Täielikud ruutvõrrandid: a) täieliku taandatud ruutvõrrandi puhul on x2 kordaja 1 Üldkuju: x2 + px + q = 0 Lahendivalem: 2 p p x=- ± -q 2 2 Lahendamine: Teisendada normaalkujule 2 x + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x = - ± - 7 = -4 ± 9 = -4 ± 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete'i teoreemiga Viete'i teoreem: x1 + x2 = -p x1 · x2 = q b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0 Lahendivalem: - b ± b 2 - 4ac x= 2a Lahendamine: Teisendada normaalkujule 3x2 8x 3 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit - 8 ± 8 2 - 4 3 ( - 3) - 8 ± 100 - 8 ± 10 x= = = 23 6 6 1 x1 = x2 = -3 3
KVANT-TELEPORTATSIOON • Teleportatsioonis osaleb 3 footonit: 2 põimitud footonit A ja B ning kolmas, mida teleportida tahame, põimimata footon C. • Footonid A ja B eraldatakse üksteisest ja footon C põimitakse footoniga A. • Kui footonid A ja C on omavahel põimitud, saadab footon A oma uue informatsiooni footonile B ning tema juurde tekib maagiliselt footon C, mis hävineb footoni juures A, kuna läheb vastuollu no-cloning teoreemiga. • Selline infoedastusviis (kuigi on veel vaidluse all) lubab infot edastada lõpmata kiirelt (kiiremini kui valguse kiirus). • Ilmselgelt tahetakse seda tehnoloogiat kunagi hakata kasutama telekommunikatsioonis, kuna ta võimaldaks muude hüvede juures luua ka ülimalt turvalise infokanali. Tänan!
aistingut saamata. 8. Selgita kulgevat liikumist. Kulgev liikumine - keha kõik punktid liiguvad ühesuguselt. Kulgev liikumine – keha kõikide punktide trajektoorid on ühesuguse kujuga. 9. Selgita pöörlevat liikumist. Pöörlev liikumine – nt palli veeremine. 10. Matkaja liikus 3 km põhja, seejärel 5 km ida suunas. Kui pika tee läbis matkaja ja milline on matkaja nihe? Lahenda graafiliselt ja algebraliselt ( Pythagorase teoreemiga). Matkaja läbis 8 km. 11. Kuidas saab kirjeldada füüsikalisi nähtusi? 1.tabeli abil 2.graafiku abil 3.sõltuvust väljendava valemi abil. Sagedamini looduses kohatavateks sõltuvusteks on a. võrdeline (graafik sirge) b. astmefunktsioon, n. ruutsõltuvus (graafik parabool) c. pöördvõrdeline (graafik hüperbool) 12. Milles seisneb mõõtemääramatus?
Sirge tasandil © T. Lepikult, 2010 Lõigu pikkus Punktide A(x1; y1) ja B(x2; y2) vaheline kaugus ehk neid ühendava lõigu pikkus d on leitav valemiga d = ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2 . y Valemit saab põhjendada B Pythagorase teoreemiga. y2 d y2 - y1 y1 A x2 - x1 0 x1 x2 x Lõigu keskpunkt Punktide A(x1; y1) ja B(x2; y2) vahelise lõigu keskpunkti C koordinaadid on leitavad valemitega 1 1 x0 = ( x2 - x1 ) , y0 = ( y2 - y1 ) . 2 2 y B y2
1*) funktsiooni väärtuse arvutamisel ei asu masina lugev-kirjutav pea lindil kunagi vasakul pool argumendi (argumentide) esimest vasakpoolset pesa, 2*) kui funktsiooni väärtus antud argumentidel pole määratud, siis masin ei peatu. Edasi uurime, kas (*)-arvutatavatest funktsioonidest operaatori abil saadud funktsioonid on ka (*)-arvutatavad. Need funktsioonid, millega me tegeleme, on kõik osaliselt rekursiivsed funktsioonid ja neil on argumenti. Seetõttu järgmise teoreemiga: Teoreem. ([1], 24) Iga osaliselt rekursiivne funktsioon on arvutatav Turingi mõttes. See, et funktsioon on arvutatav Turingi mõttes, tähendabki antud juhul, et see funktsioon on (*)-arvutatav. Tõestuse idee. See teoreem tõestatakse induktsiooniga osaliselt rekursiivse funktsiooni definitsiooni järgi, s.t. näidatakse, et 1) iga algfunktsioon on arvutatav, 2) kui defineerime skeemide abil uusi funktsioone, siis arvutatavus kandub edasi.
