· trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine; · taandamisvalemite kasutamine; · trigonomeetriliste funktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendite leidmine etteantud piirkonnas; · trigonomeetria valemite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel. Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand
· trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine; · taandamisvalemite kasutamine; · trigonomeetriliste funktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendite leidmine etteantud piirkonnas; · trigonomeetria valemite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel. Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand
Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand y = sin + + y = cos + + y = tan + + y = cot + + · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi
Trigonomeetriliste avaldiste teisendamine Trigonomeetria põhivalemid sin 2 + cos 2 = 1 sin tan = cos 1 1 + tan = 2 cos 2 cos cot = sin Taandamisvalemid Taandamisvalemite rakendamiseks piisab järgmise reegli teadmisest: nurkade - , + ja 2 - korral teiseneb nende siinus avaldiseks sin , koosinus avaldiseks cos ja tangens avaldiseks tan , mille ees olev märk ("+" või "-") sõltub sellest, milline on vastavalt siinuse, koosinuse või tangensi märk veerandis, kuhu kuulub esialgne nurk - , + ja 2 - Märgi määramisel loetakse nurk teravnurgaks. Kui nurk on kirjutatud kujul / 2 ± või 3 / 2 ± , siis muutub, sin cos tan cot cos sin cot tan. märgi määramise reegel jääb endiseks. Trigonomeetriliste funktsioonide märgid + + _ + _ _
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Nurga veerand võetakse lõpphaara asukoha järgi ning on vastupäeva positiivne, päripäeva negatiivne. Taandamisvalemid võimaldavad taandada mistahes nurga radiaanideks. ja on teineteise täiendusnurgad 90°-ni, kui + = 90°. Siinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=sinx. Tegu on paarisfunktsiooniga, periood on 2
Trigonomeetria põhiseosed Lihtsustamiseks kasutatakse 1. Trigonomeetria põhiseoseid: sin 2 + cos 2 = 1 1 - cos 2 = sin 2 sin 1 - sin 2 = cos 2 = tan cos cos tan = sin 1 1 + tan 2 = tan cot = 1 cos 2 1 cos tan = = cot cot sin 2. Ühise teguri sulgude ette toomist 3. Ühise nimetaja leidmist 4. Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Näited: 1. (1 - sin )(1 + tan ) - cos = cos
Täiendusnurga valemid. sin (90 - ) =cos cos (90 - ) = sin tan (90 - ) = 1/tan = cot cot (90 - ) = 1/cot = tan Negatiivse nurga siinus, koosinus, tangens ja kootangens. sin (- ) = -sin cos (- ) = cos tan (- ) = -tan cot (- ) = -cot Trigonomeetria põhivalemid ja nende järeldused. sin 2 + cos2 = 1 tan =sin /cos cot =cos /sin tan cot =1 1+ tan 2 = 1/cos2 1 + cot2 = 1/sin2 sin 4 + cos4 = 1 - 2 sin2 cos2 sin 6 +cos6 = 1 - 3sin 2 cos2 Kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens ja kootangens. sin ( + ) =sin cos + cos sin tan ( + ) = tan + tan / (1 - tan tan ) sin ( - ) = sin cos - cos sin tan ( - ) = tan - tan / (1 + tan tan ) cos ( + ) = cos cos - sin sin cot ( + ) = cot cot -1/ (cot + cot ) cos ( - ) = cos cos + sin sin cot ( - ) = cot cot + 1 /( cot - cot ) Kahekordse nurga siinus, koosinus, tangens ja kootangens. sin 2 =2sin cos cos 2 =cos2 - sin 2
