D 115 10 - 6 L2 u1 1,2 0,63 10 -6 x 21 = = = 0,00657 m = 6,6 mm D 115 10 -6 L2 u 2 1,3 2 0,63 10 -6 x 22 = = = 0,0142 m = 14,2 mm D 115 10 -6 3) Viime läbi mõõtmised vastavalt punktis 2 toodud arvutustele. a) D1 = 0,135 mm = 135*10-6 m L1 = 0,5m L2 = 1,0m x11 = 2,25 mm x12 = 4 mm x21 = 4 mm x22 = 8 mm b) D2 = 0,23mm = 230*10-6m L1 = 1,0m L2 = 1,3m x11 = 2,5 mm x12 = 4,75 mm x21 = 3,25 mm x22 = 6,25 mm c) D3 = 0,115 mm = 115*10-6m L1 = 0,6m L2 = 1,2m x11 = 3,5 mm x12 = 6,5 mm x21 = 6 mm x22 = 12,25 mm Koondtabel: Pilu laius (mm) D1 = 0,135 D2 = 0,23 D3 = 0,115
tatsioonidef hulga P (1, 2, . . . , n) permutatsiooni 1 2 . . . i . . . n . Kui 26 n¨uu ¨d moodustame summa, kasutades hulga P (1, 2, . . . , n) k~oiki permutat- sioone, siis saamegi valemi (3.1). Leiame valemi (3.1) abil esimest, teist ja kolmandat j¨arku determinantide arvutamise valemid. Saame X = (x11 ) = |X| = x11 , x11 x12 X= = |X| = (-1)I(1,2) x11 x22 + (-1)I(2,1) x12 x21 = x21 x22 = (-1)0 x11 x22 + (-1)1 x12 x21 = x11 x22 - x12 x21 . Seega |X| = x11 x22 - x12 x21 . L~opuks analoogiliselt maatriksi x11 x12 x13 X = x21 x22 x23 x31 x32 x33 korral saame |X| = x11 x22 x33 + x12 x23 x31 + x13 x21 x32 -
. . , n) permutatsiooni α1 α2 . . . αi . . . αn . Kui 26 n¨uu ¨d moodustame summa, kasutades hulga P (1, 2, . . . , n) k˜oiki permutat- sioone, siis saamegi valemi (3.1). Leiame valemi (3.1) abil esimest, teist ja kolmandat j¨arku determinantide arvutamise valemid. Saame X = (x11 ) =⇒ |X| = x11 , x11 x12 X= =⇒ |X| = (−1)I(1,2) x11 x22 + (−1)I(2,1) x12 x21 = x21 x22 = (−1)0 x11 x22 + (−1)1 x12 x21 = x11 x22 − x12 x21 . Seega |X| = x11 x22 − x12 x21 . L˜opuks analoogiliselt maatriksi x11 x12 x13 X = x21 x22 x23 x31 x32 x33 korral saame
Göteborgis, alustas 1949. aastal täiesti uue toote arendamist. Tulemus mis sai tehase järgi nimeks Be-Bo oli esimene Rootsi mootorsaag. 1950ndatel aastatel sai Be-Bo juhtivaks mootorsaagide kaubamärgiks Rootsis ning aitas suuresti kaasa Skandinaavia metsanduse mehhaniseerimisele.1954. aastal tutvustas tehas Be-Bo järglast, mille nimeks sai Partner C6. Nimi jäi püsima ning edaspidi kutsuti kõiki uusi mudeleid Partneriks. Partner C6-le järgnes Partner R11 ja X21 6 rahvusvaheline edu ning varsti pärast seda sai ka ettevõte uueks nimeks AB Partner.1960ndatel aastatel sai pidevalt tõusva ekspordihulgaga Partnerist juhtiv mootorsaagide tootja Põhja-Euroopas. Ettevõte laiendas oma tooteseeriat kardimootoritega ning bensiinimootoriga lõikemasinatega, mis oli täielikult tehase poolt arendatud leiutis. Kokkuvõte 7 8
Mitmene lineaarne regressioonmudel Maatrikskuju Valimi maht n, parameetrite arv k. Iga objekti y väärtus leitakse eraldi yi b1 b2 x2i b3 x3i ... bk xki ui (i 1,..., n ) y1 b1 b2 x21 b3 x31 ... bk xk 1 u1 · Parameetrite arv on k y2 b1 b2 x22 b3 x32 ... bk xk 2 u2 · Seletavate tunnuste ehk regressorite arv on k-1: Tunnuse X2 väärtused: x21, x22,...x2n ..
