TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Automaatikainstituut Andres Põder 093539IASB Matemaatika – kellele ja milleks? Kava aines ISS0110 Väljendusoskus Juhendaja: Rein Paluoja Dotsent Tallinn 2009 Teema Matemaatika, selle tähtsus ja vajalikkus koolis, ülikoolis ja edaspidises elus. Õppimise tarvilikkus ja õppimisega seotud probleemid. Ideed Inimesed on erinevad. Mõne jaoks on matemaatika huvitav, mõne jaoks mitte. Matemaatikat läheb tarvis väga paljudel erialadel, alates ehitusest kuni kunstini (perspektiiv jne). Matemaatika on kõigi reaal- ja majandusteaduste baas. Matemaatika võib tunduda elukauge, kuid see leiab kindlasti rakendust ka praktilises elus. Matemaatika pole lihtne. Palju valemeid ja keerulisi seoseid. Koolis on paljudel õpilastel matemaatikaga probleeme
aq −1+1 ⃗ aq + 0⃗ a k =⃗0 aq +1+ …+0 ⃗ Kuna kaks kordajat on nullist erinevad, st nullvektor saadi mittetriviaalsel viisil. LAUSE: Ühest vektorist koosnev vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, kui see koosneb vaid nullvektorist, st ⃗a =⃗0 . Tõestus: Tarvilikkus. Eeldame, et ⃗a =⃗0 . Siis λ ≠ 0 , korral λ ⃗a =λ ⃗0 =⃗0 . Seega on mittetriviaalne lineaarkombinatsioon võrdne nullvektoriga ja vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv. Piisavus. Eeldame, et vaadeldav vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, st λ ⃗a =⃗0 ja 1 λ ≠ 0 . Siis 1= λ , millest λ
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Automaatikainstituut Andres Põder 093539IASB Matemaatika kellele ja milleks? Kava aines ISS0110 Väljendusoskus Juhendaja: Rein Paluoja Dotsent Tallinn 2009 Teema Matemaatika, selle tähtsus ja vajalikkus koolis, ülikoolis ja edaspidises elus. Õppimise tarvilikkus ja õppimisega seotud probleemid. Ideed Inimesed on erinevad. Mõne jaoks on matemaatika huvitav, mõne jaoks mitte. Matemaatikat läheb tarvis väga paljudel erialadel, alates ehitusest kuni kunstini (perspektiiv jne). Matemaatika on kõigi reaal- ja majandusteaduste baas. Matemaatika võib tunduda elukauge, kuid see leiab kindlasti rakendust ka praktilises elus. Matemaatika pole lihtne. Palju valemeid ja keerulisi seoseid. Koolis on paljudel õpilastel matemaatikaga probleeme
võrdleva staatika tulemused ja selgitada, mida need tähendavad. Võrdlev staatika näitab, kas mõnda parameetrit suurendades või vähendades funktsiooni väärtus suureneb, väheneb või jääb samaks. Parameeter b ei tohi olla suurem suurem kui 2a ja mõlemad parameetrid peavad olema positiivsed. Kui a suureneb, siis x ja y suurenevad Kui b suureneb, siis x väheneb ja y suureneb 35. Nimetada tarvilikud ja piisavad tingimused Kuhn-Tuckeri meetodi korral. Tarvilikkus - lahendid K-T süsteemi lahendite hulgas (lahendeid mitu) Piisavus - kõik lahendid K-T süsteemi lahendite hulgas KT on piisav siis kui sihifunksioon on nõgus KT on tarvilik siis kui kitsendused on lineaarsed 36. Mis on mänguteooria, mis on mäng? Mänguteooria on rakendusmatemaatika haru, mis tegeleb konfliktsituatsioonide matemaatiliste mudelite koostamise ja nende lahendamisega matemaatiliste meetodite abil.