cos = ±1 - sin2 cot 2 = sin2 sin = ±1 - cos2 1 6) 1 + cot 2 = sin2 sin 2) tan = cos 2 sin2 tan = cos2 1 3) 1 + tan2 = cos2 Nurga trigonomeetriliste 2 tan tan2 = funktsioonide märgid veerandites 1 - tan2 Korrutiseks teisendamise valemid + - sin + sin = 2 sin cos 2 2
Trigonomeetrilised põhiseosed sin( + ) = sin cos + cos sin sin 2 = sin( + ) = sin cos + cos sin sin 2 + cos 2 = 1 sin 2 = 2 sin cos sin tan = cos( + ) = cos cos - sin sin cos cos cos 2 = cos( + ) = cos cos - sin sin cot = sin cos 2 = cos 2 - sin 2 1 tan + tan 1 + tan 2 = tan( + ) = cos 2 1 - tan tan 1 tan + tan 1 + cot 2 =
TRIGONOMEETRILISTE AVALDISTE LIHTSUSTAMINE. TÕESTA SAMASUSED. 2 cos 2 a 1 1 cos 2a 1 tan a 1. 2 tan a sin 2 a 2. 0 1 sin 2a 1 tan a 4 4 1 sin a cos a 4 4 2 1 sin a 1 sin a 3.. 4. 2 tan a cos a4 2 cos a 1 sin a 1 sin a sin a cos a 1 cos a cos 2a cos 3a 5. a =1 6. 2 cos a sin a cos a tan 2 cos 2 a cos a 1
Matemaatika 11. klassi valemid Astendamise abivalemid am n a an a a =a m n m +n (a m ) n = a mn ( ab) n = a n b n n = a m -n = n a b b n p Liitprotsendiline kasvamine (kahanemine): L = A 1 + , kus L on 100 lõppväärtus, A - algväärtus, p - kasvamise protsent, n - kasvutsüklite arv. Logaritmide omadused: log a c = b a b = c a loga c = x lo
PÕHISEOSED tan cot = 1 sin 2 + cos 2 = 1 + y + - y + - y + sin 1 tan = 1 + tan 2 = cos cos 2 x x x cot = cos 1 + cot 2 = 1 - - - + + - sin sin 2 +sin +cos
Põhiseosed : Funktsioonid: sin + cos = 1 2 2 sin sin(180° - )=sin tan = cos(180° - )=-cos cos tan · cot = 1 tan(180° - )=-tan cot(180° - )=-cot 1 1 + tan 2 = cos 2 sin(180° + )=-sin Liitmisvalemid : cos(180° + )=-cos sin( ± ) = sin cos ± cos sin tan(180° + )=tan cos( ± ) = cos cos sin sin cot(180° + )=cot tan ± tan sin( ± ) tan( ± ) = = 1 tan · tan cos( ± ) sin(360° - )=-sin Kahekordse _ nurga _ ja _ poo ln urga _ valemid : cos(360° - )=cos
Trigonomeetrilised võrrandid © T. Lepikult, 2010 Trigonomeetriline võrrand Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb vaid trigonomeetriliste funktsioonide argumentides Näiteks võrrand 2 sin 2 x + cos x - 1 = 0 on trigonomeetriline võrrand, võrrand x sin 1 + x 2 cos = 0 aga ei ole trigonomeetriline võrrand. Võrrandeid sin x = a, | a | 1, tan x = a, cos x = a, | a | 1, cot x = a, nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks. Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine sin x = a, | a | 1 x = (-1) n arcsin a + n , n Z ;
TRIGONOMEETRIA sin 1 32. Põhiseosed sin 2 + cos 2 = 1 , = tan , 1 + tan 2 = , cos cos 2 1 tan cot = 1 , 1 + cot = 2 sin 2 33. Mõningate nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused Mõnin 0° 30° 45° 60° 90° gate sin 0 1 1 2 3 2 2 2 cos 1 3 2 1 0
TRIGONOMEETRIA sin 1 32. Põhiseosed sin 2 + cos 2 = 1 , = tan , 1 + tan 2 = , cos cos 2 1 tan cot = 1 , 1 + cot = 2 sin 2 33. Mõningate nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused Mõnin 0° 30° 45° 60° 90° gate sin 0 1 1 2 3 2 2 2 cos 1 3 2 1 0