Göteborgis, alustas 1949. aastal täiesti uue toote arendamist. Tulemus mis sai tehase järgi nimeks Be-Bo oli esimene Rootsi mootorsaag. 1950ndatel aastatel sai Be-Bo juhtivaks mootorsaagide kaubamärgiks Rootsis ning aitas suuresti kaasa Skandinaavia metsanduse mehhaniseerimisele. 1954. aastal tutvustas tehas Be-Bo järglast, mille nimeks sai Partner C6. Nimi jäi püsima ning edaspidi kutsuti kõiki uusi mudeleid Partneriks. Partner C6-le järgnes Partner R11 ja X21 rahvusvaheline edu ning varsti pärast seda sai ka ettevõte uueks nimeks AB Partner. 1960ndatel aastatel sai pidevalt tõusva ekspordihulgaga Partnerist juhtiv mootorsaagide tootja Põhja-Euroopas. Ettevõte laiendas oma tooteseeriat kardimootoritega ning bensiinimootoriga lõikemasinatega, mis oli täielikult tehase poolt arendatud leiutis. Hiliste 60ndate ja varaste 70ndate innovatiivsetel Partneri mudelitel olid mitmed
= ¿ ) x 4 v ( ´x 3 ´x 4 ¿( ´x 4 ´x 3 x 4 ) = x3 x4 ´x 3 ´x 4 ´x 4 v x3 ¿ x3 x4 ´x 3 ´x 4 ´x 4 ´x 3 ´x 4 x 3 = v ¿ )( = v v Leida ja esitada punktis 3 saadud MDNK jaoks tema tuletis muutuja x3 järgi. δ f ( x 1 x 2 x3 x 4 ) = f ( x1 x2 0 x4) f ( x1 x21 x4 ) = δ x3 ( ´x 1 x 4 v x 1 ´x 4 ¿ ⨁ ´x 1 x 4 v x 4 v x 1 ´x 4 = ´ ´ = ( ´x 1 x 4 v x 1 ´x 4 ) x´ 1 x 4 v x 4 v x 1 ´x 4 v ( ´x 1 x 4 v x 1 ´x 4 ¿ ´x1 x 4 v x 4 v x 1 ´x 4 = ´ x 1´´x 4 ) ´x 1 x 4 ´
vähendada tulemuse viga. Kuna valemid on selgitusest asjalikumad, siis toon ära ka tõestuse. Olgu tehtud n mõõtmist ja saadud tulemused x1 , x2 , . . . , xn . Kõigi mõõtmiste suhteline viga olgu p. Absoluutsed vead on siis px1 , px2 . . . , pxn . Mõõdetud tulemuste aritmeetiline keskmine on x¯ = x/n, mille vea leian valemi (11) järgi. 1 1 ∆x¯ = (px1 )2 + (px2 )2 + . . . + (pxn )2 = p x21 + x22 + . . . + x2n n n Kuna kõik katses mõõdetud tulemused on ligikaudu võrdsed aritmeetilise keskmisega, siis asen- dan üksikud tulemused x1 , x2 , . . . , xn aritmeetilise keskmisega x¯. 1 1 √ 2 p¯ x ∆x¯ = p x21 + x22 + . . . + x2n = p n¯
sõltumata x1- st f3 x1 kordus 0011 f 3 = x1 x1 1 Y f4 x1 keeld 0100 f 4 = x1 gx2 f5 x2 kordus 0101 f 5 = x2 x21 Y Väljundis on f 6 = x1 + x2 x1M Y 2 Mitte x2 1 ainult siis f 6 = x1 gx2 + f6 samaväärsus e. 0110 kui sisendite välistav VÕI
f3 x1 kordus 0011 f 3 x1 x1 1 Y f4 x1 keeld 0100 f 4 x1 gx2 f5 x2 kordus 0101 f 5 x2 x21 Y x1 f 6 x1 x2 M2 Y x2 f6 Mitte samaväärsus e. välistav