Et kõigil sam- mudel on valikuvõimaluste arvud üksteisest sõltumatud, siis korrutamisreegli 3 põhjal saab niisuguseid eksamikomplekte koostada 4· 74 · 72 = 1296540 tük- ki. Kui komplekt sisaldab kahest peatükist kummastki 3 teoreemi ja ülejää- nud kahest kummastki 2 teoreemi, siis nende peatükkide valikuks, millest võetakse 3 teoreemi, on 42 võimalust. Teoreemide endi valikuks on 3 vali- tava teoreemiga peatükkide puhul 73 võimalust, 2 valitava teoreemiga pea- tükkide puhul aga 72 võimalust. Siin on võimalikke eksamikomplekte seega 4 2 2 2 · 73 · 72 = 3241350. Sellega on kõik teoreemide valikuviisid ammendatud, võimalusi on kokku 1296540 + 3241350 = 4537890. Materjal õpikus. Lk 14 (kombinatsioonid). Lk 19 (korrutamis- ja liitmis- reegel). Lk 22, ülesanded 2123. Lk 21, ülesanne 15. Ülesanne 2. Teatav algoritm kulutab sisendandmete mahu n korral ülesan-
loogika baaskeel, Fregest lähtuv ja Russelli, Whiteheadi, Hilberti, Tarski, Gentzeni töödes kaasaegse kuju saanud esimest järku predikaatarvutus on täielik: iga tegelikult õige väide, mida saab predikaatarvutuses kirja panna, on predikaatarvutuse formaalsete reeglite abil tõestatav. Siinkohal toetub ``õigsuse'' mõiste Tarski, poolt rajatud teooriale semantikast ja mudelitest." Esmapilgul tundub teoreem täielikkusest olevat vastuolus järgmises lõigus vaadeldava teoreemiga formaalse aritmeetika mittetäielikkusest, kuid see vastuolu on ainult näiline: predikaatarvutuse keeles ei saa otseselt kirja panna matemaatilise induktsiooni printsiipi, mis n-ö loob ehk genereerib täisarvud koos kõigi nende omadustega. Kõike, mida üldse kirja panna saab, saab otseselt või kaudselt kirja panna predikaatarvutuse vahendite abil; täisarvude kõigi omaduste hulk ei ole aga üldse lõplikul viisil kirja pandav."' Mittetäielikkuse teoreem; http://cs.ttu
Nõgusus - nimetatakse piirkonnas X nõgusaks, kui selle piirkonna igas punktis joone puutuja paikneb allpool antud joont 17. Mis on joone käänupunkt? Kui ühel pool punkti (a, f(a)) joon on kumer ning teisel pool nõgus, siis punkti (a, f(a)) nimetatakse joone y=f(x) käänupunktiks 18. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Tuleb leida funktsiooni teise tuletise nullkohad ja võrrelda teoreemiga, kus f''(x)>0 siis on nõgusus piirkond ja f''(x)<0, siis kumerus piirkond. Ühe vahetumine teisega on funktsiooni käänupunkt (teise tuletis nullkoht asendada esialgsesse funktsiooni) 19. Selgitada, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümtoot ja kaldasümptoot? Asümptoot on sirge, millele funktsiooni graafik lõpmatult läheneb, kuid ei lõiku. Püstasümptoot x=a ehk vertikaalasümptoot, on risti x-teljega
silindriline kruvijoon? Kruvijoone raadius- oma asendis lõikab kahte antud juhtjoont ja r, keeru otspunktide vahe (samm)- h. jääb paralleelseks antud juhtpinnaga) 46. Kuidas avaldub silindrilise kruvijoone ühe silindroidi, mille üks juhtjoon on sirge keeru pikkus sammu ja diameetri kaudu? nimetatakse konoidiks, hüperboolne l=h²+(d/4) ² .(phytagorose teoreemiga). paraboloid- joonpind, mis tekib kahte 47. Mis on pöördpinna meridiaan (paralleel)? kiivsirget lõikava sirgjoone liikumisel, kui Meridiaan- pöördpinna moodustaja, mis liikuv sirge jääb paralleelseks juhtpinnaga; saadakse kui pöördpinda lõigata telge kolme juhtjoonega joonpind tekib sirge läbivate tasapindadega. Paralleel- liikumisel, kui ta lõikab kolme antud
Üldkuju: x px q 0 2 Lahendivalem: 2 p p x q 2 2 Näide 11 x2 + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x 7 4 9 4 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete’i teoreemiga Viete`i teoreem: Võrrandi x px q 0 korral x1 x 2 p ja x1 x 2 q . 2 b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0 Lahendivalem: b b 2 4ac x 2a Avaldist D b 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. 2 Kui D 0, siis võrrandil on kaks erinevat lahendit. Kui D 0, siis võrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad.