Arvväärtused: a) 30° 45° 60° b) 0°,360°/90°/180°/270° sin 1/2 ,2/2, 3/2 0/1/0/1 cos 3/2, 2/2, 1/2 1/0/1/0 tan 3/3, 1, 3 0//0/ cot 3, 1, 3/3 /0//0 Põhivalemid: Täisnurkadevalemid: sin²+cos²=1 sin=cos(90°) tan=sin/cos cos=sin(90°) 1+tan²=1/cos² tan=cot(90°) 1+cot²=1/sin² cot=tan(90°) cot=cos/sin tan*cot=1 Taandamisvalmeid: a) sin(n*360°+)=sin b) IIv sin(180°)=sin cos(n*360°+)=cos =cos tan(n*360°+)=tan =tan cot(n*360°+)=cot =cot c)III veerand d)IV veerand e)nega nurk sin(180°+)=sin sin(360°)=sin sin()=sin =cos =cos cos()=cos =tan =tan an()=tan =cot =cot cot()=cot + + + + sin cos + tan/cot + sin=a/c Täisnurkse ga teravnurga siinus on vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe. cos=b/c ..koosinus on lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. tan=a/b
Matemaatika Trigonomeetria taandamisvalemid TAANDAMISVALEMID sin = sin(180 - ) = sin cos = cos(180 - ) = - cos tan = tan(180 - ) = - tan sin = sin(180 + ) = - sin cos = cos(180 + ) = - cos tan = tan(180 + ) = tan sin = sin(360 - ) = - sin cos = cos(360 - ) = cos tan = tan(360 - ) = - tan sin(-) = - sin cos(-) = cos tan(-) = - tan VERTIKAALTELJE JUURES TAANDAMINE sin(90 - ) = cos cos(90 - ) = sin tan(90 - ) = cot sin(90 + ) = cos cos(90 + ) = - sin tan(90 + ) = - cot sin(270 - ) = - cos cos(270 - ) = - sin tan(270 - ) = cot sin(270 + ) = - cos cos(270 + ) = sin tan(270 + ) = - cot VALEMID sin2 + cos2 = 1 tan*cot = 1 sin( + )=sin*cos + cos*sin sin( - )=sin*cos - cos*sin cos( + )=cos*cos - sin*sin cos( - )=cos*cos + sin*sin < a2 = b2 + c2 2bc cos ++-+-+ ---++- sin cos tan
2 2) 0,16; 4) ; 6) -0,75. 5 4. Kirjuta iga nurk kujul x = + 360ok, kus 0o 360o ja k Z. 1) 1510o; 3) 2222o; 5) -1182o; o o 2) 760 ; 4) -873 ; 6) -3173o. 5. Arvuta nurga ülejäänud trigonomeetriliste funktsioonide väärtused. 5 1) sin = - ja 180o < < 270o; 3) tan = -2 ja 90o < < 180o; 13 45 2) cos = - ja 90o < < 180o; 4) cot = -3 ja 270o < < 360o. 53 6. Arvuta. sin(-150 0 ) 1) 0 - tan 240 0 sin 315 0 ; cos(-300 ) 2) tan 135o sin 270o + sin 810o + cos1350o;
1+ tan2 a = TÄIENDUSNURGA VALEMID sin (90 - a) =cos a cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = 1/tan a = cot a cot (90 - a) = 1/cot a = tan a NEGATIIVSE NURGA SIINUS,KOOSINUS,TANGENS JA KOOTANGENS. sin (- a) = -sin a cos (- a) = cos a tan (- a) = -tan a cot (- a) = -cot a KAHEKORDSE NURGA SIINUS, KOOSINUS, TANGENS JA KOOTANGENS. sin 2a =2sin a cos a cos 2a =cos2 a - sin2 a cos 2a = 2 cos2 a -1 cos 2a = 1- 2 sin2 a tan 2a = 2 tan a/ (1 - tan2 a) cot 2a = cot2 a - 1/ (2cot a) NURKADE TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE VÄÄRTUSED. 0 30 45 60 90 sin 0 0.5 1 cos 1 0,5 0 tan 0 1 puudub cot puudub 1 0 POOLNURGA TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID cos2 (a/2) + sin2 (a/2) = 1 cos2(a/2) - sin2(a/2) = cos a Liites võrduste mõlemad pooled: 2cos2(a/2) = 1 + cos a Lahutades:
Püstprisma sin 0 1 2 3 1 2 tan tan 2 = Ruumala: V = S p h 2 2 1 - tan 2 2 Külgpindala: S k = PH sin cos 1 3 2 1 0 tan = Täispindala: S t = S k + 2 S p 2 1 + cos 2 2 2 1 - cos Korrapärane püramiid sin = ± 1 t
Trigonomeetria põhivalemid ja nende järeldused: sin 2 + cos 2 = 1 2 2 2 sin = 1 - cos sin = 1 - cos 2 2 2 cos = 1 - sin cos = 1 - sin sin = cos( 90° - ) ; cos = sin ( 90° - ) sin sin tan = sin = cos tan cos = cos tan 1 1 tan = ; cot = cot tan 1 1 + tan 2 = cos 2 Kahekordse nurga valemid: sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 - sin 2 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Liitmisvalemid: sin ( + ) = sin cos +cos sin cos( + ) = cos cos +sin sin tan + tan tan (+ ) = 1 +tan tan Summa teisendamine korrutiseks:
Trigonomeetria põhivalemid ja nende järeldused: sin 2 + cos 2 = 1 2 2 2 sin = 1 - cos sin = 1 - cos 2 2 2 cos = 1 - sin cos = 1 - sin sin = cos( 90° - ) ; cos = sin ( 90° - ) sin sin tan = sin = cos tan cos = cos tan 1 1 tan = ; cot = cot tan 1 1 + tan 2 = cos 2 Kahekordse nurga valemid: sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 - sin 2 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Liitmisvalemid: cos( ) = cos cos sin sin + tan tan tan ( ) = 1 tan tan + + + + sin ( ) = sin cos cos sin
Sin2 + cos2 = 1 tan = cot = 1 + tan2 = 1 + cot2 = tan * cot =1 2 Cos = sin( 90- ) cot = 1+ cot = sin2 = 1- cos2 2 2 Cot = tan(90- ) tan = 1+ tan = cos = 1- sin2 2 Tan = cot(90- ) cot = sin(180- ) = sin tan (180 ) = - tan sin(180+ ) = - sin tan (180 + ) = tan sin(360- ) = - sin tan (360 ) = - tan sin( - ) = - sin tan ( ) = - tan cos (180- )= - cos cot (180 ) = - cot cos (180+ )= - cos cot (180 + ) = cot cos (360 ) = cos cot (360 ) = - cot cos( -) = cos cot ( ) = - cot cos = sin (90 -
Nurkade summa ja vahe trigonomeetrilised Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid funktsioonid ülinurgad x 00 300 450 600 900 Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine sin x = m Üldlahend on kujul sin x 0 0,5 2 3 1 n x = (− 1) arcsin m + nπ = II veerandi nugad 2 2 n
+ + - - Sin = Cos = - + - + Tan = - + + - Cot = - + + - 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Sin 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Tan 0 1 3 - 0 - 0 Cot - 3 1 0 - 0 - 1. Täispöörete eraldamine Sin(+n360°) = sin Cos(+n360°) = cos tan(+n360°) = tan cot(+n360°) = cot 2. Taandamisvalemid II veerandi nurgale Sin(180°-) = sin cos(180°-) = -cos tan(180°-) = -tan 3. Taandamisvalemid III veerandi nurgale Sin(180°+) = -sin cos(180°+) = -cos tan(180°+) = tan 4. Taandamisvalemid IV veerandi nurgale Sin(360°-) = -sin cos(360°-) = cos tan(360°-) = -tan 5. Negatiivse nurga taandamine Sin(-) = -sin Cos(-) = cos Tan(-) = -tan
Põhivalemid sin cos tan = cot = sin + cos = 1 2 2 cos sin 1 1 1 1 sec = cos ec = 1 + tan 2 = 1 + cot 2 = cos sin cos 2 sin 2 Kahekordse ja poolnurga valemid 2 tan tan 2 = sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 sin 2 1 - tan 2 1 - cos = 2 sin 2 1 + cos = 2 cos 2 2 2 ta