. . , Xn-r lineaarne kombinatsioon: XHÜ = C1 X1 + . . . + Cn.-r Xn-r . MÄRKUS. Lihtsaimaks fundamentaalsüsteemiks on nn NORMAALNE LAHENDITE FUNDAMENTAALSÜSTEEM. Selle moodustavad võrrandi AX=0 lahendivektorid, mille viimased n-r koordinaati omandavad ükshaaval väärtusi 1 ja ülejäänutele omistatakse väärtused 0: X1 = ( x11, x12, . . . , x1r , 1, 0, . . . , 0 ), X2 = ( x21, x22, . . . , x2 r , 0, 1,. . . , 0 ), ............................. Xn-r = ( xn-r 1, xn-r 2, . . . , xn-r r , 0, 0, . . . , 1). 17 MITTEHOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE
Bilansimudelid ehk majandusliku tasakaalumudelid koostatakse majandussüsteemidele, mis on samaaegselt nii tootjad, kui ka tarbijad. Majandusmudeli koostamiseks on vajalik järgmine info: Tootjad Tarbijad Lõpptoodang Kogutoodang T1 T2 Tn T1 x11 x12 . x1n y1 x1 T2 y2 x2 Tn yn xn x21 x22 . x2n ... ... . ... xn1 xn2 . xnn Lisatud väärtus z1 z2 zn y = z i k Kogu toodang x1 x2 xn x = x i k Bilansi read näitavad, kuidas tarbitakse erinevate tootjate toodangut, veerud aga näitavad, kuidas erinevates harudes toodetakse.
. . , Xn-r lineaarne kombinatsioon: XHÜ = C1 X1 + . . . + Cn.-r Xn-r . MÄRKUS. Lihtsaimaks fundamentaalsüsteemiks on nn NORMAALNE LAHENDITE FUNDAMENTAALSÜSTEEM. Selle moodustavad võrrandi AX=0 lahendivektorid, mille viimased n-r koordinaati omandavad ükshaaval väärtusi 1 ja ülejäänutele omistatakse väärtused 0: X1 = ( x11, x12, . . . , x1r , 1, 0, . . . , 0 ), X2 = ( x21, x22, . . . , x2 r , 0, 1,. . . , 0 ), ............................. Xn-r = ( xn-r 1, xn-r 2, . . . , xn-r r , 0, 0, . . . , 1). 17 MITTEHOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE
3 x1 + 3 x 2 - x3 2 2 x1 - 2 x 2 + 2 x3 3 x k 0. Bilansimudelid. Bilansimudelid ehk majandusliku tasakaalumudelid koostatakse majandussüsteemidele, mis on samaaegselt nii tootjad, kui ka tarbijad. Majandusmudeli koostamiseks on vajalik järgmine info: Tootjad Tarbijad Lõpptoodang Kogutoodang T1 T2 Tn T1 x11 x12 . x1n y1 x1 T2 x21 x22 . x2n y2 x2 ... ... . ... yn Tn xn1 xn2 . xnn xn Lisatud väärtus z1 z2 zn y i = z k Kogu toodang x1 x2 xn x i = x k Bilansi read näitavad, kuidas tarbitakse erinevate tootjate toodangut, veerud aga näitavad, kuidas erinevates harudes toodetakse. Tabelis kirjeldatut on võimalik esitada maatrikskujul:
4.2 ¨ Ulesanne Arvuta determinant omaduste (vt teoreem 2) abil. 3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 6 12 13 9 7 = · · · = 5 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3 4.3 Vandermonde'i determinant Arvuta n-j¨arku Vandermonde'i determinant 1 1 ... 1 x1 x2 ... xn Vn (x1 , . . . , xn ) := x21 x22 ... x2n = ··· = (xk - xi ) .. .. .. .. . . . . k>i xn-1 1 xn-1 2 ... xn-1 n II. Maatriksarvutus 1 Maatriksi m~ oiste ja elementaartehted 1.1 Maatriksi m~
vt. joonis 5.1). y ✻ ∠COP = t ✬✩ rBrP ∠COA = t − rA r r ✲ x ∠COB = t + O C ✫✪ Joonis 5.1: Sf¨a¨ar S1 N¨ aide 5.6 Vaatleme kahem˜o˜otmelist sf¨a¨ari S2 = { (x1 ; x2 ; x3 ) | x21 + x22 + x23 = 1 } alamruumina ruumis R3 . T¨ahistame p = (0; 0; 1) ∈ S2 . Ka X = S2 {p} on alamruum ruumis R3 . Ruumi X punkti x ¨mbruste baasi moodustavad lahtiste kerade B(x; r) = { y ∈ u R3 | d(y, x) < r } u ¨hisosad hulgaga X. Pannes ruumi X punk- tile x = (x1 ; x2 ; x3 ) vastavusse ruumis R3 punkte p ja x l¨abiva sirge ja x1 x2 -tasandi l˜oikepunkti g(x), mida vaatleme punk- tina ruumist R2 , saame hom¨oomorfismi g : S2 {p} −→ R2 .
Definitsioon 13.25 Kordajaid x1 , . . . , xn avaldises x = (x1 , . . . , xn ) nimetatakse vektori x Rn koordinaatideks baasil {e1 , . . . , en }. Omadus 13.4 Igat vektorit x = (x1 , . . . , xn ) Rn saab üheselt avaldada loomuliku baasi {e1 , . . . , en } kaudu, x = x1 e1 + · · · + xn en , x Rn . (13.6) Definitsioon 13.26 Vektori x Rn pikkus |x| leitakse valemiga |x| = x21 + · · · + x2n . (13.7) Märkus 13.11 Ei ole raske näha, et igale ruumi punkti X E3 kohavektorile OX E3 saab leida üheselt koordinaatidega vektori x R3 ja vastupidi: igale elemendile x R3 saab üheselt leida punkti X E3 ja selle kohavektori OX E3 . Samasugune arutelu kehtib sirge ja tasandi korral. Kui n > 3, siis on ruumi Rn vektoreid visuaalselt (geomeetriliselt) väga raske ette kujutada, kuid matemaatiliselt saab lihtsasti kogu teooriat ikkagi ära kasutada.
81-Muu 83- tasustat Tasustat ud ud alaline ajutine tööjõud - tööjõud - 60-Alltöövõtt 61-Masinate t_tootun t_tootun 59-Palk ja 59-Palk ja ja masinate ja -seadmete nid_aast nid_aast TunnidK sotsiaalmaks sotsiaalmaks rent - korrashoid - as as okku - v_naitaja - v_naitaja Tunnipalk v_naitaja v_naitaja X19 X20 X21 X22 X23 X24 X25 X26 263 207 0 264 804 6 331 760 404 673 1,53 0 42 146 38 961 0 40 851 718 062 45 893 1,12 0 2 436 1 000 0 2 400 10 000 639 0,27 0 1 266 266 883 0 268 728 7 992 674 510 825 1,90 0 121 727
annaabi.ee 
