tellija kulud, 8 eh platsi korralduskulud, 0 eh platsi üldkulud). Igal tasemel: 0-lõpulised koodid tähistavad eritlemata tarindeid ja 9- lõpulised unikaalseid töid. X pearühmmax 10, sisald kuni 10 põhirühma XX põhirühm kuni 10 kulurühma XXX kulurühm koodiga XX0 kuni XX9 , kus XX on kõrgemate tasandite tunnused. 18. Mis on kuluühik ja mis on mõõtühik Kuluühik (cost unit) - töömahtude loetelus rühmitatud kuid erinevates ühikutes (m, m2, m3, tk) esitatud tööde siduskulud. Mõõtühik (unit of measurement) - mõõdetavat või hinnatavat numbrilist suurust kirjeldav ühik (m, m2, m3, tk). 19. Mis on töökirje, kuidas seda koostatakse ja kus seda kasutatakse
(tunnus) Kulurühm Selgitused Pearühm Pearühmi on maksimaalselt 10 (koodiga 0 kuni 9) ja iga X pearühm võib sisaldada kuni kümmet põhirühma. Põhirühm Iga põhirühm võib sisaldada kuni kümmet kulurühma (koodiga XX X0 kuni X9), milles X on pearühma tunnus. Kulurühm Kulurühmad on koodiga XX0 kuni XX9, milles XX on kõrgemate XXX tasandite (pea- ja põhirühma) tunnused. Tabel 4.3. Kulude liigitamise põhimõtted Ehituskulude liigitamisel pearühmadeks, on nende hulgas kolm sellist rühma, mis ehituslikus tähenduses ei ole tarindid. Tegemist on ehituskorralduslikult oluliste kulurühmadega: tellija kulud (kulupositsioon 0),
annaabi.ee 