http://www.abiks.pri.ee TAANDAMISVALEMID VALEMID sin = sin(180 - ) = sin sin2 + cos2 = 1 cos = cos(180 - ) = - cos tan = tan(180 - ) = - tan sin = sin(180 + ) = - sin tan*cot = 1 cos = cos(180 + ) = - cos sin( + )=sin*cos + cos*sin tan = tan(180 + ) = tan sin( - )=sin*cos - cos*sin sin = sin(360 - ) = - sin cos( + )=cos*cos - sin*sin cos = cos(360 - ) = cos cos( - )=cos*cos + sin*sin tan = tan(360 - ) = - tan sin(-) = - sin < cos(-) = cos tan(-) = - tan a2 = b2 + c2 2bc cos VERTIKAALTELJE JUURES TAANDAMINE + + - + - + sin(90 - ) = cos - - - + + - cos(90 - ) = sin sin cos tan tan(90 - ) = cot sin(90 + ) = cos cos(90 + ) = - sin tan(90 + ) = - cot sin(270 - ) = - cos cos(270 - ) = - sin
Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. y sin = r x cos = r y tan = x x cot = y Taandamisvalemid: II sin ( - ) = sin cos ( - ) = -cos tan ( - ) = -tan III sin ( + ) = -sin cos ( + ) = -cos tan ( + ) = tan IV sin (2 - ) = -sin cos (2 - ) = cos tan (2 - ) = -tan - sin (-) = -sin cos (-) = cos tan (-) = -tan Täiendusnurgad: sin = cos = cos (90° - ) cos = sin (90° - ) 1 tan = cot (90° - ) = tan(90°-) Eriväärtuste tabel: 0 30 45 60 90 180 270 360° ° ° ° ° ° °
10.klass a1 b1 c1 1. Reaalarvude piirkonnad kui D = 0; D x = 0; D y = 0, siis = = a 2 b2 c 2 2. Astme mõiste üldistamine a m a n = a m +n c)pole lahendeid a1 b1 c a m : a n = a m -n , kui m > n kui D = 0; D x 0; D y 0, siis = 1 a 2 b2 c 2 ( a b) n = a n b n n 12. Ruutvõrrandi süsteemid a an 13. Kolmerealine determinant = n , kui b 0 b b 14. Kolme tundmatug
Sin2+cos2=1 tan=sin/cos 1+tan2=1/cos2 1+cot2=1/sin2 cot=cos/sin Tan*cot=1 sin=cos(90°-) tan=1/tan(90°-)=cot(90°-) cos=sin(90°-) cot=1/cot(90°-)=tan(90°-) 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° sin 0 ½ 2/2 3/2 1 0 -1 0 cos 1 3/2 2/2 ½ 0 -1 0 1 tan 0 3/3 1 3 p. 0 p. 0 cot p. 3 1 3/3 0 p. 0 p. sin(180°-)=sin sin(180°-)=-sin cos(180°-)=-cos cos(180°-)=-cos tan(180°-)=-tan tan(180°-)=tan cot(180°-)=-cot cot(180°-)=cot sin(360°-)=-sin sin(-)=-sin cos(360°-)=cos cos(-)=cos tan(360°-)=-tan tan(-)=-tan cot(360°-)=-cot cot(-)=-cot
TAANDAMISVALEMID X-TELJEST I veerand II veerandist I veerandisse Sin(90®-α)=cosα Sin(180®-α)=sin α Cos(90®-α)=sinα Cos(180®- α)= -cosα Tan(90®-α)=cotα Tan(180®-α)= -tanα Sin(π/2-α)=cosα Cot(180®-α)= - cotα Cos(π/2-α)=sinα Sin(π- α)=sin α Tan(π/2-α)=cotα Cos(π- α)= - cos α Tan(π- α)= -tan α II veerandist I veerandisse Cot(π- α)= -cot α Sin(90®+α)=cosα Cos(90®+α)= -sinα III veerandist I veerandisse Tan(90®+α)= -cotα Sin(180®+ α)= -sin α Sin(π/2+α)=cosα Cos(180®+α)= -cosα Cos(π/2+α)= -sinα Tan(180®+α)= tanα Tan(π/2+α)= -cotα Cot(180®+α)=cotα Sin(π+α)= -sinα III veerandist I veerandisse Cos(π+α)= - cosα Sin(270®-α)= -cosα Tan(π+α)=tanα Cos(270®-α)= -sinα Cot(π+α)=cotα Tan(270®-�
90 0 ± 180 0 ± 270 0 ± 360 0 ± sin cos sin cos ± sin cos sin cos ± sin cos tan cot ± tan cot ± tan cot tan ± cot tan ± cot 0o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 270 o 1 sin 2 3 0 1 0 1 2 2 2 1 cos 3 2 1 0 1 0 2 2 2 tan 3 0 3 1 3 0 cot
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