x0 4. Reaalarvu absoluutväärtus (*) Esitada absoluutväärtuse definitsioon: Arvu a ∈ R absoluutväärtuseks nimetatakse arvu Selgitada, et |a| = max{a, -a}, selle seose abil põhjendada lihtsamaid seoseid: 1) a ≤ |a| ja −a ≤ |a| , 2) |a| ≥ 0, 3) |−a| = |a| 4) |a| = 0 parajasti siis, kui a = 0 Tõestada, et |a| ≤ c parajasti siis, kui –c ≤ a ≤ c: Reaalarvude a ja c korral kehtib võrratus |a| ≤ c parajasti siis, kui −c ≤ a ≤ c Tarvilikkus. Eeldame, et |a| ≤ c, ja veendume, et siis −c ≤ a ≤ c. Tõepoolest, kui |a| ≤ c, siis a ≤ max {a,−a} = |a| ≤ c ja −a ≤ max {a,−a} = |a| ≤ c, mis tingimuse ** kohaselt tähendab, et −c ≤ a. Kokkuvõttes −c ≤ a ≤ c. Piisavus. Nüüd eeldame, et −c ≤ a ≤ c, siis −a ≤ c , mistõttu |a| = max {a,−a} ≤ c. Lause on tõestatud Absoluutväärtuse tehetega seotud omadused: Reaalarvude a ja b puhul kehtivad järgmised väited:
gripis. Õigustatuse tingimus (S on õigustatud uskuma, et p on tõene) selleks, et ma võiksin teada, et X on gripis, on tarvilik, et minu usk oleks õigustatud (st et ma usuksin õigel alusel). See on kõige raskem ja problemaatilisem osa. Nt hääled unes või saunajutt pole teadmise õigustuseks. Uskumus peab olema põhjendatud, seletatud, peab olema adekvaatseid tõendeid. 8. Kritiseerige traditsioonilist teadmiskäsitlust vähemalt kahel viisil. ..Uskumise tarvilikkus (maha põlenud hütt) Inimene hüüatab ,,ma ei usu seda". Kas on teadmine ilma uskumiseta? Ei, inimene ei taha või ei suuda uskuda, kuid teadmine on olemas. .. Uskumise tarvilikkus (eksam) eksamil kõneles tudeng õppejõule õige vastuse, kuid ise ei uskunud, et ta teab seda vastust. .. Gettieri kriitika ÕTU pole piisav. Kolm tingimust on, aga see pole teadmine. Näited: (1) mündilugu (A ja B taotlevad sama töökohta. A tegi järelduse, et mehel, kes saab
34 o DEF: Sidus komponent on graafi maksimaalne sidus alamgraaf. Sild, eraldav tipp o DEF: Serva, mille eemaldamisel graafi sidusate komponentide arv kasvab, nimetatakse sillaks. o Analoogilise omadusega tippu nimetatakse eraldavaks tipuks. Tarvilik ja piisav tingimus silla jaoks o Teoreem. Graafi serv on sild parajasti siis, kui ta ei kuulu ühessegi selle graafi lihttsüklisse. o Tarvilikkus. Sild ei saa kuuluda lihttsüklisse, sest tsüklist serva eemaldamisega ei saa katkeda ühendus serva otstippude vahel. o Piisavus. Kui serv ei kuulu ühessegi lihttsüklisse, siis peab tema eemaldamisel ühendus serva otstippude vahel katkema. 39. Sidususteoreem. [2] o Teoreem. Kui n-tipulisel graafil on m serva ja k sidusat komponenti, siis kehtivad võrratused o Tõestus. 1) induktsiooniga m järgi,
)=q(x) ep(x)dxdx y*=)=q(x) ep(x)dxdx e-p(x)dx * 3)Kirjutatakse üldlahend: y=yh+y*=C e-p(x)dx+q(x) ep(x)dxdx e-p(x)dx.
8. Eksaktne DV. Definitsioon: DV-d M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 nimetatakse eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga
võrrandiks, kui leidub funktsioon u=u(x) nii, et tema täisdiferentsiaal on kujul du(x,y)= M(x,y)dx+ N(x,y)dy *
D= {(x,y):a
Jada (xn ) nimetatakse monotoonseks (monotonic, монотонная), kui ta on kas kasvav või kahanev. Teoreem 2.11 (monotoonsuseprintsiip). Monotoonne jada (xn ) koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud. Kui (xn ) on seejuures kasvav, siis lim xn = sup {xn | n ∈ N} , kui (xn ) n→∞ on kahanev, siis lim xn = inf {xn | n ∈ N} . n→∞ Tõestus. Tarvilikkus on ilmne, sest iga koonduv jada on tõkestatud. Piisavus. Olgu (xn ) kasvav tõkestatud jada, siis pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib sup {xn | n ∈ N} =: b. Näitame, et lim xn = b. Olgu ε > 0, vastavalt ülemise raja definit- n sioonile leidub niisugune indeks N, et xN > b − ε (selgitada!)z. Kuna jada (xn ) kasvab, siis b − ε < xn 6 b < b + ε iga n > N puhul (2.9)
Definitsioon 1 Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks vaadeldavas punktis ning seejuures A(x)= y'(x) parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni nimetatakse tema muudu lineaarset osa. Tõestus: 1) Tarvilikkus: Eksisteerigu dy väärtus y on antud parameetri (t) funktsioonis. Kui funktsioon muut on esitatud kujul eksisteerib y'(x) x=u(t)