E suund = positiivse poovilaengu summaga Elektrivälja potentsiaal töö, mida tuleb teha (positiivse) ühiklaengu viimiseks antud väljapunktist sinna, kus väli ei mõju. NB! Valemite parem pool käib ainult punktlaengute kohta! Tegelik väli võib olla väga keerulise geomeetriaga. Kuna elektrijõud on konservatiivsed, kehtivad järgmised matemaatilised seosed: 1. Gaussi teoreem ja lõpmata tasandi väli. Selle teoreemiga määratakse elektriväljautgevuse voog läbi kinnise pinna. Gaussi teoreem elektrinihke vektori jaoks elektrinihke vektori voog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sisemuses asetsevate vabade laengute algebralise summaga. Elektrinihke vektori voo ühik on kulon (c). =DndS=q Gaussi teoreem väljatugevuse vektori E jaoks elektriväljautgevuse voog läbi mistahes kinnise pinna on võrdeline selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga.
mahajääv. Joonestamisel tuleb kasutada muidugi kõigi vooluvektorite jaoks ühist mõõtkava. 96 Voolukomponendid U Aktiivvool Ia = on pingega faasis, r U induktiivvool IL = jääb pingest 90° maha, xL U mahtuvusvool IC = on pingest 90° ees. xC Koguvool on avaldatav ka Pythagorase teoreemiga I = I a2 + ( I L I C ) 2 Induktiivvoolu ja mahtuvusvoolu vahet (või vastupidi, sõltuvalt sellest, kumb on suurem) nimetatakse ka reaktiivvooluks või voolu reaktiivkomponendiks Ir Ir = I L IC . Faasinihkenurk leitakse avaldisest Ia cos = I Ir I L IC või sin = = , I I kusjuures on positiivne, kui vool jääb pingest maha (nagu joonisel), s.t. et I L > I C ja on negatiivne, kui vool on pingest ees, s.t
aastat kirjutas ta sarja mõjukaid artikleid, alustades kõigepealt Boole'i kritiseerimisega (Frege ei olnud teadlik Peirce'i ja Schröderi parandustest ning täiendustest Boole'i algebrale). Frege kindel seisukoht oli, et kogu matemaatika saab taandada elementaarsetele loogikareeglitele, st loogikareeglite abil saab tuletada ükskõik millise tõese matemaatikateoreemi. Viimases osas ei olnud Fregel päriselt õigus, kuid tema seisukoha ümberlükkamiseni jõuti alles 1931. aastal Gödeli teoreemiga mittetäielikkusest. Vastandina Inglismaal levinud nominalistlikele ja empiritsistlikele ideedele toetas Frege Saksamaal tavapärasemaid realistlikke vaateid. Frege seisukoht matemaatika ja loogika vahekorrast arenes hiljem oluliseks filosoofilise loogika suunaks nimega logitsism. Frege süsteemi ja logitsistlikud vaated võtsid oma töös aluseks 20. sajandi alguse mõjukaimad loogikud Bertrand
kohad, saame k n. Kokkuv~ ottes saame k = n. 6.4 M~ o~ode L~oplikum~o~otmelise vektorruumi m~ o~ otmeks ehk dimensiooniks ni- metatakse vektorite arvu selle vektorruumi baasis. Vektorruumi V m~o~odet t¨ahistatakse dim V . Nullruum on 0-m~ o~ otmeline, dim O = 0 (nullruumi baas on t¨ uhihulk). M¨ arkus Selle definitsiooni korrektsus on garanteeritud teoreemiga 22. N¨ aide ohjal dim Kn = n . Eespool toodud n¨aite 5.4 p~ 6.5 Vektorisu ¨ steemis on rohkem kui dim V vektorit Teoreem 23. VS, milles on rohkem kui dim V vektorit, on li- neaarselt s~ oltuv. VI. Vektorruumid 19 T~ oestus. T¨ahistame dim V = k. Olgu {a1 , . . . , ak } vektorruumi V baas, {b1 , . . . , bn>k } mingi VS. Lemma 6
