Töö teoreetilised alused (0)

Töö teoreetilised alused
Lihtsamaiks võnkumise liigiks on harmooniline võnkumine . Antud töös on selliseks võnkumiseks õjus. Vedru otsa riputatud koormis on tasakaaluasendis siis, kui temale mõjuv raskusjõud mg on suuruselt võrdne vedru elastsuskõuga kl :
mg=kl
kus k on vedru jäikus, l=l-l0 – vedru pikenemine koormise mg mõjul.
Kui viia koormis tasakaaluasendist välja, siis tekib jõud, mis püüaab teda tuua tagasi tasakaaluasendisse. Selleks jõuks on vedru elastsusjõud F1 , mille suurus kasvab võrdeliselt koormise kaugusega tasakaaluasendist (hälbega x) ja suund on vastupidine hälbele ( Hooke ’i seadus):
F1=-kx
Jõu F1 mõjul hakkab koormis võnkuma. Energiakaudude puudumisel kestab võnkumine lõpmata kaua ja on harmooniline. Reaalses süsteemis pole mehaaniline energia aga jääv, seetõttu võnkumine sumbub, s.t. ta amplituud väheneb ajas.
Sumbumist põhjustab hõõrdejõud on lihtsamal juhul võrdeline kiirusega v:
F2=-rv
kus r on hõõrdetegur.
Seega on sumbuval võnkumisel koormisele mõjuv jõud võrne:
F=-kx-rv
Newtoni II seduse põhjal võib kirjutada
ma=-kx-rv
või:
Tähidtades:
ja
saab võrrandit (2) kirjuatda kujul:
Selle teist järku homogeense diferentsiaalvõrrandi lahend annab ainepunkti häibe sõltuvuse ajast:
kus:
on sumbuva võnkumise sagedus, -omavõkesagedus, - sumbuvustegur , A0-võnkeamplituud ajahtekel t=0, - võnkumise faas.
Avaldis
määrab võnkeamplituudi vähenemise seaduspärast. Seega võib sumbuvat võnkusit vaadelda harmoonilise võnkumisena, mille amplittud väheneb ajas eksponentsiaalselt. Amplituudi vähenemise kiirust iseloomustab sumbuvuse logaritmiline dekrement, mida defineeritakse järgmiselt:
kus T on võnekeriood.
Valemist (7) ja (8) järgneb:
Logaritmilise dekremendi katseliseks määramiseks mõõdetakse ajavahemik t, mille jooksul võnkumine algamplituudil A0 väheneb n korda, s.o. . Valemist (9) ja (7) saadakse siis logaritmilise dekremedi arvutamiseks valem:
Kui süsteemile ei mõju hõõrdejõud (r=0), siis võrrandid (4) ja (5) omandavad kujul:
ja
mis kirjeldavad sumbumatut harmoonilist võnkumist.