s.t. lim ( x) = 0 x x0 Tõestus: 1) Piisavus f ( x) = a + ( x) lim f ( x) = a x x0 Tõepoolest: lim f ( x) = lim (a + ( x) ) = a + lim ( x) = a x x0 x x0 x x0 >0, () >0, et 0< x-x0< (x) < Kuid ( x) = f ( x) - a Järelikult >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< seega lim f ( x) = a x x0 2) Tarvilikkus: lim f ( x) = a f ( x) = a + ( x) x x0 Vastavalt piisavuse definitsioonile >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Tähistame f ( x) - a = ( x) , sel juhul saame 0< x-x0< (x) < Seega (x) on lõpmatult kahanev, saan lim ( x) = 0 x x0 m.o.t.t. Teoreem 2 Olgu olemas piirväärtused lim f ( x) = a , lim g ( x) = b , siis
s.t. lim ( x) = 0 x x0 Tõestus: 1) Piisavus f ( x) = a + ( x) lim f ( x) = a x x0 Tõepoolest: lim f ( x) = lim (a + ( x) ) = a + lim ( x) = a x x0 x x0 x x0 >0, () >0, et 0< x-x0< (x) < Kuid ( x) = f ( x) - a Järelikult >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< seega lim f ( x) = a x x0 2) Tarvilikkus: lim f ( x) = a f ( x) = a + ( x) x x0 Vastavalt piisavuse definitsioonile >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Tähistame f ( x) - a = ( x) , sel juhul saame 0< x-x0< (x) < Seega (x) on lõpmatult kahanev, saan lim ( x) = 0 x x0 m.o.t.t. Teoreem 2 Olgu olemas piirväärtused lim f ( x) = a , lim g ( x) = b , siis
Sellise keele jaoks on vaja mälu. 6 Myhill-Nerode teoreem. DEF: Olgu keele L ⊆ Σ* (keel on kõigi sõnede hulga alamhulk) jaoks antud ekvivalentsiseos HL ⊆ Σ* × Σ* selline, et xHLy kehtib parajasti siis, kui iga z ∈ Σ* korral kehtib xz ∈ L yz ∈ L (iga suvalise z lisamisel x ja y sappa, kuuluvad saadud xz ja yz mõlemad keelde L või ei kuulu mõlemad). Teoreem: Keel L on regulaarne parajasti siis, kui seose HL ekvivalentsiklasside hulk on lõplik. T: (tarvilikkus) Kui keel L on regulaarne, leidub teda aktsepteeriv lõplik automaat M = (Q , Σ, δ, q0, F). Olgu R0i ⊆ Σ* sõnede hulk, mis viib automaadi M lähteolekust q0 olekusse qi. Seose HL ekvivalentsiklass on lõplik ühend Cl = R0i1 ∪ R0i2 ∪ . . . ∪ R0il. (piisavus) Olgu HL ekvivalentsiklassid C0,…,Cm. Teeme lõpliku automaadi olekute hulgaga Q = {C0…Cm}: Valime algolekuks klassi C0, mis sisaldab ε-d. Olgu lõppolek Ck ekvivalentsiklass, mis ühtib keelega L ehk
lim = 0, 0 siis funktsiooni muudu lineaarne osa (x ja y suhtes) on selle funktsiooni diferentsiaal. dz = Ax + By (4.2) Teoreem 4.1. (teoreem diferentsiaali olemasolust) Funktsiooni diferentsiaali olemasoluks on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid antud z z punktis lõplikud osatuletised. Seejuures A = , B= (4.3) x y Tõestus. z z 1) Tarvilikkus dz , ja (4.3) peab paika. x y Eelduse kohaselt peab paika võrdus (4.1). Võtame y = const , siis y = 0 ja = x ja x z = Ax + ( x ) . z xz ( x ) Siit = lim = lim A + = A x x0 x x0 x 0 z z
250 trigonomeetriliste avaldiste teisendamine See on väga kena! Oleme näidanud, et koosinusfunktsioonide korrutise võib lahti kirjutada nende summana ning vastupidi. Sama kehtib muidugi ka siinusfunktsiooni kohta ja suurema vaeva korral leiame valemeid ka tangensfunktsiooni tarvis. Kui selle kõige tarvilikkus tundub esmapilgul ka küsitav, siis aitab see näiteks pare- mini mõista, kuidas ikkagi toimib AM-raadio [lk 259]. Siinusfunktsiooni tuletis* Kuna trigonomeetrilised funktsioonid on peidus pea iga perioodilise liikumise kirjeldamisel, siis osutub oluliseks ka nende funktsioonide muutumise kiirus ehk tuletis. Näiteks on meil endalgi tarvis see tuletis välja arvutada, kui asume leidma, kuidas ikka veepommi kõige kaugemale visata [lk 333]. Nagu juba mainisime, on
lim ln x = x Definitsioon 4.2. Muutuvat suurust = (x) nimetatakse piirprotsessi x a l~opmatult kahanevaks, kui lim = 0. xa Teoreem 4.1. Muutuva suuruse y piirv¨a¨artus on b parajasti siis, kui see muutuv suurus avaldub b ja l~opmatult kahaneva suuruse summana, st lim y = b y = b + xa 7 T~oestus. Tarvilikkus. Oletame, et lim y = b, st > 0 korral niisugune xa > 0, et kui |x - a| < , siis |y - b| < . T¨ahistades = y - b saame, et y = b + ja > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| < , siis || < . Piirv¨a¨artuse definitsiooni kohaselt lim = 0, st on l~opmatult kahanev suurus. xa Piisavus t~oestatakse sarnaselt. Teoreem 4.2. Kahe l~opmatult kahaneva suuruse summa on l~opmatult
annaabi.ee 