vahel hilineks anumate võnkumise suhtes veerand perioodi. Joon 17 joon 18 joon 19 Joonistel on kujutatud tundliku elemendi kolme asendit. Joonisel 17 asub peatelg nurga α võrra paremal pool tõelise meridiaani tasandit tõelise horisondi tasandis. Õli ülekogus põhjapoolses anumas tekitab välisjõu momendi, mille vektor on suunatud joonise sisse. Tundliku elemendi peatelje ots hakkab kooskõlas Resal’i teoreemiga liikuma samas suunas, tekitades seega vastupäeva pretsessiooni ümber telje z tõelise meridiaani poole. Kui tundliku elemendi peatelg on jõudnud tõelise meridiaani tasandisse on õlitase mõlemas anumas võrdne ja pretsessiooni tekitav moment puudub. Kui tundliku elemendi peatelg ületab tõelise meridiaani tasandi ja jõuab tõelise horisondi läänepoolsesse ossa, on õli ülekogus suurem lõunaspoolses anumas ja tema jõumomendi vektor on suunatud vaatleja poole
ole rööpkülik." Kehtigu teoreem: Kui A, siis B. Sel juhul öeldakse, et A on piisav tingimus selleks, et kehtiks B. Samuti öeldakse, et B on tarvilik tingimus selleks, et kehtiks A. Näide: Lause: Kui tuleb riiklik toetus, siis saame ürituse läbi viia. Riiklik toetus on piisav selleks, et üritust läbi viia. Ürituse läbiviimiseks on tarvilik, et oleks riiklik toetus. Kui koos teoreemiga (Kui A, siis B) kehtib ka pöördteoreem (Kui B, siis A), siis võetakse tavaliselt need teoreemid kokku üheks lauseks, kasutades ühte väljenditest ,,on tarvilik ja piisav," ,,siis ja ainult siis," ,,parajasti siis, kui.". Näide: Teoreem: Nelinurk on rööpkülik parajasti siis, kui tema diagonaalid poolitavad teineteist. Näide: Definitsioon: Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille diagonaalid poolitavad teineteist. Olemasolu ja üldistuse kvantorid
mahajääv. Joonestamisel tuleb kasutada muidugi kõigi vooluvektorite jaoks ühist mõõtkava. 96 Voolukomponendid U Aktiivvool Ia = on pingega faasis, r U induktiivvool IL = jääb pingest 90° maha, xL U mahtuvusvool IC = on pingest 90° ees. xC Koguvool on avaldatav ka Pythagorase teoreemiga I = I a2 + ( I L I C ) 2 Induktiivvoolu ja mahtuvusvoolu vahet (või vastupidi, sõltuvalt sellest, kumb on suurem) nimetatakse ka reaktiivvooluks või voolu reaktiivkomponendiks Ir Ir = I L IC . Faasinihkenurk leitakse avaldisest Ia cos = I Ir I L IC või sin = = , I I kusjuures on positiivne, kui vool jääb pingest maha (nagu joonisel), s.t. et I L > I C ja on negatiivne, kui vool on pingest ees, s.t
Siis l−1 (A) = ∅, l−1 (B) = ∅ ja I = [0; 1] = l−1 (X) = l−1 (A) ∪ l−1 (B), 8.3 Lineaarne sidusus 95 l−1 (A) ∩ l−1 (B) = ∅. Kujutuse l pidevuse t˜ottu on l−1 (A) ja l−1 (B) lahtised hulgad ruumis I. Seega avaldub ruum I oma kahe lahtise, mittet¨ uhja ja mittel˜oikuva alamhulga u ¨hendina ning j¨arelikult pole ta sidus. See on aga vastuolus teoreemiga 8.5. Saadud vastuolu n¨aitab, et X on sidus. Iga topoloogilist ruumi X saab esitada tema omavahel mit- tel˜oikuvate lineaarselt sidusate alamruumide u ¨hendina. Sel- leks defineerime ruumil X seose σ j¨argmiselt: (x; y) ∈ σ para- jasti siis, kui leidub punkte x ja y u ¨hendav tee l, st l : I −→ X (pidev), l(0) = x, l(1) = y. Teoreem 8.43 Seos σ on ekvivalentsiseos ruumil X. T˜oestus
annaabi.ee 
